แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ออกมามีความสอดคล้องกันและทัวริงสมบูรณ์หรือไม่

มีแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์แล้วหรือไม่ซึ่งตรรกะที่สอดคล้องกันภายใต้การติดต่อของแกงกะหรี่ - ฮาวเวิร์ดนั้นสอดคล้องกันและมีการแสดงออกแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้สำหรับฟังก์ชั่นคำนวณทั้งหมด

นี่เป็นคำถามที่ไม่ถูกต้องยอมรับว่าไม่มีคำจำกัดความที่แม่นยำของ "แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์" ฉันเป็นพื้นสงสัยว่ามีทั้ง (a) ตัวอย่างที่รู้จักกันนี้หรือ (b) พิสูจน์พิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้สำหรับบางสิ่งในพื้นที่นี้

แก้ไข: @cody ให้คำถามนี้กับรุ่นที่แม่นยำในคำตอบของเขาด้านล่าง: มีระบบประเภท pure แบบตรรกะ (LPTS) ที่สอดคล้องและทัวริงสมบูรณ์ (ในแง่ที่กำหนดไว้ด้านล่าง) หรือไม่

— มอร์แกนโทมัส
แหล่งที่มา

ไม่มีแคลคูลัส axiomatizable แบบเรียกซ้ำ (แลมบ์ดาหรืออย่างอื่น) ซึ่งมีฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำทั้งหมดเป็นฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำทั้งหมดดังนั้นแคลคูลัสของคุณจะต้องเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขที่ไม่สิ้นสุด

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

คำตอบนี้มีทฤษฎีบทที่บอกว่าคุณไม่สามารถมีแคลคูลัสประเภทใดก็ได้ทั้งทัวริงสมบูรณ์และรวม

— Andrej Bauer

มันอาจจะตอบคำถามของคุณเมื่อคุณทำให้แม่นยำเพียงพอ ฉันคิดว่าการพิสูจน์ของ Andrej นั้นซับซ้อนโดยไม่จำเป็น (แต่มันแสดงให้เห็นมากขึ้น): ประเด็นก็คือว่าถ้ามีระบบที่อธิบายได้อย่างมีประสิทธิภาพซึ่งฟังก์ชันการเรียกซ้ำทั้งหมดสามารถแสดงได้ในลักษณะที่คุณสามารถรับรอง syntactically ว่า ฟังก์ชันเรียกซ้ำ (เช่นโดยการตรวจสอบว่าพิมพ์อย่างถูกต้องในระบบ) จากนั้นคุณจะได้รับฟังก์ชันเรียกซ้ำทั้งหมดซึ่งเป็นไปไม่ได้

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

แน่นอนว่าคำตอบคลาสสิกสำหรับคำถามประเภทนี้อาจเป็น: พิมพ์

λ

$\lambda$ -calculus พร้อมกับประเภทการตัดกันเนื่องจากมันจะพิมพ์ทุกคำศัพท์ มันเป็นคำถามเชิงปรัชญามากกว่าที่จะถามว่าแคลคูลัสยอมรับว่า "การตีความแกงกะหรี่ - โฮเวิร์ด" หรือไม่

— ดี้

มันยากที่จะแม่นยำมากขึ้นที่นี่เพราะคำถามไม่แม่นยำ

— Andrej Bauer

คำตอบ:

เอาล่ะฉันจะให้มันแตก: โดยทั่วไปสำหรับระบบประเภทระบุสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง: $T$

หากคำศัพท์ที่ดีประเภททั้งหมดในแคลคูลัสกำลังทำให้เป็นมาตรฐานแล้วนั้นจะสอดคล้องกันเมื่อมองว่าเป็นตรรกะ $T$ $T$

หลักฐานโดยทั่วไปดำเนินการโดยสมมติว่าคุณมีคำประเภทโดยใช้การลดเรื่องที่จะได้รับรูปแบบปกติและจากนั้นดำเนินการโดยอุปนัยกับโครงสร้างของคำดังกล่าวจะได้รับความขัดแย้ง $\mathrm{absurd}$ $\mathrm{False}$

เป็นเรื่องธรรมดาที่จะสงสัยว่าการสนทนานั้นถือเป็นเช่นนั้นหรือไม่

สำหรับระบบการพิมพ์ใด ๆถ้าคือสอดคล้องเหตุผลแล้วทุกระยะอย่างดีพิมพ์เป็น normalizing $T$ $T$ $T$

ปัญหานี้คือไม่มีแนวคิดทั่วไปที่แท้จริงที่สุดของ "ระบบพิมพ์" และแม้แต่ข้อตกลงที่น้อยลงในความหมายของความสอดคล้องเชิงตรรกะสำหรับระบบดังกล่าว อย่างไรก็ตามเราสามารถยืนยันได้อย่างชัดเจนว่า

สำหรับระบบพิมพ์ที่รู้จักกันดีที่สุดซึ่งมีการตีความเชิงตรรกะการสนทนาจะถือแน่นอน

วิธีนี้ผูกเข้ากับทัวริงครบถ้วน ดีสำหรับหนึ่งถ้าประเภทการตรวจสอบเป็นdecidableแล้วAndrej ของการโต้แย้งแสดงให้เห็นว่าหนึ่งต่อไปนี้จะต้องถือ:

ชุดของโปรแกรมที่พิมพ์ออกมาทั้งหมดนั้นไม่ได้เป็นTuring Complete
มีโปรแกรมที่ไม่มีการพิมพ์อย่างดี

สิ่งนี้มีแนวโน้มที่จะแนะนำว่า:

ประเภทของระบบที่มีการตีความเชิงตรรกะและมีความสอดคล้องและมีการนับซ้ำเรียกซ้ำไม่ได้ทัวริงสมบูรณ์

ให้ทฤษฎีบทที่แท้จริงมากกว่าข้อเสนอแนะต้องทำให้ความคิดของระบบประเภทและการตีความเชิงตรรกะแม่นยำทางคณิตศาสตร์

ตอนนี้ข้อสังเกตสองข้อคำนึงถึง:

มี undecidableระบบการพิมพ์ที่ประเภทแยกระบบซึ่งมีการตีความเชิงตรรกะและสามารถเป็นตัวแทนของทุก normalizing ระยะยาว ดังที่คุณกล่าวมาสิ่งนี้ไม่เหมือนกับการทัวริงเสร็จสมบูรณ์เนื่องจากประเภทของฟังก์ชั่นทั้งหมดอาจต้องได้รับการปรับปรุง (ปรับปรุงตามความเป็นจริง) ก่อนที่จะนำไปใช้กับอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการ แคลคูลัสเป็นสไตล์ "แกง" แคลคูลัสและเท่ากับ STLC + $\lambda$ และ
$\frac{Γ ⊢ M : τ Γ ⊢ M : σ}{Γ ⊢ M : τ \cap σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\quad \Gamma\vdash M:\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}$ $\frac{Γ ⊢ M : τ \cap σ}{Γ ⊢ M : τ} \frac{Γ ⊢ M : τ \cap σ}{Γ ⊢ M : σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau}\quad \frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\sigma}$ มันเป็นที่ชัดเจนว่า "ตีความ" นำไปสู่การตีความตรรกะที่สอดคล้องกัน $\cap=\wedge$
มีประเภทของระบบประเภทคือPure Type Systemsซึ่งคำถามดังกล่าวอาจทำให้แม่นยำ อย่างไรก็ตามในกรอบนี้การตีความเชิงตรรกะมีความชัดเจนน้อยกว่า บางคนอาจถูกล่อลวงให้พูดว่า: "PTS นั้นสอดคล้องกันหากมันเป็นประเภทที่ไม่มีคนอาศัยอยู่" แต่วิธีนี้ใช้ไม่ได้เนื่องจากประเภทอาจมีชีวิตอยู่ใน "จักรวาล" ที่แตกต่างกันซึ่งบางแห่งอาจมีความสอดคล้องกันและบางแห่งอาจไม่สอดคล้องกัน Coquand และ HerbelinกำหนดแนวคิดของLogical Pure Type Systemsซึ่งคำถามนั้นสมเหตุสมผลและแสดงให้เห็น

LPTS ที่ไม่สอดคล้องกันและไม่ขึ้นกับกันทุกตัวมี combinator แบบวนซ้ำ (และทัวริงเสร็จสิ้น)

ซึ่งตอบคำถามในทิศทางเดียว (ไม่สอดคล้องกัน TC) ในกรณีนี้ เท่าที่ฉันรู้คำถามสำหรับ LPTS ทั่วไปยังคงเปิดกว้างและค่อนข้างยาก $\Rightarrow$

แก้ไข:การสนทนาของผลลัพธ์ Coquand-Herbelin นั้นไม่ง่ายอย่างที่ฉันคิด! นี่คือสิ่งที่ฉันมาด้วยจนถึงตอนนี้

ตรรกะระบบประเภทบริสุทธิ์เป็น PTS ด้วย (อย่างน้อย) ประเภทและ (อย่างน้อย) ความจริงและ (อย่างน้อย) กฎ , กับข้อกำหนดเพิ่มเติมที่ไม่มีประเภท $\mathrm{Prop}$ $\mathrm{Type}$ $\mathrm{Prop}:\mathrm{Type}$ $(\mathrm{Prop},\mathrm{Prop},\mathrm{Prop})$ P $\mathrm{Prop}$

ตอนนี้ฉันจะถือว่าคำสั่งเฉพาะของทัวริงครบถ้วน: แก้ไข LPTS และให้เป็นบริบท $L$ $\Gamma$

Γ = n a t : P r o p, 0 : n a t, S : n a t \to n a t

$\Gamma = \mathrm{nat}:\mathrm{Prop},\ 0:\mathrm{nat},\ S:\mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

เป็นทัวริงสมบูรณ์IFF ทุกฟังก์ชันคำนวณรวมมีระยะดังกล่าวว่า และสำหรับทุก $L$ $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $t_f$

Γ ⊢ t_{f} : n a t \to n a t

$\Gamma \vdash t_f : \mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

n \in N

$n\in\mathbb{N}$

t_{f} (S^{n} 0) \to_{β}^{*} S^{f (n)} 0

$t_f\ (S^n\ 0)\rightarrow^*_{\beta} S^{f(n)}\ 0$

ตอนนี้ Andrej ของอาร์กิวเมนต์ diagonalization แสดงให้เห็นว่ามีการยกเลิกไม่ใช่ประเภท $t$ ที $\mathrm{nat}$

ตอนนี้ดูเหมือนว่าพวกเราจะไปครึ่งทางแล้ว! ได้รับการยกเลิกไม่ใช่ระยะเราต้องการที่จะเข้ามาแทนที่การเกิดขึ้นของโดยทั่วไปประเภทและกำจัดและในและเราจะมีความไม่สอดคล้องกันของเรา ( เป็นที่อยู่อาศัย ในบริบท $\Gamma \vdash \mathrm{loop}:\mathrm{nat}$ $\mathrm{nat}$ $A$ $0$ $S$ $\Gamma$ $A$ )! $A:\mathrm{Prop}$

น่าเสียดายที่นี่เป็นที่ที่ฉันติดอยู่เนื่องจากมันง่ายที่จะแทนที่ด้วยข้อมูลประจำตัว แต่ค่านั้นยากมากที่จะกำจัด เป็นการดีที่เราต้องการที่จะใช้ทฤษฎีการเรียกซ้ำ Kleene บางอย่าง แต่ฉันยังไม่ได้คิดออก $S$ $0$

— Cody
แหล่งที่มา

ตกลงดังนั้นสองคำชี้แจงแรกเกี่ยวกับคำพูดของคุณ (1) คุณหมายถึงอะไรเมื่อคุณพูดว่าระบบของประเภทจุดตัดนี้ไม่นับซ้ำซ้ำได้? แน่นอนว่าเซตของทฤษฎีบทของระบบนั้นใหม่เพราะคุณได้ให้มันเป็นแคลคูลัสที่ต่อเนื่องกันตรงไปตรงมา นอกจากนี้ผลลัพธ์ที่ฉันเห็นที่พิสูจน์แล้วในเอกสารที่คุณเชื่อมโยงคือเงื่อนไขที่พิมพ์ได้ในระบบนั้นเป็นเงื่อนไขปกติอย่างยิ่ง แต่นั่นไม่แตกต่างจากการบอกว่ามันสามารถพิมพ์ฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั้งหมดหรือไม่ เช่นไม่

กลับสู่ปกติอย่างมาก แต่ไม่ใช่ทั้งหมด?

λ x . x x

$\lambda x. xx$

— Morgan Thomas

ตอนนี้คำถามเกี่ยวกับคำพูดของคุณ (2) ดูเหมือนว่าทฤษฎีบทที่คุณอ้างไม่ใช่สิ่งที่เราสนใจมันบอกว่าสำหรับ LPTS ที่ไม่ขึ้นอยู่กับทุกถ้ามันไม่สอดคล้องกันแล้วก็ทัวริงสมบูรณ์ แต่เราต้องการทราบว่าสำหรับ LPTS ทุกรายการหรือไม่หากทัวริงสมบูรณ์แล้วจะไม่สอดคล้องกัน ฉันเข้าใจบางสิ่งที่นี่หรือไม่

— Morgan Thomas

@MorganThomas: อาคุณถูกต้องเกี่ยวกับจุดแรก: สิ่งที่ผมหมายถึงว่าเป็นที่ระบบการพิมพ์ไม่สามารถdecidableนั่นคือการได้รับ

คำสั่ง

เป็น undecidable ฉันจะแก้ไขในโพสต์

Γ, t, A

$\Gamma, t, A$

Γ ⊢ t : A

$\Gamma\vdash t:A$

— ดี้

จุดที่สอง: คุณยังถูกต้องที่หนึ่งสามารถมีฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่ผลรวมที่พิมพ์ได้ดี (แม้ว่าหนึ่งอาจไม่จำเป็นต้องใช้มันเพื่ออาร์กิวเมนต์ที่กำหนด) ฉันจะแก้ไขคำตอบ

— ดี้

จุดที่สาม คุณถูกต้องอีกครั้ง! อย่างไรก็ตามการสนทนา (ในกรณีพิเศษของ LPTS) ค่อนข้างเล็กน้อย ฉันจะร่างข้อโต้แย้ง

— ดี้

นี่คือคำตอบสำหรับตัวแปรของการกลั่นกรองคำถามของ @ cody มี LPTS ที่สอดคล้องกันซึ่งทำให้ทัวริงสมบูรณ์ในความหมายของ @ cody อย่างคร่าว ๆ หากเรายอมให้มีการแนะนำหลักการและกฎการลดเพิ่มเติม ดังนั้นการพูดอย่างเคร่งครัดระบบไม่ใช่ LPTS มันเป็นอะไรบางอย่างที่เหมือนกัน $\beta$

พิจารณาแคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง (หรือสมาชิกที่คุณชื่นชอบของ -cube) นี่คือ LPTS แต่เราจะเพิ่มสิ่งพิเศษที่ทำให้ไม่ใช่ LPTS เลือกสัญลักษณ์คงที่ $\lambda$ $\text{nat}, 0, S$ และเพิ่มสัจพจน์:

⊢ nat : *

$\vdash \text{nat} : \ast$

⊢ 0 : nat

$\vdash 0 : \text{nat}$

⊢ S : nat \to nat

$\vdash S : \text{nat} \to \text{nat}$

ดัชนีทัวริงโปรแกรมเครื่องโดยตัวเลขธรรมชาติและสำหรับแต่ละจำนวนธรรมชาติเลือกสัญลักษณ์คงเพิ่มความจริงและสำหรับทุกเพิ่มกฎ -reduction $e$ $f_e$ $f_e : \text{nat} \to \text{nat}$ $e,x \in \mathbb{N}$ $\beta$

f_{e} (x) \to_{β} Φ_{e} (x),

$f_e(x) \to_\beta \Phi_e(x),$

ที่ตามปกติเป็นผลลัพธ์ของ TH โปรแกรมเครื่องทัวริงในxหาก diverges กฎนี้จะไม่ทำอะไรเลย โปรดทราบว่าโดยการเพิ่มหลักการเหล่านี้และกฎทฤษฎีบทของระบบยังคงซ้ำนับ แต่ชุดของกฎ -reduction จะไม่ decidable แต่เพียงนับซ้ำ ผมเชื่อว่าเราสามารถเก็บชุดของ -reduction กฎ decidable โดยการสะกดออกมาอย่างชัดเจนในรายละเอียดของรูปแบบของการคำนวณในไวยากรณ์และกฎระเบียบของระบบ $\Phi_e(x)$ $e$ $x$ $\Phi_e(x)$ $\beta$ $\beta$

ทีนี้ทฤษฏีนี้เห็นได้ชัดว่าทัวริงสมบูรณ์ในแง่ของ @ cody เพียงแค่ใช้กำลังดุร้าย แต่การอ้างสิทธิ์ก็คือมันยังสอดคล้องกัน มาสร้างแบบจำลองของมันกัน

ให้เป็นสามเซตดังนี้: $U_1 \in U_2 \in U_3$

(โดยที่คือฟังก์ชันสืบต่อ) $\emptyset, \mathbb{N}, 0, S \in U_1$ $S$
แต่ละชุดเป็นสกรรมกริยา ถ้าแล้วฉัน $a \in b \in U_i$ $a \in U_i$
แต่ละชุดจะปิดภายใต้การก่อตัวของช่องว่างฟังก์ชั่น; กล่าวคือถ้าดังนั้น $A, B \in U_i$ $B^A \in U_i$ ฉัน
แต่ละชุดจะปิดภายใต้การก่อตัวของผลิตภัณฑ์ขึ้นอยู่กับ; เช่นถ้า $A \in U_i$ และแล้วฉัน $f : A \to U_i$ $\prod_{a \in A} f(a) \in U_i$

การดำรงอยู่ของชุดดังกล่าวดังต่อไปนี้ตัวอย่างเช่นจาก ZFC บวกกับความจริงที่ว่าทุกพระคาร์ดินัลถูก จำกัด โดยพระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ เราสามารถใช้เวลาแต่ละชุด $U_i$ มาเป็นเอกภพ Grothendieck

เรากำหนด "การตีความ" จะเป็นการทำแผนที่จากชุดของชื่อตัวแปรเพื่อองค์ประกอบของ 2ให้การตีความเราสามารถนิยามการตีความที่ของเงื่อนไขของระบบในแบบที่เห็นได้ชัด: $v$ $U_2$ $v$ $I_v$

, สำหรับ a ชื่อตัวแปร $I_v(x) = v(x)$ $x$
2 $I_v(\ast) = U_1, I_v(\Box) = U_2$
S $I_v(\text{nat}) = \mathbb{N}, I_v(0) = 0, I_v(S) = S$
คือฟังก์ชั่นกำหนดโดยโปรแกรมทัวริง th $I_v(f_e) = \Phi_e$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $e$
ถ้า $I_v(AB) = I_v(A)(I_v(B))$ $I_v(A)$ เป็นฟังก์ชันที่มีในโดเมนหรือมิฉะนั้น ( เป็นทางเลือกโดยพลการ) $I_v(B)$ $I_v(AB) = 0$
เป็นฟังก์ชั่นแผนที่ที่เป็นองค์ประกอบ $I_v(\lambda x : A. B)$ เพื่อ ) $a \in I_v(A)$ $I_{v[x:=a]}(B)$
) $I_v(\Pi x : A. B) = \prod_{a \in I_v(A)} I_{v[x:=a]}(B)$

เรามีว่าสำหรับเงื่อนไขทั้งหมด, 3ตอนนี้เราพูดได้ว่าการตีความน่าพอใจเขียนถ้า )เราบอกว่าถ้าตีความทุกถ้า $A$ $I_v(A) \in U_3$ $v$ $A : B$ $v \models A : B$ $I_v(A) \in I_v(B)$ $\Gamma \models A : B$ $v$ $v \models x : C$ ทั้งหมดแล้ว B $(x : C) \in \Gamma$ $v \models A : B$

มันเป็นตรงไปตรงมาเพื่อตรวจสอบว่าถ้าแล้วดังนั้นนี้เป็นรูปแบบของระบบ แต่สำหรับตัวแปรใด ๆ $\Gamma \vdash A : B$ $\Gamma \models A : B$ มันไม่ใช่กรณีที่เพราะเราสามารถตีความด้วยดังนั้นระบบจึงมีความสอดคล้องกัน $x,y$ $y : \ast \models x : y$ $y$ $\emptyset$

$\beta$

— มอร์แกนโทมัส
แหล่งที่มา

A

$A$

f_{e} (x) \to Φ_{e} (x)

$f_e(x)\rightarrow \Phi_e(x)$ $\iota$

β

$\beta$

β

$\beta$

f_{e} (x)

$f_e(x)$

ι

$\iota$

β

$\beta$

ฉันคิดว่าคุณพูดถูก นี่ไม่ใช่สนามของฉันดังนั้นฉันค่อนข้างจะทำสิ่งที่งุ่มง่าม :-) ฉันคิดว่างานพิสูจน์ของคุณและผลลัพธ์ที่น่าสนใจอย่างหนึ่งถ้าฉันพูดถูกก็คือทฤษฎีนี้ไม่มีความมั่นคงที่มั่นคงมากนัก ดูเหมือนว่าเป็นทฤษฎีที่ทรงพลังมากเพราะมันมีประเภทและจำนวนธรรมชาติซึ่งจะช่วยให้คุณตีความทฤษฎีเซตได้ แต่เห็นได้ชัดว่าคุณทำไม่ได้เพราะคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าสอดคล้องกันโดยไม่ใช้ทฤษฎีเซตอันทรงพลัง!

— Morgan Thomas