สองรุ่นของ NP

นี่คือสองรูปแบบตามคำจำกัดความของ NP พวกเขา (เกือบแน่นอน) กำหนดคลาสความซับซ้อนที่แตกต่างกัน แต่คำถามของฉันคือ: มีตัวอย่างของปัญหาตามธรรมชาติที่เข้ากับชั้นเรียนเหล่านี้หรือไม่

(เกณฑ์ของฉันสำหรับสิ่งที่นับว่าเป็นธรรมชาติที่นี่ต่ำกว่าปกติเล็กน้อย)

ชั้น 1 (ซูเปอร์คลาสของ NP): ปัญหาเกี่ยวกับพยานพหุนามขนาดที่ใช้เวลา superpolynomial แต่เวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลในการตรวจสอบ สำหรับรูปธรรมสมมติว่าเวลา )สิ่งนี้เทียบเท่ากับคลาสของภาษาที่รู้จักโดยเครื่องจักร nondeterministic ที่ต้องใช้เวลาแต่สามารถทำได้เพียงการคาดเดาแบบ poly (n) nondeterministic $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

มีปัญหาตามธรรมชาติในคลาสที่ 1 ที่ไม่รู้จัก / คิดว่าเป็นในหรือในหรือไม่ $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

Class 1 เป็นคลาสของภาษาตามปกติ ในทางกลับกันคลาส 2 เป็นคลาสของปัญหาเชิงสัมพันธ์:

ชั้น 2: ความสัมพันธ์แบบไบนารี R = {(x, y)} อยู่ในชั้นนี้ถ้า

มีพหุนามว่า p (x, y) ใน R มีความหมายว่า | y | มากที่สุด p (| x |)
มีโพลี (| x |) - อัลกอริธึมไทม์ A สำหรับทุกอินพุต x หากมี ay ที่ (x, y) อยู่ใน R แล้ว (x, A (x)) อยู่ใน R และ หากไม่มี y ดังกล่าวดังนั้น A (x) ปฏิเสธ
สำหรับโพลี (| x |) - เวลาอัลกอริธึม B มีหลายคู่อนันต์ (x, w) ซึ่ง B (x, w) แตกต่างจาก R (x, w) (ที่นี่ฉันใช้ R เพื่อแสดงถึงลักษณะของมันเอง ฟังก์ชั่น)

กล่าวอีกนัยหนึ่งพยานทุกคนหาได้ง่ายถ้ามี และยังไม่สามารถพิสูจน์พยานได้ทั้งหมด

(โปรดสังเกตว่าถ้า R อยู่ในคลาส 2 ดังนั้นการฉายภาพ R ลงบนปัจจัยแรกนั้นเป็นเพียงแค่ใน P นี่คือสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยบอกว่าคลาส 2 เป็นคลาสของปัญหาเชิงสัมพันธ์)

มีปัญหาตามธรรมชาติในชั้นเรียนที่ 2 หรือไม่?

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจคำถาม คุณต้องการปัญหาที่เห็นได้ชัดในชั้นเรียนหนึ่งหรือไม่

— Lev Reyzin

ไม่สำหรับแต่ละชั้นเรียนฉันสงสัยแยกกันว่ามีปัญหาตามธรรมชาติที่เข้ากับชั้นเรียน แต่ไม่ทราบว่าเหมาะสมกับชั้นเรียนมาตรฐานความซับซ้อนอื่น ๆ หรือไม่ ตัวอย่างเช่นฉันต้องการทราบว่ามีปัญหาตามธรรมชาติในคลาส 1 ที่ไม่ทราบว่าอยู่ใน NP หรือไม่

— Joshua Grochow

ฉันคิดว่าคุณต้องการเขียนเงื่อนไข 2 สำหรับ Class 2 เนื่องจากมิฉะนั้น A อาจเป็นอัลกอริธึมเล็กน้อยที่ปฏิเสธได้เสมอ คำอธิบายด้วยวาจาของคุณด้านล่างดูเหมือนสมเหตุสมผลกว่า

— Andy Drucker

สำหรับ Class 2 ตัวอย่างหนึ่งที่ค่อนข้างโง่คือ R (p, a) = {p เป็นพหุนามจำนวนเต็ม a อยู่ในช่วงของ p และ | a | = O (poly (| p |)}. R อยู่ใน Class 2 แต่ไม่สามารถตัดสินใจได้

— Andy Drucker

แอนดี้ - ทำไมไม่โพสต์สิ่งนั้นเป็นคำตอบแทนความคิดเห็น

— Joshua Grochow

สำหรับ Class 2 ตัวอย่างหนึ่งที่ค่อนข้างโง่คือ

R (p, a) = {p เป็นพหุนามจำนวนเต็ม a อยู่ในช่วงของ p และ | a | = O (โพลี (| p |)}

R อยู่ใน Class 2 แต่ไม่สามารถตัดสินใจได้

— Andy Drucker
แหล่งที่มา

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

อ่าใช่ นั่นเป็นวิธีที่ฉันเชื่อมั่นในตัวเองมาก่อนเช่นกัน :) ขอบคุณ

— Joshua Grochow

ฉันจะขอให้คุณชี้แจงเงื่อนไขการเป็นพยานในชั้น 1 เล็กน้อย ดูเหมือนว่าปัญหาใด ๆ ที่ถูกผูกมัดอย่างเหมาะสมจาก co-NP จะดูเหมือนจะหลอกลวงสิ่งนี้คือสิ่งที่คุณต้องการหรือไม่

$\log n$

— แมกนัสWahlström
แหล่งที่มา

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (ฉันจะอัปเดตคำถามตาม) ฉันสงสัยว่ารุ่นของปัญหา parametrized อื่น ๆ อาจทำกลลวง แต่ฉันไม่คุ้นเคยกับความซับซ้อนของ parametrized

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

อาจไม่ได้อยู่ใน QP เพราะสามารถแสดงปัญหาทั้งหมดใน NP และอาจไม่อยู่ใน NP เพราะสามารถแสดงปัญหาทั้งหมดใน co-NTIME (polylog)

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

ใช่ฉันเดาว่ามันจะใช้ได้

— Robin Kothari