มันเป็นกฎที่ว่าปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องนั้นเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างยากลำบากและต่อเนื่องใช่หรือไม่?

ในการศึกษาด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ของฉันฉันสังเกตเห็นว่าปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์ (อย่างน้อย) ในขณะที่การเพิ่มประสิทธิภาพของปัญหาอย่างต่อเนื่องนั้นสามารถทำได้ง่ายเกือบตลอดเวลาโดยใช้เทคนิคการไล่ระดับสี มีข้อยกเว้นสำหรับสิ่งนี้หรือไม่?

ตัวอย่างที่ผมรักคือปัญหาที่ได้รับแตกต่างกัน1 , 2 , ... , n ∈ Nตัดสินใจว่า: ∫ π - π cos ( 1 Z ) cos ( 2 Z ) ... cos ( n Z )$a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}$

ในตอนแรกดูเหมือนว่าปัญหาอย่างต่อเนื่องในการประเมินอินทิกรัลนี้ แต่มันง่ายที่จะแสดงว่าอินทิกรัลนี้ไม่เป็นศูนย์ถ้ามีพาร์ติชันที่สมดุลของเซตดังนั้นปัญหาอินทิกรัลนี้ NP-สมบูรณ์$\{a_1, \ldots, a_n\}$

แน่นอนฉันขอแนะนำให้คุณลองเล่นด้วยเครื่องมือตัวเลขเพื่อโน้มน้าวตัวคุณเองว่าเทคนิคการคำนวณเชิงตัวเลขส่วนใหญ่ (ถ้าไม่ใช่ทั้งหมด) ในการประเมินอินทิกรัลนี้ถึงวาระที่จะล้มเหลวเมื่อมีขนาดใหญ่พอ$n$

มีปัญหาอย่างต่อเนื่องมากมายของแบบฟอร์ม "ทดสอบว่าอินพุต combinatorial นี้สามารถรับรู้เป็นโครงสร้างทางเรขาคณิต" ที่สมบูรณ์สำหรับทฤษฎีการดำรงอยู่ของ realsซึ่งเป็นอะนาล็อกอย่างต่อเนื่องของ NP โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่ก็หมายความว่าปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหา NP - ยากมากกว่าการแก้ปัญหาแบบ polynomially ตัวอย่างรวมถึงการทดสอบว่ากราฟที่กำหนดเป็นกราฟระยะทางของหน่วยหรือไม่กราฟที่กำหนดสามารถวาดในระนาบที่มีขอบเซ็กเมนต์ของเส้นตรงและมากที่สุดตามจำนวนข้ามที่กำหนด การจัดการ

มีปัญหาต่อเนื่องอื่น ๆ ที่ยากกว่า: ตัวอย่างเช่นการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในบรรดาสิ่งกีดขวางหลายมิติในแบบ 3 มิตินั้นสมบูรณ์แบบด้วย PSPACE (Canny & Reif, FOCS'87)

แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ตอบคำถามเดิมของคุณอย่างแน่นอน แต่มันเป็นตัวอย่าง (การคาดเดา) ของความแตกต่างทางปรัชญา: ปัญหาที่งานนำเสนอไม่ต่อเนื่อง แต่ความแข็งทั้งหมดมาจากด้าน 'ต่อเนื่อง' ของปัญหา

$A=\{a_1, a_2, \ldots, a_m\}$$B=\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$$\sum_{i=1}^m \sqrt{a_i}\leq\sum_{j=1}^n\sqrt{b_j}$ยากมันเป็นที่สงสัยกันอย่างกว้างขวางว่ามันอาจจะเป็น NP-hard และในความเป็นจริงอาจจะอยู่นอก NP (มีตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่ามันไม่สมบูรณ์ NP); การ จำกัด เพียงอย่างเดียวที่รู้จักจนถึงปัจจุบันนั้นมีหลายระดับที่สูงกว่าลำดับชั้นพหุนาม เห็นได้ชัดว่าการนำเสนอของปัญหานี้ไม่ต่อเนื่องเท่าที่จะทำได้ - ชุดของจำนวนเต็มและคำถามเกี่ยวกับพวกเขา / ใช่ / ไม่ใช่ - แต่ความท้าทายที่เกิดขึ้นเพราะในขณะที่การคำนวณรากที่สองเพื่อความแม่นยำที่ระบุใด ๆ เป็นปัญหาง่าย ถึงความแม่นยำสูง (อาจมีค่าพหุนามสูง) ในการตัดสินความไม่เท่าเทียมกันทางใดทางหนึ่ง นี่เป็นปัญหา 'ที่ไม่ต่อเนื่อง' ที่ทำให้เกิดบริบทการเพิ่มประสิทธิภาพที่น่าแปลกใจและช่วยให้เกิดความซับซ้อนของตนเอง

โดยทั่วไปแล้วปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องมักจะยากกว่า (เช่น LP vs. ILP) แต่มันก็ไม่ได้เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นเองนั่นคือปัญหา ... มันเป็นข้อ จำกัด ที่ส่งผลต่อวิธีการค้นหาโดเมนของคุณ ตัวอย่างเช่นคุณอาจคิดว่าการเพิ่มประสิทธิภาพของพหุนามเป็นสิ่งที่คุณสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ ตัดสินใจนูนของ quartics (ปริญญา-4 มีหลายชื่อ) เป็น NP-ยาก

ซึ่งหมายความว่าแม้ว่าคุณจะมีประสิทธิภาพสูงสุดอยู่แล้วก็ตามเพียงแค่พิสูจน์ให้เห็นว่าคุณอยู่ในระดับที่เหมาะสมก็มีปัญหากับ NP อยู่แล้ว

ถึงแม้ว่าสำหรับปัญหาที่ได้รับความนิยมบางอย่างมันเป็นความจริงฉันคิดว่าสมมติฐานทั้งสองนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณกำหนดว่าเป็นปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ - ไม่ใช่ความจริง

ครั้งแรกบางคำจำกัดความ: ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพมากที่สุดคือไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของปัญหา ตัวอย่างเช่นสำหรับปัญหาเป้ : หนึ่งไม่สามารถใช้ประโยชน์จากการไม่กำหนดเพื่อสร้างกระเป๋าที่มีค่าที่สุดง่าย ๆ เพราะสาขาที่ไม่ได้กำหนดไว้แตกต่างกันไม่มีหน่วยความจำที่ใช้ร่วมกัน NPนอกจากนี้ยังหมายถึง "การตรวจสอบ polynomially" [1, p. 34](การตรวจสอบใบรับรอง) ในกรณีนี้ใบรับรองจะใช้เป็นถุง : บิตสตริงโดยที่หากมีการตั้งค่าบิตi- th จะหมายถึงรายการi- th ที่เป็นส่วนหนึ่งของกระเป๋า แน่นอนคุณสามารถตรวจสอบในเวลาพหุนามถ้าถุงดังกล่าวมีค่ามากกว่าเกณฑ์ที่กำหนด (นี่คือตัวแปรการตัดสินใจ) แต่คุณไม่สามารถ - เท่าที่เรารู้ - โดยใช้ถุงเดียว (จำนวนถุงพหุนาม) ให้ตัดสินใจว่ากระเป๋าใบนั้นมีค่าที่สุดสำหรับกระเป๋าที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรือไม่ นั่นคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างเช่นNPและEXP : ในEXPคุณสามารถระบุถุงที่เป็นไปได้ทั้งหมดและทำบัญชีเกี่ยวกับกระเป๋าใบที่ดีที่สุด

ตัวแปรการตัดสินใจของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพคือในบางส่วนกรณีของการNPหนึ่งต้องการที่จะสร้างความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างรสชาติสูงสุดและรสชาติตัดสินใจ ในรสชาติของการตัดสินใจคำถามคือ: " เมื่อได้รับปัญหาการปรับให้เหมาะสมและยูทิลิตี้ที่ถูกผูกไว้จะมีวิธีการแก้ปัญหาที่มียูทิลิตี้มากกว่าหรือเท่ากับขอบเขตนั้น " (หรือแก้ไขเล็กน้อยสำหรับปัญหาการย่อเล็กสุด)

ฉันยังคิดว่าโดยNPคุณหมายถึงส่วน (สมมุติ) ของNPที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของP ถ้าP = NPแน่นอนว่าNP-completeยังคงมีอยู่ แต่มันจะเท่ากับP (เกิดขึ้นพร้อมกับ P สำหรับการลดความคิดบางอย่างเช่นพหุนามเวลา - ลดลงหลายคนโดย @ AndrásSalamon) ซึ่งไม่น่าประทับใจ ( และจะลด " ช่องว่าง " ที่คุณระบุในคำถามของคุณ)

ฉันสังเกตว่าปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์

ตอนนี้เรามีการจัดเรียงที่ออก: มีจำนวนมากที่มีปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่อยู่ในP : ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด , ปัญหาการไหลสูงสุด (สำหรับความจุหนึ่ง) ขั้นต่ำต้นไม้ทอดและการจับคู่สูงสุด แม้ว่าปัญหาเหล่านี้อาจดูเหมือน "ไม่สำคัญสำหรับการแก้ปัญหา" สำหรับคุณ แต่ปัญหาเหล่านี้ยังคงเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สุดและในหลายกรณีการก่อสร้าง (และพิสูจน์ความถูกต้อง) ไม่ใช่เรื่องง่าย ดังนั้นการอ้างสิทธิ์จึงไม่ถือปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมดคือ NP-complete ได้รับPไม่เท่ากับNPปัญหาเหล่านี้จึงไม่สามารถNP-สมบูรณ์

$\Sigma^P_i$

ในขณะที่การแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่องสามารถทำได้อย่างง่ายดาย

ปัญหาอย่างต่อเนื่องเป็นที่นิยมที่เป็นNP-ยากคือการเขียนโปรแกรมการกำลังสอง

$\vec{x}$

การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจริง ๆ แล้วถือว่าNP-hardเช่นกัน แต่ด้วยฮิวริสติกที่มีประสิทธิภาพดีมาก( วิธีSimplex ) อัลกอริทึม Karmarkar ของมี แต่ในP

จากช่วงเวลาที่เกิดปัญหาการปรับให้เหมาะสมกับวัตถุที่ไม่นูนโดยทั่วไปมันจะยาก - ถ้าไม่เป็นไปไม่ได้ - เพื่อค้นหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ

บรรณานุกรม

[1] การคำนวณความซับซ้อนวิธีการที่ทันสมัย , Sanjeev ร่าและโบอาส Barak