1-in-3 SAT ยังคงเป็นปัญหาอยู่หรือไม่แม้ว่าตัวแปรทุกตัวจะเกิดขึ้นทั้งทางบวกและทางลบ

ปัญหามาตรฐาน1-in-3 SAT (หรือ XSAT หรือ X3SAT) คือ:
อินสแตนซ์ : สูตร CNF ที่มีทุกส่วนที่มี 3 ตัวอักษร
คำถาม : มีการตั้งค่าการมอบหมายที่น่าพอใจอย่างแท้จริง 1 ตัวอักษรต่อประโยคจริงหรือไม่?

ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-complete และยังคงยากอยู่แม้ว่าจะไม่มีตัวแปรใด ๆ ฉันสงสัยว่าปัญหานี้จะกลายเป็นเรื่องง่ายหรือยังคงยากถ้าตัวแปรแต่ละตัวจะต้องเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้งในเชิงบวกและอย่างน้อยหนึ่งครั้งในเชิงลบ

การลดลงตามปกติจาก 3SAT แสดงให้เห็นว่า 1-in-3 SAT นั้นยากแทนคำสั่ง $(x\lor y \lor z)$ โดยข้อ $(\lnot x \lor a \lor b)$ , $(y\lor b\lor c)$ , $(\lnot z \lor c \lor d)$ ที่ไหน $a,b,c,d$ มีความสดใหม่สำหรับแต่ละข้อ ดังนั้นการลดลงนี้ไม่ได้ช่วยตอบคำถามของฉัน ฉันมีปัญหาในการหาแกดเจ็ตที่แสดงความแข็งของตัวแปรนี้เนื่องจากถ้า 1 ตัวอักษรในประโยคเป็นจริงแล้วไม่ใช่ตัวอักษร 2 ตัวที่ไม่สมมาตรเป็นเท็จ ถ้ามันเป็นเรื่องง่ายคิดในแง่ของพาร์ทิชันของชุดประโยคอาจทำ แต่ฉันไม่สามารถดูได้

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Dominik Peters
แหล่งที่มา

สามารถลดเป็น 2 sat ได้หรือไม่

— Joshua Herman

คำใบ้: สำหรับแต่ละ var

X_{i}

$X_i$ เพิ่มคำสั่ง

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$ และพูด,

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$ .

— Neal Young

ฮ่าที่ใช้งานได้ (แน่นอนเพิ่มด้วย

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$ ) ฉันจะเปิดคำถามไว้ในกรณีที่ทุกคนสามารถแก้ไขได้โดยไม่ทำให้พอใจเล็กน้อย

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$ เคล็ดลับ

— Dominik Peters

ฉันขอแนะนำให้คุณเขียนคำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามของคุณเองซึ่งอาจขึ้นอยู่กับความคิดของโอนีลยัง (อนึ่งฉันไม่แน่ใจว่าทำไม "ไม่พอใจ" การลดลงคือการลด)

— DW

หากกรณีพิเศษนั้นเป็นสิ่งที่คุณใส่ใจจริงๆมันอาจจะเหมาะสมที่จะแก้ไขคำถามของคุณเพื่อสะท้อนข้อ จำกัด พิเศษนั้น?

— DW

ในความคิดเห็น OP แสดงความสนใจในการลดซึ่งสร้างอินสแตนซ์ที่มี 3 ตัวแปรที่แตกต่างกันต่อประโยค นี่เป็นวิธีง่ายๆ:

การลดลงมาจาก 1-in-3 SAT กับ 3 ตัวแปรที่แตกต่างกันต่อข้อ:

ก่อนอื่นให้รวมคำสั่งทั้งหมดในสูตรอินพุตเป็นส่วนคำสั่งในสูตรเอาต์พุต
ประการที่สองแนะนำตัวแปรใหม่สามตัว $F_1$ , $F_2$ และ $F_3$ และเพิ่มสามส่วนต่อไปนี้ในสูตรเอาต์พุต: $(\neg F_1, F_2, F_3)$ , $(F_1, \neg F_2, F_3)$ และ $(F_1, F_2, \neg F_3)$ .
ในที่สุดสำหรับแต่ละตัวแปร $x$ ในสูตรดั้งเดิมแนะนำตัวแปรใหม่ $x'$ และเพิ่มสองส่วนต่อไปนี้ในสูตรเอาต์พุต: $(x, x', F_1)$ และ $(\neg x, \neg x', F_1)$ .

เรามาตรวจสอบว่าการลดลงนี้ทำในสิ่งที่เราต้องการหรือไม่ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นสิ่งที่เราต้องการ:

แต่ละประโยคมีตัวแปรที่แตกต่างกันสามตัวเสมอ
แต่ละตัวแปรเกิดขึ้นในบางประโยคในเชิงบวกและในบางประโยคลบ
สูตรอินพุตเทียบเท่ากับสูตรเอาต์พุต

คุณสมบัติ 1 เป็นสิ่งสำคัญในการตรวจสอบ คุณสมบัติ 2 ยังง่ายต่อการตรวจสอบ: ตัวแปร $F_1$ , $F_2$ และ $F_3$ แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นทั้งในเชิงบวกและเชิงลบในส่วนคำสั่งที่เพิ่มในสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยที่สองในขณะที่ตัวแปรอื่น ๆ ในสูตรเกิดขึ้นทั้งในเชิงบวกและเชิงลบในส่วนคำสั่งที่เพิ่มในสัญลักษณ์หัวข้อที่สาม

สำหรับสถานที่ให้บริการ 3 นี้เป็นเรื่องไม่สำคัญ แต่ก็ยังง่าย คุณสามารถยืนยันได้อย่างง่ายดายว่าการกำหนดตัวแปรเท่านั้น $F_1$ , $F_2$ และ $F_3$ ที่ทำให้แต่ละประโยคจากสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยที่สองคือการทำให้ทั้งสาม $F_i$ เป็นเท็จ แต่สมมติว่ามีค่าเท็จสำหรับ $F_1$ ข้อ $(x, x', F_1)$ และ $(\neg x, \neg x', F_1)$ เพิ่มในสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยที่สามมีความพึงพอใจหากและหาก $x' = \neg x$ . เนื่องจากไม่มีข้อ จำกัด อื่น ๆ $x'$ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้เสมอที่จะขยายการมอบหมายที่น่าพอใจสำหรับสูตรอินพุตให้เป็นการมอบหมายที่น่าพอใจสำหรับสูตรเอาต์พุต: เพียงตั้งค่าแต่ละอัน $x'$ ที่จะเป็นการปฏิเสธของที่สอดคล้องกัน $x$ และตั้งค่าแต่ละ $F_i$ เป็นเท็จ

— Mikhail Rudoy
แหล่งที่มา