พิสูจน์ความซับซ้อนของ Kolmogorov นั้นไม่สามารถคำนวณได้โดยใช้การลด

ฉันกำลังมองหาหลักฐานว่าความซับซ้อนของ Kolmogorov นั้นไม่สามารถคำนวณได้โดยใช้การลดลงของปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้อีก หลักฐานทั่วไปคือการทำให้เป็นรูปธรรมของความขัดแย้งของ Berry มากกว่าการลดลง แต่ควรมีข้อพิสูจน์โดยการลดจากบางอย่างเช่นปัญหาการหยุดชะงักหรือปัญหาความสอดคล้องของโพสต์

คุณสามารถหาหลักฐานที่แตกต่างกันสองแบบใน:

Gregory J. Chaitin, Asat Arslanov, Cristian Calude: ความซับซ้อนของขนาดโปรแกรมคำนวณปัญหาการหยุดชะงัก แถลงการณ์ของ EATCS 57 (1995)

ในหลี่หมิงไวตานี่พอล MB; คำแนะนำเกี่ยวกับความซับซ้อนของ Kolmogorov และการประยุกต์ใช้มันถูกนำเสนอเป็นแบบฝึกหัด (พร้อมคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาที่ให้เครดิตแก่ P. Gácsโดย W. Gasarch ในการสื่อสารส่วนตัว 13 ก.พ. 1992)

** ฉันตัดสินใจที่จะเผยแพร่รุ่นที่ขยายของมันบนบล็อกของฉัน

นี่เป็นคำถามสนุก ๆ ที่คิด ดังที่อธิบายไว้ในคำตอบอื่น ๆ และความคิดเห็นด้านล่างมีการลดทัวริงจากปัญหา Halting ในการคำนวณความซับซ้อนของ Kolmogorov แต่ที่สะดุดตาไม่มีการลดจำนวนมากเช่นเดียวอย่างน้อยหนึ่งคำจำกัดความของ 'การคำนวณ Kolmogorov ซับซ้อน'

เรามานิยามสิ่งที่เรากำลังพูดถึงกัน ให้แทนภาษามาตรฐานของ TM ที่หยุดเมื่อได้รับคำอธิบายของตัวเองเป็นอินพุต ให้แสดงว่า\}$HALT$$KO$$\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$

สมมติว่าลดน้อยลงไปบ้าง ให้แสดงถึงฟังก์ชั่นที่การคำนวณนี้ลดลง พิจารณาภาพของภายใต้ซึ่งผมจะแสดงว่า(HALT)$HALT \le KO$$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$$HALT$$f$$f(HALT)$

หมายเหตุประกอบด้วยสตริงของแบบฟอร์มที่มีความซับซ้อน Kolmogorov ว่าkฉันอ้างว่าที่เกิดขึ้นในนั้นไม่มีขอบเขตเนื่องจากมีจำนวน จำกัด ของสตริงที่มีความซับซ้อนของ Kolmogorov อย่างแน่นอนเท่านั้นและไม่มีที่สิ้นสุด$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$x$$k$$k$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$

เนื่องจากสามารถนับซ้ำได้ (เรียกอีกชื่อหนึ่งว่าทัวริงในหนังสือบางเล่ม) ดังนั้นจึงทำให้สามารถนับซ้ำได้ เมื่อรวมกับความจริงที่ว่านั้นไม่มีขอบเขตเราสามารถแจกแจงจนกว่าเราจะพบกับเท่าที่เราต้องการ คือมีอยู่ TMว่าการป้อนข้อมูล outputs องค์ประกอบบาง(HALT)$HALT$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$k$$M$$k$$\langle x,k \rangle \in f(HALT)$

เขียน TMใหม่ที่ทำสิ่งต่อไปนี้: ก่อนอื่นคำนวณใช้ทฤษฎีการเรียกซ้ำของ Kleene แบบสอบถามมีการป้อนข้อมูลที่จะได้รับ(HALT) เอาท์พุทx$M'$$|M'|$$M$$|M'|+1$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$$x$

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ของเป็นสตริงที่มีความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่มากที่สุดแต่ซึ่งขัดแย้งกัน$x$$M'$$|M'|$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$

ฉันเชื่อว่าคุณสามารถทดแทนปัญหา "ความซับซ้อนของ Kolmogorov ได้อย่างแน่นอน " ด้วย "ความซับซ้อนของ Kolmogorov อย่างน้อย " ด้วยการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย$k$$k$