การค้นหาเหรียญที่มีอคติโดยใช้การโยนเหรียญสักสองสาม

ปัญหาต่อไปนี้เกิดขึ้นระหว่างการวิจัยและทำความสะอาดอย่างน่าประหลาดใจ:

คุณมีแหล่งที่มาของเหรียญ เหรียญแต่ละอันมีอคติกล่าวคือความน่าจะเป็นที่มันตกลงบน "หัว" สำหรับแต่ละเหรียญอย่างอิสระมีความเป็นไปได้ที่ 2/3 ว่ามันมีอคติอย่างน้อย 0.9 และส่วนที่เหลือของความน่าจะเป็นที่จะมีอคติได้ใน [0,1] คุณไม่รู้อคติของเหรียญ สิ่งที่คุณสามารถทำได้ในทุกขั้นตอนคือการโยนเหรียญและสังเกตผลลัพธ์

สำหรับ n ให้งานของคุณคือการหาเหรียญที่มีอคติอย่างน้อย 0.8 มีโอกาสอย่างน้อย )คุณสามารถทำได้โดยใช้การโยนเหรียญ O (n) เท่านั้น? $1-\exp(-n)$

ds.algorithms pr.probability

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าไม่น่าจะมากฉันตั้งแต่

โยนดูเหมือนจะจำเป็นเพียงเพื่อให้ตรวจสอบว่าได้รับเหรียญสูงอคติหรือไม่ด้วยความมั่นใจ

)

(เราอาจสมมติว่าแต่ละเหรียญมีอคติ

หรือ

.) คุณมีอะไรที่ดีกว่า

โยนไหม

O (n)

$O(n)$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

0.9

$0.9$

0.8 - ϵ

$0.8-\epsilon$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— usul

ฉันไม่ได้ตรวจสอบคณิตศาสตร์ แต่ความคิดต่อไปนี้ดูมีแนวโน้ม: สำหรับแต่ละเหรียญ (ต่อเนื่อง) ทำการทดสอบต่อไปนี้ เลือกพารามิเตอร์

พูด

และดำเนินการสุ่มเดินบนเส้นโดยใช้เหรียญ ในทุกขั้นตอน

หากค่าเบี่ยงเบนจาก

น้อยกว่า

ให้ทิ้งเหรียญ เหรียญกษาปณ์ที่มีอคติ 0.9 ควรจะผ่านการทดสอบนี้มีความน่าจะคงที่และเหรียญล้มเหลวควรล้มเหลวหลังจาก O (1) ขั้นตอนในความคาดหวังยกเว้นสำหรับเหรียญที่มีอคติมากใกล้เคียงกับพี

การเลือก

ที่สุ่มระหว่าง

ถึง

สำหรับแต่ละเหรียญอาจแก้ไขได้

p

$p$

0.85

$0.85$

i

$i$

0

$0$

p \cdot i

$p \cdot i$

p

$p$

p

$p$

.84

$.84$

.86

$.86$

— daniello

หากว่า

จะโอเค? คุณรู้วิธีแก้ปัญหาด้วยการโยน

หรือไม่?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Robin Kothari

การสังเกต # 1: ถ้าคุณรู้ว่าเหรียญทั้งหมดมีอคติอย่างน้อย 0.9 หรือมากที่สุด 0.8 มันเป็นไปได้ที่จะหาเหรียญที่มีอคติอย่างน้อย 0.9 โดยมีความน่าจะเป็น 1-exp (-n) โดยใช้การโยน O (n) : ใช้เหรียญสำหรับ i = 1,2,3, ... , โยนเหรียญเป็น 2 ^ i ครั้งและตรวจสอบว่าส่วนของหัวอย่างน้อย 0.89 ถ้าไม่เริ่มต้นใหม่ด้วยเหรียญใหม่ คีย์แทรก: ถ้ารีสตาร์ทที่เฟส i จากนั้นมีการโยนเหรียญน้อยกว่า 2 ^ {i + 1} และโพรบอยู่ที่ exp มากที่สุด (- \ Omega (i))

— Dana Moshkovitz

เป็นไปได้ค่อนข้างที่ O (nlogn) การโยนเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอ - แต่เรายังไม่มีข้อพิสูจน์ในเรื่องนี้

— Dana Moshkovitz

ต่อไปนี้เป็นค่อนข้างตรงไปตรงมา $O(n \log n)$

$1-\exp(-n)$ $N$ $2$ $100n$ $200n$ $n$ $C$ $N$ $C$

$i=1,\dots,\log N$
$C$ $D_i = 2^i 10^{10}$
$N/2^i$

การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับสองสามขอบเขตของ Chernoff แนวคิดหลักคือเรามีผู้สมัครเพียงครึ่งเดียวในแต่ละครั้งและสามารถจ่ายได้สองเท่าของเหรียญแต่ละเหรียญ

— Kasper Green Larsen
แหล่งที่มา

(1) มันจะดีที่จะเขียนหลักฐานในรายละเอียดเพิ่มเติม - ความยากลำบากมากในปัญหานี้อยู่ในที่ที่จะวางธรณีประตูสำหรับ Chernoff ผูกไว้ (คุณคาดหวังว่าจะเห็นหัวจากอคติ 0.9 เหรียญกี่หัว) . (2) คุณสามารถแสดงให้เห็นว่าการโยนเหรียญ nlogn มีความจำเป็นหรือไม่?

— Dana Moshkovitz

ความละเอียดอ่อนคือ: คุณเริ่มต้นด้วย n เหรียญและยกเว้น prob ที่มีค่าน้อยใน n มีอย่างน้อย 0.6n เหรียญอคติ 0.9 ทีนี้มีค่าคงที่ที่ 0.9 อคติเหรียญแพ้การแข่งขันไป: 1 เหรียญที่มีอคติน้อยกว่า 0.8 (อาจเกิดขึ้นบนหัวตลอดเวลา!), 2 เหรียญที่มีอคติ 0.8 + 1 / logn, ... , n / 10 เหรียญมีอคติ 0.9 - 1 / log n ดำเนินการต่อในลักษณะที่คล้ายคลึงกันซึ่งความลำเอียงของเหรียญที่เลือกจะลดลงตามการวนซ้ำจนกว่าคุณจะเหลือด้วยเหรียญอคติ <0.8

— Dana Moshkovitz

O (n)

$O(n)$

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง! ฉันสนใจในจำนวนสูงสุดของเหรียญที่จะโยนหนึ่งความต้องการและสำหรับกรณีนี้พวกเขาแสดงขอบเขตล่าง n ^ 2 อย่างไรก็ตามปัญหาที่พวกเขาพิจารณาแตกต่างจากของฉัน พวกเขามีเหรียญ n อาจมีเพียงเหรียญที่มีอคติมากที่สุดและพวกเขาต้องการค้นหาเหรียญที่มีอคติคล้ายกัน ในการตั้งค่าของฉันฉันรู้ว่ามีอย่างน้อย 0.6n เหรียญที่มีความลำเอียงที่ยอมรับได้ (ยกเว้นโพรบที่มีค่าน้อยในหน่วย n)

— Dana Moshkovitz

O (n)

$O(n)$

m = Θ (n)

$m=\Theta(n)$

Θ (\cdot)

$\Theta(\cdot)$

0.85 m

$0.85m$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

2 / 3

$2/3$

i

$i$

(1 / 2)^{i}

$(1/2)^i$

\sum_{i = 0}^{\infty} m / 2^{i} = O (m) = O (n)

$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$