treewidth

ให้$k$ได้รับการแก้ไขและให้$G$เป็นกราฟ (เชื่อมต่อ) ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดมันจะตามมาจากผลงานของ Bodlaender [1, Theorem 3.11] ว่าหากการเดินของ$G$มีค่าอย่างน้อยอย่างน้อย$2k^3$ก็มีดาวK 1 , kเป็นผู้เยาว์$G$$K_{1,k}$

เราสามารถทำให้เทอม$2k^3$เล็กลงได้ไหม? นั่นคือไม่ treewidth พูดอย่างน้อย$k$แล้วบ่งบอกถึงการดำรงอยู่ของที่$K_{1,k}$ -Minor? มีหลักฐานอยู่ที่ไหนสักแห่ง?

[1] Bodlaender, HL (1993) ในการทดสอบย่อยเชิงเส้นเวลาที่มีการค้นหาความลึกแรก บันทึกประจำวันของอัลกอริทึม, 14 (1), 1-23

$G$$K_{1,k}$$k-1$

$tw(G)$$G$$\omega(G)$$G$$H$$G$$G$$H$$H$$4$$H$$G$$H$$G$$X$$G$$H$$G$$X$$H$

สูตรข้างต้นแสดงให้เห็นว่าที่จะพิสูจน์ว่ามันเพียงพอที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกชมรมสูงสุดศักยภาพของมีขนาดที่มากที่สุดkตอนนี้เราพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เป็นกลุ่มสูงสุดของและสมมติว่า 1$tw(G) \leq k-1$$G$$k$$X$$G$$|X| \geq k+1$

เราจะใช้การจำแนกลักษณะของกลุ่มสูงสุดที่เป็นไปได้ดังต่อไปนี้: ชุดจุดสุดยอดเป็นกลุ่มค่าสูงสุดสูงสุดในถ้าและเฉพาะถ้าสำหรับทุกคู่ ,ของจุดยอดที่ไม่ติดกันในมีเส้นทางจากเพื่อในมีจุดภายในทั้งหมดนอกXตัวละครนี้สามารถพบได้ในกระดาษTreewidth และ Fill-in ขั้นต่ำ: การจัดกลุ่มตัวแยกที่น้อยที่สุดโดย Bouchitte และ Todinca$X$$G$$u$$v$$X$$P_{u,v}$$u$$v$$G$$X$

ด้วยลักษณะนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับมาเล็ก ๆ น้อย ๆ จากXLetX ทุกจุดสุดยอดทั้งเป็นขอบของหรือมีเส้นทางจากเพื่อที่มีจุดภายในทั้งหมดนอกXสำหรับทุกที่ไม่ติดกับหดตัวทุกจุดภายในของลงในยูเราท้ายด้วยเล็กน้อยซึ่งอยู่ติดกับทั้งหมดและ$K_{1,k}$$X$$u \in X$$v \in X \setminus \{u\}$$uv$$G$$P_{u,v}$$u$$v$$X$$v \in X$$u$$P_{u,v}$$u$$G$$u$$X$$|X| \geq k+1$ 1 ดังนั้นระดับของในผู้เยาว์นี้เป็นอย่างน้อยทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์$u$$k$