พจนานุกรมทฤษฎีหมวดหมู่ที่ดีคืออะไร

เมื่อจัดการกับหมวดหมู่ทฤษฎีโดเมน (พูด CPO และ CPO) ฉันมักต้องการพจนานุกรมสำหรับภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ในทฤษฎีโดเมน $\omega$

นั่นคือจากแนวคิดที่ว่าลูกศร monic ฉันสามารถค้นหามันในพจนานุกรมและดูว่ามีการจำแนกลักษณะที่เป็นที่รู้จักในประเภทโดเมนที่แตกต่างกันอย่างไร

ฉันรู้ว่าความปรารถนานี้มากเกินความคาดหวัง แต่มีข้อความหรือทรัพยากรใกล้เคียงกับมันหรือไม่?

— Ohad Kammar
แหล่งที่มา

คำตอบ:

แหล่งข้อมูลที่ดีที่สุดสำหรับบทนี้คือบทคู่มือของ Abramsky และ Jung ฉันจำได้ว่าพวกเขามีตารางที่อ้างอิงข้ามการก่อสร้างและหมวดหมู่ของโดเมนต่าง ๆ โดยมีรายการระบุว่าการก่อสร้างทำงานในประเภทนั้นหรือไม่และมีคุณสมบัติใดบ้าง อย่างไรก็ตามคุณสมบัติของลูกศรเช่นเดียวกับ monic มีแนวโน้มที่จะไม่ทำให้ตัวละครเนียนอย่างน่ากลัวเพราะความพร้อมของโดเมนแบนมีแนวโน้มที่จะให้แน่ใจว่าพวกเขามักจะไม่แตกต่างกันมากจากคู่ของพวกเขาตั้งทฤษฎี OTOH คุณสมบัติที่ใช้ประโยชน์จากโครงสร้างคำสั่งบางอย่าง (เช่นการเป็นคู่การคาดการณ์การฝัง) มีแนวโน้มที่จะมีลักษณะตัวละครที่ค่อนข้างสวย

ประเด็นที่ควรระวังคือมีคำจำกัดความของ CPO สองประการที่ใช้กันทั่วไป! ผู้บริโภคในทฤษฎีโดเมน (เช่นฉัน) มักชอบทำงานกับโอเมก้าโซ่เนื่องจากโซ่เป็นวัตถุที่ค่อนข้างเป็นรูปธรรม ในขณะที่ผู้ผลิตของทฤษฎีโดเมน (เช่นเอ่อที่ปรึกษาของคุณ) มีแนวโน้มที่จะชอบทำงานกับชุดกำกับซึ่งเป็นเรื่องทั่วไปและมีคุณสมบัติทางพีชคณิตที่ดี (Offhand ฉันไม่แน่ใจว่าการ จำกัด ชุดกำกับที่มีฐานนับได้นั้นเท่ากับสภาพของโซ่โอเมก้า)

สิ่งที่ฉันพบว่ามีประโยชน์มากในการสร้างพจนานุกรมประเภทนี้คือการแก้ปัญหาสมการโดเมนแบบเรียกซ้ำในบางประเภทที่ไม่ใช่โดเมน สองทางเลือกที่ดีคือประเภทของ PER (เช่นในรูปแบบของความหลากหลาย) และ presheaves (เช่นสำหรับการจัดสรรชื่อ) ช่องว่างการวัดเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่ง แต่ฉันพบว่ามันคล้ายกับโดเมนมากเกินไปที่จะช่วยฉันสร้างสัญชาตญาณ

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ใช่ฉันคุ้นเคยกับบทของ Abramsky และคณะและโดยเฉพาะอย่างยิ่งตารางที่กล่าว อย่างที่คุณพูดพวกเขาอธิบายโครงสร้างพื้นฐาน (ผลิตภัณฑ์จำนวนเงินเลขชี้กำลัง ฯลฯ ) แต่รายการอยู่ไกลจากความเข้าใจที่ครอบคลุม

— Ohad Kammar

คำถามเกิดขึ้นในใจเมื่อพูดถึงความเป็นไปได้หลายอย่างสำหรับคำจำกัดความและเราจำเป็นต้องเปรียบเทียบแนวคิดเชิงหมวดหมู่ที่แตกต่างกัน ฉันรู้สึกประหลาดใจเล็กน้อยเมื่อฉันรู้ว่าวิธีการของเราคือการหาลักษณะเฉพาะที่สะดวกโดยใช้สัญชาตญาณบทความเก่าและหนังสือใด ๆ ที่โผล่เข้ามาในใจของเรา แน่นอนวิธีการนี้เรียกว่า "ความเชี่ยวชาญ" (ซึ่งฉันขาด) แต่ในฐานะโปรแกรมเมอร์ฉันรู้สึกว่าอาจมีวิธีที่ดีกว่าที่จะทำ

— Ohad Kammar

โอ้และยังไงกันเกี่ยวกับโปรดิวเซอร์ดังกล่าว --- ปัญหาเหล่านั้นที่มีกับ DCPO เกิดจากระยะเวลาการวิจัยเท่าไหร่? ถ้าคุณดูที่รุ่นดั้งเดิมของสกอตต์ -calculus เขาจะใช้ตาข่ายต่อเนื่องซึ่งยิ่งแข็งแกร่งกว่า DCPOs (ใช่ไหม) เมื่อมองย้อนกลับไปเรารู้ว่าการขัดต่อเนื่องไม่ใช่ความคิดที่ดีที่สุดและทำงานร่วมกับ CPO หรือรสชาติใดก็ได้ที่เหมาะสม (แหลม CPO หรือสูงกว่า PER ฯลฯ ) แท้จริงแล้วนั่นคือที่ที่ความได้เปรียบอย่างเต็มที่ของทฤษฎีหมวดหมู่ปรากฏตัว ฉันรู้ว่าทุกวันนี้เขาพอใจที่จะทำงานกับ CPO อย่างสมบูรณ์แบบเมื่อเราต้องกินอะไรซักอย่าง

λ

$\lambda$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Ohad Kammar

คุณอาจต้องการดู Smyth และ Plotkin 1982, "ในหมวดหมู่ทฤษฎีการแก้ปัญหาของสมการโดเมนแบบเรียกซ้ำ" หรือเอกสารบางส่วนของ Paul Taylor (ฉันลืม refs ที่แน่นอน) หรือ Andy Pitts's 1996 "Relational Properties of Domains" เอกสารเหล่านี้ล้วน แต่ทำสิ่งต่าง ๆ ผ่านคุณสมบัติของนามธรรมที่จำเป็นจากบนลงล่าง ฉันฉันพบเอกสารเหล่านี้ค่อนข้างเป็นนามธรรมสำหรับฉันจนกว่าฉันจะทำงานผ่านรายละเอียดที่เป็นรูปธรรมในตัวอย่างสองสามตัวอย่าง แล้วพวกเขาก็ชัดเจน!

— Neel Krishnaswami

Markowsky 1977 หมวดหมู่ของการโพสท่าแบบครบวงจรมีตารางที่ดีสำหรับตัวแปร CPO บางประเภท

— Ohad Kammar

ฉันไม่แน่ใจว่ามีอย่างใดอย่างหนึ่ง อย่างไรก็ตามมีหนังสือดี ๆ หลายเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีหมวดหมู่และชุดบรรยายมากยิ่งขึ้นซึ่งมีคุณภาพแตกต่างกันไป วิกิพีเดียยังมีค่อนข้างมากของข้อมูลที่เชื่อถือได้ในหมวดหมู่ทฤษฎีและทฤษฎีโดเมน แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตที่ดีอีกแหล่งหนึ่งคือnCatLabแม้ว่ามันจะทำให้ทฤษฎีหมวดหมู่มีมิติมากขึ้น

การอ้างอิงทฤษฎีโดเมนที่ดีคือS. Abramsky, A. Jung (1994) "ทฤษฎีโดเมน" ใน S. Abramsky, DM Gabbay, TSE Maibaum, บรรณาธิการ (PDF) คู่มือตรรกะในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ สาม. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ไอ 0-19-853762-X

หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีหมวดหมู่ที่ฉันได้ดูจริง ๆ คือ:

Awodey, Steve (2006) หมวดหมู่ทฤษฎี (ฟอร์ดลอจิกไกด์ 49) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ฉบับที่ 2, 2010 การแนะนำที่ดีเมื่อเร็ว ๆ นี้เป๋ต่อวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
Barr, Michael; Wells, Charles "ทฤษฎีหมวดหมู่เพื่อการคำนวณทางวิทยาศาสตร์" ยากที่จะได้รับนั่นคือไม่สามารถใช้ได้จากอเมซอน
Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997) คณิตศาสตร์แนวความคิด: การแนะนำครั้งแรกในหมวดหมู่ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ บทนำที่น่ายินดีบางทีอาจไม่ลึกพอ
Mac Lane, Saunders (1998) หมวดหมู่สำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ทำงาน ตำราบัณฑิตศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ฉบับที่ 2) Springer-Verlag ไอ 0-387-98403-8 บางทีคณิตศาสตร์เกินไป
เพียร์ซ, เบนจามิน (1991) ทฤษฎีหมวดหมู่พื้นฐานสำหรับนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ กด MIT อาจจะพื้นฐานเกินไป
เทย์เลอร์พอล (1999) พื้นฐานการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ค่อนข้างครอบคลุม ใช้มุมมองเชิงตรรกะ

หนังสือเล่มอื่น ๆ ที่มีอยู่ทั่วไปเช่น Barr & Well ของToposes อเนกประสงค์และทฤษฎีและ Jiri Adámekอรก์ Herrlich และจอร์จอี Strecker ของบทคัดย่อและหมวดหมู่คอนกรีต - ความสุขของแมว เหล่านี้มีแนวโน้มที่จะมีคำจำกัดความทั้งหมดที่คุณต้องการอย่างน้อยจากด้านทฤษฎีหมวดหมู่

— เดฟคลาร์ก
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ครอบคลุม อย่างไรก็ตามอย่างที่คุณพูดมันง่ายพอที่จะค้นหาเนื้อหาในทฤษฎีโดเมนและทฤษฎีหมวดหมู่ และในความเป็นจริงมันค่อนข้างมาก แต่นั่นคือปัญหาความรู้แพร่กระจายไปทั่วหน้าหนังสือการประชุมและสัญลักษณ์มากมายที่การเข้าถึง (แม้กระทั่งกับ Google) จะกลายเป็นเรื่องไม่สำคัญ ฉันเดาว่าความแตกต่างระหว่างการมีชั้นวางหนังสือที่เต็มไปด้วยหนังสืออ้างอิงที่ดีที่เพิ่งพูดถึงความสัมพันธ์และการอ้างอิง

— Ohad Kammar

วิธีหนึ่งในการแก้ไขปัญหานี้สำหรับคนรุ่นต่อไปคือการเขียนพจนานุกรมของคุณเองสำหรับคำศัพท์ที่คุณเจอ

— Dave Clarke

บางทีพัฒนาncatlabรุ่นของเราเองหรือ

— Uday Reddy

แล้วถามที่ปรึกษาของคุณล่ะ เขาคิดค้นทฤษฎีโดเมนที่ดี

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

หัวเราะดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นความคิดมาถึงเมื่อเรากำลังพูดถึงแนวคิดเชิงทฤษฎีบางประเภทในโดเมนที่แตกต่างกัน ความคิดที่แน่นอนของฉันคือ: แน่นอนควรมีวิธีที่ดีกว่าการขอให้ผู้เชี่ยวชาญคร่ำครวญผ่านวรรณกรรมทั้งหมดหรือการคาดเดาอย่างจริงจัง ...

— Ohad Kammar