จำนวนออโตมอร์ฟิซึ่มของกราฟสำหรับกราฟมอร์ฟ

ให้และมีสอง -regular กราฟที่เกี่ยวโยงกันของขนาดnให้เป็นชุดของพีชคณิตดังกล่าวว่า H หากแล้วคือชุดของ automorphisms ของG $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

ขอบเขตบนที่รู้จักกันดีที่สุดเกี่ยวกับขนาดของคืออะไร มีผลลัพธ์ใด ๆ สำหรับคลาสกราฟที่เฉพาะเจาะจง (ไม่มีกราฟสมบูรณ์ / รอบ) หรือไม่? $A$

หมายเหตุ: การสร้างกลุ่มออโตมอร์ฟิสอย่างน้อยเป็นเรื่องยาก (ในแง่ของความซับซ้อนในการคำนวณ) เป็นการแก้ปัญหากราฟมอร์ฟิซึม ในความเป็นจริงการนับออโตมอร์ฟิซึมเพียงอย่างเดียวคือพหุนามเท่ากับกราฟมอร์ฟิซึ่ม cf R. Mathon "โน้ตบนกราฟมอร์ฟิซึ่มปัญหาการนับ"

— จิม
แหล่งที่มา

Wormaldได้แสดงให้เห็นว่าถ้าเป็นที่เชื่อมต่อกราฟ -regular มีจุด 2n แล้วจำนวน automorphisms ของแบ่ง n โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้จะช่วยให้ไม่ จำกัด เรื่องเล็กน้อยสำหรับกรณีปกติ อาจมีผลลัพธ์ในบรรทัดนี้สำหรับกราฟ regular ทั่วไป $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

สำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าให้พิจารณาสูตรมีอินพุตซึ่งเกทเป็นส่วนเสริมประตูที่มีพัดลมเข้า 2 จากนั้นการใช้เรซูทของโทแรนหนึ่งสามารถสร้างกราฟกับจุดที่มีกลุ่ม automorphism encodes การประเมินผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดของFซึ่งหมายความว่าจำนวนของ automorphisms ของ เป็นอย่างน้อย n นี่แสดงให้เห็นว่ามีขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับจำนวนของออโตมอร์ฟิซึ่มของกราฟในการทำงานของจำนวนจุดยอด $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
แหล่งที่มา

โปรดพิจารณารูปแบบของกราฟต่อไปนี้ 1.กราฟปกติและกราฟปกติ (ไม่มีของพวกเขาที่สมบูรณ์หรือกราฟวงจร) จะเข้าร่วมกับคนอื่น ๆ ในแต่ละผ่านหมายเลข E ของขอบพูดแบบนี้เข้าร่วมกราฟเป็นกราฟที่ผิดปกติ 2. แต่ละจุดสุดยอดของกราฟปกติมีขอบโดยมีกราฟปกติไม่มีจุดยอดสองจุดของกราฟปกติที่มีจำนวนเท่ากันกับกราฟปกติautomorphism ของ G สามารถอธิบายได้หรือไม่?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— จิม

ใช่. กราฟ G2 สามารถมีเลขชี้กำลังแบบเอกซ์โปเนนเชียล ให้ H1 เป็นกราฟปกติ r1 ใด ๆ ที่มีจุดยอด n จำนวน 1 ... n.Let H2 เป็นกราฟที่ได้จากกระบวนการต่อไปนี้ (แบ่งออกเป็น 3 ความคิดเห็น) ให้ D เป็นกราฟเพชรกล่าวคือเป็นวงรอบที่ 4 พร้อมกับขอบที่เชื่อมจุดสองจุดที่ไม่ได้อยู่ติดกันก่อนหน้านี้ สมมติว่าจุดยอดทั้งสองนี้เป็นจุดยอดภายในของ D จุดยอดอีกสองจุดนั้นคือจุดยอดนอกของ D. ชัดเจนว่ามีออโตบอร์ซึ่งมีการสลับจุดทั้งภายในและออกจากจุดยอดภายนอก

— Mateus de Oliveira Oliveira

ตอนนี้ให้พิจารณาการรวมกันของสองรอบ C1 และ C2 กับจุดยอด n (n + 1) / 2 จากหมายเลข 1 ถึง n (n + 1) / 2 นอกจากนี้ให้พิจารณากราฟ diamod (n + 1) / 2 สำเนา ตอนนี้สำหรับ i แต่ละอันให้เชื่อมต่อจุดยอดภายนอกหนึ่งของ D_i กับจุดยอด i-th ของ C1 และจุดยอดภายนอกอื่น ๆ กับจุดยอด i-th ของ C2 จากนั้นกราฟ H2 ที่ได้จากกระบวนการนี้จะเป็น 3 แบบปกติและมีเลขยกกำลังอัตโนมัติแทนเนื่องจากจุดยอดภายในของ D_i แต่ละอันสามารถสลับแยกกันได้

— Mateus de Oliveira Oliveira

ทีนี้สำหรับแต่ละจุดยอด v_j ของ H1 เราเพิ่มขอบ 2j จาก v_j ไปยังจุดยอดภายในของเพชรในลักษณะที่จุดยอดภายในของเพชร D_i เชื่อมต่อกับจุดยอดเดียวกันใน H1 สิ่งนี้รับประกันได้ว่าจุดยอดภายในของเพชรยังคงสามารถสลับเปลี่ยนได้ดังนั้นจำนวนรวมของออโตมอร์ฟิซึ่มในกราฟ G2 จึงเป็นเลขยกกำลัง

— Mateus de Oliveira Oliveira

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่ากราฟที่เชื่อมต่อกันของลำดับและค่าความจุสูงสุดมีกลุ่มออร์เดอร์ฟิซึมของลำดับที่มากที่สุด ค้นหาการเรียงลำดับของจุดยอดที่เริ่มต้นจากจุดที่สองแต่ละจุดยอดติดกับจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดที่มาก่อน ให้เป็นกลุ่มย่อยกำหนดจุดยอดแรก นี้เป็นห่วงโซ่จากมากไปน้อยกลุ่มย่อยกับและ 1 ตามด้วยทฤษฎีวงโคจร - โคลงที่ , และสำหรับ .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— verret

หากคุณอนุญาตให้ตัดการเชื่อมต่อกราฟแสดงว่าไม่มีขอบเขตบนที่ดีเกี่ยวกับจำนวนจุดยอด

สำหรับกราฟ -regular ใช้สหภาพเคลื่อนของกราฟบริบูรณ์1} จากนั้นกราฟจะมีจุดยอดและautomorphisms $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— Tori
แหล่งที่มา