ฟังก์ชันบูลีนแบบโมโนโทนใดที่สามารถแทนได้ตามเกณฑ์ของผลรวม

ฉันจะแนะนำปัญหาด้วยตัวอย่าง สมมติว่าคุณกำลังออกแบบการทดสอบซึ่งประกอบด้วยคำถามอิสระชุดหนึ่งชุด(ซึ่งผู้สมัครจะได้รับทั้งถูกหรือผิด) คุณต้องการที่จะตัดสินใจเกี่ยวกับคะแนนที่จะให้กับคำถามแต่ละข้อโดยมีกฎว่าผู้สมัครที่มีคะแนนรวมสูงกว่าเกณฑ์ที่กำหนดจะผ่านและคนอื่น ๆ จะล้มเหลว$n$

ในความเป็นจริงคุณมีความละเอียดมากเกี่ยวกับเรื่องนี้และคุณได้จินตนาการถึงผลลัพธ์2 nทั้งหมดที่เป็นไปได้และตัดสินใจเลือกแต่ละข้อว่าผู้สมัครที่มีประสิทธิภาพนี้ควรผ่านหรือล้มเหลว ดังนั้นคุณมีฟังก์ชั่นบูลีนf : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }ที่ระบุว่าผู้สมัครควรผ่านหรือล้มเหลวขึ้นอยู่กับคำตอบที่แน่นอน แน่นอนว่าฟังก์ชั่นนี้ควรเป็นเสียงเดียว : เมื่อได้รับชุดคำถามที่ถูกต้องจะทำให้คุณผ่านการได้รับสิทธิ์ superset ใด ๆ จะต้องทำให้คุณผ่านเช่นกัน$2^n$$f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$

คุณสามารถตัดสินใจเกี่ยวกับคะแนน (จำนวนจริงบวก) เพื่อตั้งคำถามและในเกณฑ์เพื่อให้ฟังก์ชันของคุณถูกยึดตามกฎ "ผู้สมัครผ่านหากคะแนนรวมของคำถามที่ถูกต้องนั้นเกินเกณฑ์" ? (แน่นอนว่าเกณฑ์สามารถนำมาเป็น 1 โดยไม่สูญเสียความเอนเอียงไปจนถึงการคูณคะแนนด้วยค่าคงที่)$f$

อย่างเป็นทางการ:มีลักษณะของฟังก์ชั่นเสียงเดียวแบบบูลที่มีอยู่W 1 , ... , W n ∈ R +เช่นว่าทุกวี∈ { 0 , 1 } n , เรามีf ( v ) = 1 iff ∑ ฉันw ฉันv ฉัน ≥ $f: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$$w_1, \ldots, w_n \in \mathbb{R}_+$$v \in \{0, 1\}^n$$f(v) = 1$$\sum_i w_i v_i \geq 1$?

ไม่ยากที่จะเห็นว่าไม่ใช่ทุกฟังก์ชั่นที่สามารถใช้แทนได้ เช่นฟังก์ชั่นไม่สามารถ: เป็น( 1 , 1 , 0 , 0 )เป็นที่ยอมรับเราต้องมีw 1 + w 2 ≥ 1ดังนั้นหนึ่งในw 1 , W 2จะต้อง≥ 1 / 2และเช่นเดียวกันสำหรับW 3$(x_1 \wedge x_2) \vee (x_3 \wedge x_4)$$(1, 1, 0, 0)$$w_1 + w_2 \geq 1$$w_1, w_2$$\geq 1/2$ 4 ทีนี้ถ้ามันคือ e, w 1และ w 3เรามีข้อขัดแย้งเพราะ w 1 + w 3 ≥ 1แต่ ( 1 , 0 , 1 , 0 )ถูกปฏิเสธ; กรณีอื่นนั้นคล้ายคลึงกัน$w_3, w_4$$w_1$$w_3$$w_1 + w_3 \geq 1$$(1, 0, 1, 0)$

ดูเหมือนว่าฉันจะเป็นปัญหาที่เป็นธรรมชาติมากดังนั้นคำถามหลักของฉันคือต้องรู้ภายใต้ชื่อที่ได้รับการศึกษา แน่นอนว่าการขอคำอธิบาย "ลักษณะ" นั้นคลุมเครือ คำถามของฉันคือการรู้ว่าระดับของฟังก์ชั่นที่สามารถแสดงในลักษณะนี้มีชื่อสิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับความซับซ้อนของการทดสอบว่าฟังก์ชั่นอินพุตเป็นของมัน (ให้เป็นสูตรหรือเป็นวงจร) เป็นต้น

แน่นอนว่าเราสามารถนึกถึงความหลากหลายของธีม ตัวอย่างเช่นในการสอบจริงคำถามไม่ได้เป็นอิสระ แต่มี DAG เกี่ยวกับคำถามที่บ่งบอกถึงการพึ่งพาและผู้สมัครสามารถตอบคำถามได้ก็ต่อเมื่อมีการตอบคำถามที่จำเป็นเบื้องต้นทั้งหมด เงื่อนไขของฟังก์ชั่นเสียงเดียวสามารถถูก จำกัด การประเมินค่าในที่เป็นไปตามการพึ่งพาและคำถามจะพิจารณาว่าฟังก์ชันอินพุตสามารถถูกจับได้หรือไม่เนื่องจากอินพุต DAG บนตัวแปร เราอาจนึกถึงตัวแปรที่คะแนนเป็นk -tuples สำหรับค่าคงที่k (หาผลรวมของจุดและเปรียบเทียบค่าเป็นค่าเวกเตอร์ธรณีประตู) ซึ่งสามารถจับฟังก์ชั่นได้มากกว่า$\{0, 1\}^n$$k$$k$ 1 หรือคุณอาจต้องการจับฟังก์ชั่นการแสดงออกที่มากกว่าซึ่งไม่ใช่บูลีน แต่ไปที่โดเมนที่สั่งทั้งหมดโดยมีขีด จำกัด ต่าง ๆ ที่ควรระบุตำแหน่งของคุณในโดเมน สุดท้ายฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับสิ่งที่จะเกิดขึ้นหากคุณอนุญาตให้คะแนนลบ (ดังนั้นคุณสามารถลดข้อ จำกัด เสียงเดียวเกี่ยวกับฟังก์ชั่น)$k = 1$

(หมายเหตุ: สิ่งที่ทำให้ฉันสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้คือรอบคัดเลือกของ Google Code Jam ซึ่งผู้สมัครจะได้รับการคัดเลือกถ้าถึงเกณฑ์คะแนนที่แน่นอนและคะแนนของปัญหาได้รับการออกแบบอย่างระมัดระวังเพื่อสะท้อนให้เห็นว่าปัญหาชุดใดเพียงพอที่จะเลือก . Code Jam มีโครงสร้างการพึ่งพาของคำถามโดยมีคำถาม "อินพุตขนาดใหญ่" ที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากคุณไม่ได้แก้ไข "อินพุตขนาดเล็ก" เป็นอันดับแรก)

มันถูกกล่าวถึงในความคิดเห็นว่าสิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชั่นธรณีประตูบวก

สำหรับลักษณะอื่น ๆ ฉันพบว่าสิ่งต่อไปนี้น่าสนใจ สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นธรณีประตูบวกโดยมีน้ำหนักลดลง : f ( v 1 , … , v n ) = $w_1\ge w_2\ge\dots w_n$ จากนั้นโดยเฉพาะชุดอินพุต(v1,…,vn)ซึ่งf( → v )

Donald Knuth "ศิลปะแห่งการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์", การออกกำลังกาย 109 ของมาตรา 7.1.1

ในการใส่อย่างไม่เป็นทางการคือฟังก์ชันที่ทำให้บิตก่อนหน้านี้ 1 ทำให้fน่าจะเป็น 1: ดังนั้นเช่นf ( 0 , 1 , 1 ) ≤ f ( 1 , 0 , 1 ) ≤ f $f$$f$ ) นั่นคือ "บางบิตมีความสำคัญมากกว่า" และเพื่อลบกรณี isomorphic ที่ซ้ำซ้อนเราถือว่าบิตก่อนหน้านี้มีความสำคัญมากกว่า$f(0,1,1)\le f(1,0,1)\le f(1,1,0)$

อย่างไรก็ตามไม่ใช่ทุกฟังก์ชั่นดังกล่าวที่มีฟังก์ชั่นธรณีประตูบวก! นั่นเป็นเพียงเพราะคุณได้รับคำสั่งของคำถามสอบที่สำคัญที่สุดถึงอย่างน้อยก็ไม่ได้หมายความว่ากฎการผ่าน / ไม่ผ่านนั้นขึ้นอยู่กับการเพิ่มคะแนนบางส่วน

แน่นอนจำนวนฟังก์ชั่นธรณีประตูบวก (ที่มีน้ำหนักลดลง) กับตัวแปรถูกกำหนดโดยลำดับ 2 , 3 , 5 , 10 , 27 , 119 , 1113 , … (ลำดับoeis.org A000617 ) ในขณะที่จำนวนอุดมคติอุดมคติเช่นนั้น คือ 2 , 3 , 5 , 10 , 27 , 119 , 1173 , … (ลำดับที่oeis.org A132183 )$n$