ผลลัพธ์ที่ตอบโต้ได้ง่ายสำหรับนักศึกษาปริญญาตรี

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างของผลลัพธ์ที่ขัดต่อสัญชาตญาณของผู้คนสำหรับการพูดคุยกับผู้ชมทั่วไป ผลลัพธ์ซึ่งหากถามโดยผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ "สัญชาตญาณของคุณบอกอะไรคุณ" เกือบทุกคนจะเข้าใจผิด คำอธิบายผลลัพธ์ควรอธิบายได้ง่ายสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีใน cs / math ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เป็นหลัก

อะไรคือผลลัพธ์ที่ตอบโต้ได้ง่าย / ไม่คาดคิดที่สุด (เป็นที่สนใจโดยทั่วไป) ในพื้นที่ของคุณ?

สำหรับผู้ชมทั่วไปคุณต้องยึดติดกับสิ่งที่พวกเขาสามารถมองเห็นได้ ทันทีที่คุณเริ่มสร้างทฤษฎีพวกเขาจะเริ่มโทรศัพท์มือถือ

ต่อไปนี้เป็นแนวคิดบางประการที่สามารถทำให้เป็นตัวอย่างได้:

1. มีพื้นผิวที่เป็นมีเพียงด้านใดด้านหนึ่ง
2. เส้นโค้งอาจเติมเต็มทั้งสแควร์
3. มีเส้นโค้งความกว้างคงที่นอกเหนือจากวงกลม
4. มันเป็นไปได้ที่จะสีเครื่องบินที่มีสามสีในลักษณะดังกล่าวที่จุดชายแดนทุกคนเป็นสามชายแดน

หากคุณสามารถพึ่งพาความรู้ทางคณิตศาสตร์เล็กน้อยคุณสามารถทำสิ่งต่างๆได้มากขึ้น:

1. มีตัวเลขคี่ให้มากที่สุดเท่าที่จะมีจำนวนธรรมชาติ
2. มีความเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องและอนุพันธ์ได้ที่ไหน
3. มีฟังก์ชั่นซึ่งไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะทั้งหมดและหาอนุพันธ์ได้ที่จำนวนอตรรกยะทั้งหมด$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. Banach-Tarski "ความขัดแย้ง"

สำหรับโปรแกรมเมอร์คุณสามารถลอง:

1. functionals เป็นไปไม่ได้ : มีโปรแกรมที่ใช้คำกริยาp : stream → boolที่streamเป็นประเภทข้อมูลของลำดับอนันต์ไบนารีและผลตอบแทนtrueและถ้าหากp αเป็นtrueสำหรับทุกลำธารα(ที่หลาย uncountably) และfalseมิฉะนั้น

2. เป็นไปได้ที่จะเล่นโป๊กเกอร์ทางโทรศัพท์ในวิธีที่เชื่อถือได้ซึ่งป้องกันการโกง

3. กลุ่มคนสามารถคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพวกเขาโดยไม่มีใครหาเงินเดือนของคนอื่น

4. มีโปรแกรมที่สร้างต้นไม้ไบนารี$T$ด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

   • ต้นไม้ไม่มีที่สิ้นสุด$T$
   • ไม่มีโปรแกรมที่ติดตามเส้นทางไม่มีที่สิ้นสุดใน$T$

หนึ่งความคิดเป็นสิ่งที่ง่ายจากสตรีมมิ่งขั้นตอนวิธีการ อาจเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุดคืออัลกอริธึมส่วนใหญ่ สมมติว่าคุณดูสตรีมของตัวเลขหนึ่งหลังจากที่อื่น ๆ และคุณรู้ว่าจำนวนหนึ่งเกิดขึ้นมากกว่าครึ่งหนึ่งของเวลา แต่คุณไม่ทราบว่าเป็นที่หนึ่ง วิธีที่คุณสามารถค้นหาหมายเลขส่วนใหญ่ถ้าคุณสามารถจำตัวเลขสองในเวลา ? คำตอบคืออัลกอริทึม Misra-Gries$s_1, \ldots, s_n$

$x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$$f$$1$$x$

ความคิดก็คือเกมที่รู้จักกันดีแสดงให้เห็นถึงศูนย์พิสูจน์ความรู้ ฉันคิดว่ามันเป็นเพราะOded Goldreichและคล้ายกับการพิสูจน์ความรู้ศูนย์สำหรับ isomorphism กราฟ

เพื่อให้คำตอบอยู่ในตัวเองนี่คือเกม สมมติว่าคุณต้องการโน้มน้าวใจเพื่อนที่ตาบอดสีว่าคุณสามารถบอกสีแดงจากสีเขียวได้ เพื่อนของคุณมีไพ่สองชั้นและเขารู้ว่ากองหนึ่งมีสีเขียวและอีกใบเป็นสีแดง เขาทำสิ่งต่อไปนี้โดยที่คุณไม่เห็นเขาด้วยความน่าจะเป็น 1/2 เขาจั่วไพ่หนึ่งใบจากแต่ละสำรับกับความน่าจะเป็น 1/4 เขาจะดึงไพ่สองใบจากเด็คฝั่งซ้ายและความน่าจะเป็น 1/4 เขาจะดึงไพ่สองใบจากเด็คขวา . จากนั้นเขาจะแสดงการ์ดให้คุณและถามคุณว่ามีสีเดียวกันหรือไม่ หากคุณไม่ใช่คนตาบอดสีคุณสามารถตอบได้อย่างถูกต้องทุกครั้ง หากคุณตาบอดสีคุณจะล้มเหลวด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ดังนั้นถ้าเกมนี้เล่น 10 ครั้งความน่าจะเป็นที่คุณสามารถชนะได้ทุกครั้งขณะที่ตาบอดสีนั้นต่ำมาก

นักเตะคือถ้าเพื่อนของคุณรู้ไพ่สองสำรับเป็นสองสีที่แตกต่างกัน แต่ไม่รู้ว่าอันไหนเป็นสีแดงและเขียวซึ่งเขายังไม่รู้ในตอนท้ายนี้! ดังนั้นโดยสรุป:

1. มีสถานที่สำหรับการสุ่มในการพิสูจน์
2. คุณสามารถโน้มน้าวใจคนที่คุณรู้จักโดยไม่ให้ข้อมูลใด ๆ กับพวกเขา

$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

ผลลัพธ์ที่เข้าใจง่ายจากทฤษฎีความซับซ้อนคือทฤษฎี PCP:

$NP$$A$$A$

$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

สร้าง MDBs คำตอบ / มุมผลคลาสสิกของบางสิ่งบางอย่าง counterintuitive ในช่วงเวลาของการค้นพบใน TCS ที่รากฐานของมันคือการดำรงอยู่ของ(UN) decidabilityตัวเอง ที่หันของ 20 ^THศตวรรษที่ฮิลแบร์ตสะท้อนความคิดของนักคณิตศาสตร์ชั้นนำอื่น ๆ ของเวลาที่คิดว่าคณิตศาสตร์จะได้รับการจัดระบบ (บ้างในรูปแบบของสิ่งที่เรารับรู้เป็นอัลกอริทึม ) และค่อนข้างผ่านแนวคิดของ"ชั่วขณะ finitism" ( ซึ่งมีความคล้ายคลึงกันอย่างคร่าวๆกับแนวคิดของอัลกอริธึมที่เป็นลำดับขั้นตอน จำกัด ) เขาเสนอปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงตามแนวเหล่านี้ สัญชาตญาณของเขา (และอื่น ๆ ) กลายเป็นความผิดในรูปแบบที่น่าตื่นเต้น counterproof คือGodels ทฤษฎีบทและปัญหา Turings ลังเล ทั้งคู่เป็นแนวคิด / ผลลัพธ์ที่เป็นนามธรรมอย่างมากและมีความยาว, เอกสารทางเทคนิค / ข้อโต้แย้งที่เข้าใจได้ง่ายสำหรับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในเวลานั้น สิ่งเหล่านี้ไม่เคยถูกมองว่าเป็นสองด้าน / ใบหน้าของปรากฏการณ์เดียวกัน แต่ตอนนี้พวกเขาเป็น

นอกจากนี้ยังใช้เวลาเกือบ ~ ¾ของศตวรรษในการพิสูจน์ว่าสมการไดโอแฟนไทน์จำนวนเต็มเป็นปัญหาที่ไม่สามารถคาดเดาได้ปัญหาที่ 10ของฮิลเบอร์ นี่คือ counterintuitive ในแง่ที่ว่ามันเป็นที่รู้กันว่าทฤษฎีจำนวนมากเป็นเรื่องยากมากแต่แนวคิดที่ว่าบางปัญหาเฉพาะ / ระบุปัญหาในความเป็นจริงมันอาจจะเป็น"เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไข"เกือบจะตกใจในเวลา undecidability ยังคงเป็นสิ่งที่ท้าทายอย่างมากในวิชาคณิตศาสตร์ / TCS แม้ในขณะที่เรามีการเพิ่มขึ้นอย่างทวีคูณของฮาร์ดแวร์เนื่องจากกฎหมายของ Moores และซูเปอร์คอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ที่ยังคงอยู่ บางแง่มุมของความประหลาดใจของ undecidability สามารถพบได้ในหนังสือคณิตศาสตร์สูญเสียความมั่นใจโดยไคลน์

ดูเหมือนชัดเจน แต่จากประสบการณ์ส่วนตัวความคิดที่ว่าคุณสามารถประมาณค่ามัธยฐานของการรวบรวมรายการโดยใช้การดำเนินการจำนวนคงที่นั้นน่าตกใจเล็กน้อย และถ้านั่นดูเป็นเรื่องเทคนิคเกินไปคุณสามารถแปลงเป็นคำแถลงเกี่ยวกับการเลือกตั้งได้ (คุณต้องมีคน 1,300 คนเพื่อรับตัวอย่างที่มีข้อผิดพลาด 3% โดยไม่คำนึงถึงขนาดของประชากร)

เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้เป็นวันเกิดที่ผิดธรรมดาแน่นอน

บางทีตัวอย่างที่ดี (ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับความซับซ้อนของการคำนวณ) คือทัวริงสากลของแบบจำลองการคำนวณอย่างง่าย

ตัวอย่างเช่นกฎ 110มีประสิทธิภาพ (อ่อน) สากล:

รับอาร์เรย์ (ไม่มีที่สิ้นสุด) ของเซลล์ 0-1 (สีขาว - ดำ) เริ่มต้นอย่างถูกต้องและกฎการทดแทนอย่างง่าย:

เรามี "คอมพิวเตอร์ทำงาน"! :-)

สำหรับคำจำกัดความของ "อ่อนแอ" และ "มีประสิทธิภาพ" และสำหรับตัวอย่างอื่น ๆ ของเครื่องจักรทัวริงทั่วไปดูที่: Turlough Neary, Damien Woods; ความซับซ้อนของเครื่องทัวริงสากลขนาดเล็ก: การสำรวจ

อีกตัวอย่างที่ทำให้งงคือ Turing ครบถ้วนของFRACTRAN "ภาษาโปรแกรม":

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• $q_i$$n$

$n$

นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้รุ่นอื่น ๆ เช่นระบบแท็กวงจร, ant-automata, ....
ความคิดที่ไม่ให้ใช้งานง่ายคือ "การคำนวณ" ถูกซ่อนอยู่เกือบทุกที่ ... Wolfram เขียนหน้า 1192 ที่เต็มไปด้วยตัวเลขและข้อความให้ดีขึ้น แสดงความคิดนั้นในวิทยาศาสตร์แบบใหม่ของเขา (ใช่ ... ใช่ ... แม้จะมีความคิดเห็นที่สำคัญบางอย่างในที่สุดฉันก็ซื้อสำเนา :-)

ผู้สมัครที่ดีสองสามคนจากหัวฉัน:

• NFA ทุกคนมี DFA ที่เทียบเท่ากัน

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• การเข้ารหัสคีย์สาธารณะ

  • การเรียกฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ที่เข้ารหัสและรับผลลัพธ์ที่ต้องการโดยไม่เปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับอินพุตของคุณ

  • การเข้ารหัส RSA

• รหัส Reed-Solomon

• countability

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• ในระดับปรัชญามากขึ้นฉันประหลาดใจที่ทัวริงเครื่องจักรกำหนดการคำนวณอย่างถูกต้อง