หลักฐานอะไรที่จะมีที่กราฟมอร์ฟไม่ได้อยู่ใน

แรงบันดาลใจจากความเห็นของ Fortnow ในโพสต์ของฉันหลักฐานที่แสดงว่าปัญหา Isomorphism กราฟไม่ใช่$NP$สมบูรณ์และจากความจริงที่ว่า$GI$เป็นผู้สมัครที่สำคัญสำหรับปัญหา$NP$ระดับกลาง (ไม่ใช่ไม่$NP$สมบูรณ์หรือใน$P$ ) สนใจในหลักฐานที่ทราบว่าฉันไม่ได้อยู่ใน$GI$$P$P

หนึ่งในหลักฐานดังกล่าวเป็น$NP$ -completeness ของ จำกัด ปัญหากราฟ automorphism (คงที่จุดปัญหาฟรีกราฟ automorphism เป็น$NP$สมบูรณ์) ปัญหานี้และการวางนัยทั่วไปอื่น ๆ ของ$GI$ถูกศึกษาใน " ปัญหา NP-complete บางอย่างที่คล้ายกับ Graph Isomorphism " โดย Lubiw บางคนอาจโต้แย้งเป็นหลักฐานความจริงที่ว่าแม้จะมีกว่า 45 ปีไม่มีใครพบอัลกอริทึมพหุนามเวลาสำหรับ$GI$ฉัน

เราทำอะไรหลักฐานอื่น ๆ ที่ต้องเชื่อว่า$GI$ไม่ได้อยู่ใน$P$ ?

ก่อนคำถามนี้ความเห็นของฉันคือกราฟ Isomorphism อาจเป็น P นั่นคือไม่มีหลักฐานที่เชื่อว่า GI ไม่ได้อยู่ใน P. ดังนั้นฉันถามตัวเองว่าอะไรจะนับเป็นหลักฐานสำหรับฉัน: ถ้ามีอัลกอริธึมสำหรับ - กลุ่มมอร์ฟที่ใช้ประโยชน์อย่างเต็มที่โครงสร้างที่มีอยู่ของพี -groups และจะยังคงไม่มีความหวังที่จะบรรลุรันไทม์พหุนามแล้วผมจะเห็น GI ที่มีขั้นตอนวิธีการอาจจะไม่ได้อยู่ในพีมีเป็นที่รู้จักกันที่ใช้ประโยชน์จากโครงสร้างที่มีอยู่เช่นมอร์ฟทดสอบพี - กลุ่ม โดย O'Brien (1994)$p$$p$$p$แต่ฉันไม่ได้อ่านรายละเอียดอย่างเพียงพอเพื่อตัดสินว่ามันใช้ประโยชน์จากโครงสร้างที่มีอยู่อย่างเต็มที่หรือมีความหวังที่จะปรับปรุงอัลกอริทึมนี้ (โดยไม่ใช้ประโยชน์จากโครงสร้างที่ไม่ชัดเจนเพิ่มเติมของกลุ่ม ) เพื่อบรรลุรันไทม์$p$

แต่ผมรู้ว่าดิ๊กลิปตันเรียกร้องให้มีการดำเนินการอยู่ใกล้สิ้นปี 2011 เพื่อชี้แจงคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อนของปัญหากลุ่มมอร์ฟโดยทั่วไปและของปัญหา -Group มอร์ฟโดยเฉพาะ ดังนั้นฉันจึงไปหา$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

เพื่อดูว่าการเรียกร้องให้ดำเนินการประสบความสำเร็จหรือไม่ มันแน่นอน:

1. ปัญหา Isomorphism ของกลุ่ม: ปัญหาโพลีathที่เป็นไปได้?
2. ความก้าวหน้าในการมอร์ฟิซึ่มของกลุ่ม
3. สามจาก CCC: ความก้าวหน้าในกลุ่มมอร์ฟิซึ่ม

ความคิดเห็นที่โพสต์ล่าสุดกระดาษซึ่งประสบความสำเร็จในรันไทม์สำหรับครอบครัวที่สำคัญบางอย่างของกลุ่มหาประโยชน์มากของโครงสร้างที่มีอยู่และรับทราบข้างต้นกระดาษดังกล่าวตั้งแต่ปี 1994 เนื่องจากn O ( บันทึกบันทึกn ) Runtime ผูกพัน เป็นทั้งเข้ากันได้กับประสบการณ์ที่กราฟมอร์ฟิสซึ่มไม่ยากในทางปฏิบัติและด้วยประสบการณ์ที่ไม่มีใครสามารถคิดอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนาม (แม้สำหรับกลุ่มมอร์ฟิซึ่มส์) นี่สามารถนับเป็นหลักฐานว่า GI ไม่ได้อยู่ใน P .$n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

ชุดเรียงสับเปลี่ยนที่เล็กที่สุดที่คุณต้องตรวจสอบเพื่อยืนยันว่าไม่มีการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่สำคัญในการตั้งค่ากล่องดำดีกว่าแต่ยังคงชี้แจงOEIS A186202$n!$

จำนวนบิตที่จำเป็นสำหรับเก็บกราฟที่ไม่มีป้ายกำกับคือของ($log_{2}$) เห็นนาโอร์โมนิ "การแสดงกราฟที่ไม่มีป้ายกำกับโดยย่อ" คณิตศาสตร์ประยุกต์ไม่ต่อเนื่อง 28.3 (1990): 303-307 หลักฐานวิธีการบีบอัดนั้นสะอาดกว่านี้ถ้าฉันจำได้ อย่างไรก็ตามช่วยให้การโทรที่ตั้งU ให้L=2 (${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$สำหรับกราฟที่มีป้ายกำกับ$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

และ B o o L L Lถ้าคุณแปลง exponentials เพียงตรวจสอบลายเซ็นประเภทของพวกเขาการใส่กราฟในรูปแบบมาตรฐานดูง่ายกว่า แต่ดังที่แสดงไว้ด้านบน GC ทำให้ GI ง่ายขึ้น$U^L$$Bool^{L^{L}}$

Kozen ในกระดาษของเขาเทียบเท่าปัญหาก๊กกราฟมอร์ฟให้หลักฐานว่าไม่ได้อยู่ในP ต่อไปนี้มาจากกระดาษ:$GI$$P$

"อย่างไรก็ตามมันอาจเป็นไปได้ว่าการค้นหาอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามสำหรับกราฟมอร์ฟิซึ่มจะยากพอ ๆ กับการหาอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามสำหรับปัญหา NP-Complete ในการสนับสนุนการกล่าวอ้างนี้ ซึ่งเป็น NP-complete "

นอกจากนี้ Babai ในกระดาษกราฟการพัฒนาIsomorphismล่าสุดของเขาในเวลา quasipolynomialให้การโต้เถียงกับการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับ GI เขาตั้งข้อสังเกตว่าปัญหากลุ่มมอร์ฟ (ซึ่งเป็นออกซิเจน GI) เป็นอุปสรรคสำคัญต่อการวาง GI ในPกลุ่มมอร์ฟปัญหา (กลุ่มจะได้รับจากเคย์ลี tableis ของพวกเขา) เป็นแก้ปัญหาได้ในn O ( บันทึกn )และมันจะไม่เป็นที่รู้จักที่จะอยู่ในP$P$$n^{O(\log n)}$$P$

นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากกระดาษของ Babai:

ผลที่ได้จากกระดาษปัจจุบันขยายความสำคัญของปัญหากลุ่ม Isomorphism (และปัญหาความท้าทายที่ระบุไว้) เป็นอุปสรรคในการวาง GI ใน P มันเป็นไปได้ค่อนข้างที่สถานะกลางของ GI (ไม่ NP- สมบูรณ์หรือเวลาพหุนาม) จะคงอยู่

นี่คือผลลัพธ์อื่น ๆ ที่ยังไม่ได้อ้างถึง

• ความแข็งของกราฟ Isomorphism / Torán FOCS 2000 และ SIAM J. Comput 33, 5 1093-1108

  เราแสดงให้เห็นว่าปัญหากราฟมอร์ฟเป็นเรื่องยากภายใต้ DLOGTIME เครื่องแบบ AC ⁰หลายหนึ่งลดลงสำหรับการเรียนซับซ้อน NL, PL (พื้นที่ลอการิทึมน่าจะเป็น) สำหรับทุกพื้นที่ลอการิทึมระดับโมดูลาร์มด_k L และสำหรับ DET ระดับของปัญหา NC ¹ออกซิเจน ปัจจัย สิ่งเหล่านี้เป็นผลจากความแข็งที่แข็งแกร่งที่สุดสำหรับปัญหามอร์ฟิซึ่มกราฟและบ่งบอกถึงการลดพื้นที่ลอการิทึมแบบสุ่มจากปัญหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบไปจนถึงกราฟมอร์ฟ นอกจากนี้เรายังตรวจสอบผลลัพธ์ความแข็งสำหรับปัญหาออโตฟิซึมของกราฟ

• กราฟ Isomorphism ไม่ใช่ AC ⁰ย่อมาจาก Group Isomorphism / Chattopadhyay, Toran, Wagner

  เราให้ขอบเขตสูงสุดใหม่สำหรับปัญหา Isomorphism ของกลุ่มและ Quasigroup เมื่อโครงสร้างอินพุตได้รับอย่างชัดเจนโดยการคูณตาราง เราแสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยวงจรพหุนามขนาด nondeterministic ของ fan-in ที่ไม่มีขอบเขตพร้อมความลึก O (บันทึกการทำงานn) และ O (log ² n) บิต nondeterministic โดยที่ n คือจำนวนองค์ประกอบกลุ่ม สิ่งนี้ช่วยปรับปรุงขอบเขตบนที่มีอยู่จาก [Wol94] สำหรับปัญหา ในขอบเขตบนก่อนหน้านี้วงจรมีการ จำกัด fanin แต่ความลึก O (บันทึก² n) และ O (บันทึก² n) บิต nondeterministic จากนั้นเราพิสูจน์ว่าวงจรชนิดจากขอบเขตบนของเราไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันพาริตี้ได้ เนื่องจากความเท่าเทียมกันคือ AC ⁰ลดลงไปที่ Isomorphism แบบกราฟนี่หมายความว่ากราฟ Isomorphism นั้นยากกว่ากลุ่มหรือ Quasigroup Isomorphism ภายใต้คำสั่งที่กำหนดโดย AC ⁰ Reduction .