อัลกอริทึมแบบสุ่มใดที่มีความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ

สมมติว่าอัลกอริทึมแบบสุ่มใช้ $r$ บิตแบบสุ่ม ต่ำสุดน่าจะเป็นหนึ่งในข้อผิดพลาดสามารถคาดหวัง (ล้มสั้นของอัลกอริทึมที่กำหนดด้วย 0 ข้อผิดพลาด) เป็น $2^{-\Omega(r)}$ )อัลกอริทึมแบบสุ่มใดที่ให้โอกาสในการเกิดข้อผิดพลาดน้อยที่สุด

ตัวอย่างที่นึกได้คือ:

อัลกอริทึมการสุ่มตัวอย่างเช่นที่หนึ่งต้องการประเมินขนาดของชุดที่หนึ่งสามารถตรวจสอบการเป็นสมาชิก ถ้ามีตัวอย่างหนึ่งตัวอย่างที่สุ่มตรวจสอบองค์ประกอบที่ถูกผูกไว้ Chernoff รับประกันความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ
อัลกอริทึม Karger-Klein-Tarjan สำหรับการคำนวณแผนผังการขยายขั้นต่ำ อัลกอริธึมเลือกแต่ละขอบด้วยความน่าจะเป็น 1/2 และค้นหา MST ซ้ำในตัวอย่าง เราสามารถใช้เชอร์อฟฟ์เพื่อยืนยันว่ามันไม่น่าเป็นไปได้ที่จะมี 2n + 0.1m ของขอบที่ดีกว่าต้นไม้

คุณนึกถึงตัวอย่างอื่นได้ไหม

คำตอบต่อไปนี้ของ Andras ด้านล่าง:จริง ๆ แล้วอัลกอริธึมเวลาพหุนามสามารถแปลงเป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่ช้ากว่าโดยมีความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ โฟกัสของฉันอยู่ที่อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสองตัวอย่างที่ฉันให้มีอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่กำหนดที่แก้ปัญหา ความสนใจในอัลกอริทึมแบบสุ่มนั้นขึ้นอยู่กับประสิทธิภาพของมัน

randomized-algorithms

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่มีงานบางอย่างในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขแบบสุ่ม youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— Baby Dragon

บางทีเราอาจไม่สามารถคาดหวังได้ แต่เราสามารถหวังได้อย่างแน่นอน (ยังคง "ขาดอัลกอริธึมที่กำหนดได้โดยมีข้อผิดพลาด 0") ซึ่งสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด

c

$c\hspace{-0.02 in}$ ถ้า

c < 1

$\: c<1 \:$ แล้วมีอัลกอริทึม

$\hspace{.34 in}$ ซึ่งความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดคือ

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$ .

$\:$ ฉันเชื่อว่าการทดสอบเอกลักษณ์พหุนามเป็นปัญหาดังกล่าว

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemer ฉันไม่เข้าใจความคิดเห็นของคุณ อัลกอริทึมแบบสุ่มปกติสำหรับ PIT มีข้อผิดพลาดซึ่งไม่ได้เป็นเลขชี้กำลังในการสุ่ม แล้วคุณจะพูดอะไร คุณกำลังบอกว่าอาจมีอัลกอริทึมดังกล่าวสำหรับปัญหา BPP หรือไม่?

— Sasho Nikolov

ตอนนี้ฉันรู้แล้วว่าฉันไม่เห็นวิธีใดที่แสดงให้เห็นว่า PIT อยู่ในชั้นเรียนที่ฉันอธิบาย

$\:$ ในทางตรงกันข้ามการปล่อยให้

-super-polynomial ใน

(เช่นการปล่อยให้ความยาว (S) เป็น superlinear ในความยาว (d)) จะพอเพียงสำหรับบทสรุปของ Schwartz-Zippel

S

$S$

d

$d$

$\:$ (ต่อ ... )

$\;\;\;\;$

การก่อสร้างวิธี probabilsitic หลายคนมีพฤติกรรมดังกล่าวไม่? ตัวอย่างเช่นการเลือกชุดของสตริงไบนารีแบบสุ่มและมองหาคู่ที่ใกล้ที่สุด - ความน่าจะเป็นที่จะมีสองสตริงในระยะที่น้อยกว่า

มีขนาดเล็กมาก -------------------------------------------------- ----------------------- ด้วยจิตวิญญาณของคำตอบ BPP ด้านล่าง: ด้วยตัวขยายองศาคงที่โดยมีจุดยอด

และจุดยอดที่มีเครื่องหมาย

ความน่าจะเป็นของการเดินสุ่มความยาว

เพื่อพลาดจุดสุดยอดที่ทำเครื่องหมายไว้คือ

ถ้า

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

)

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— Sariel Har-Peled

คำตอบ:

Impagliazzo และ Zuckerman พิสูจน์แล้ว (FOCS'89 ดูที่นี่ ) ว่าหากอัลกอริทึม BPP ใช้บิตสุ่มเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นที่ถูกต้องอย่างน้อย 2/3 จากนั้นใช้การสุ่มเดินบนกราฟตัวขยายซึ่งสามารถปรับปรุงความน่าจะเป็นความถูกต้องได้ ของโดยใช้บิตสุ่ม( หมายเหตุ:ในขณะที่ผู้เขียนใช้ค่าคงที่ 2/3 เฉพาะในนามธรรมมันสามารถถูกแทนที่ด้วยค่าคงที่อื่น ๆ ที่มากกว่า 1/2) $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

ถ้าเราใช้เวลาหมายถึงที่ใด ๆอัลกอริทึม BPP ที่บรรลุความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดคงที่โดยใช้บิตสุ่มสามารถ (ที่ไม่ใช่นิด) ที่ดีขึ้นจะมีข้อผิดพลาดน่าจะเป็น )ดังนั้น (ยกเว้นกรณีที่ฉันเข้าใจผิดบางอย่าง) ความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดของสามารถทำได้สำหรับทุกปัญหาใน BPP $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— Andras Farago
แหล่งที่มา

ปัญหาเกี่ยวกับเทคนิคการขยายสัญญาณคือพวกมันทำให้อัลกอริทึมช้าลง อัลกอริทึมใหม่อาจใช้เฉพาะบิตสุ่ม O (r) แต่เวลาทำงานของมันคือ r ครั้ง (รันไทม์ดั้งเดิม) ถ้า r คือพูดอย่างน้อยเชิงเส้นในขนาดอินพุต n (ซึ่งโดยปกติแล้ว) คุณเพียงแค่ทำให้อัลกอริทึมช้าลงโดยปัจจัย n นั่นไม่ใช่สิ่งที่ algorithmists ส่วนใหญ่จะเกี่ยวกับความสุข ...

— Dana Moshkovitz

ฉันไม่แน่ใจว่านี่คือสิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่มันเกี่ยวข้องกับ:

$k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

$t$ $4^{-t}$

p_{k, t} \leq O (k \cdot 4^{- t}) .

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

$t=1$

p_{k, 1} \leq 2^{- (1 - o (1)) \frac{k \ln \ln k}{\ln k}} \leq 2^{- \tilde{Ω} (k)} .

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

ดูErdös and Pomerance (1986) , Kim and Pomerance (1989)และDåmgard, Landrock และ Pomerance (1993)สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

$O(k^2)$ $O(k)$

— โทมัสสนับสนุนโมนิก้า
แหล่งที่มา