ความสามารถในการคำนวณสำหรับงานหนักช่วยในการแก้ไขงานง่ายเพียงใด

ในระยะสั้นคำถามคือความสามารถในการคำนวณสำหรับงานหนักที่ช่วยคุณในการแก้ปัญหาอย่างง่าย (อาจมีหลายวิธีในการทำให้คำถามนี้น่าสนใจและไม่สำคัญและนี่คือความพยายามเช่นนั้น)

คำถามที่ 1:

พิจารณาวงจรสำหรับแก้ SAT สำหรับสูตรที่มีตัวแปร n ตัว (หรือหาวงรอบ Hamiltonian สำหรับกราฟที่มีขอบ ) $n$

สมมติว่าทุก ๆ เกทอนุญาตให้คำนวณฟังก์ชันบูลีนตามอำเภอใจบนตัวแปรสำหรับรูปธรรมลองn $m$ $m=0.6 n$

สมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลที่คาดเดายาก (SETH) ยืนยันว่าแม้จะมีประตูที่แข็งแกร่งเช่นนี้เราก็ต้องการขนาดวงจรซุปเปอร์โพลิโนเมียล ที่จริงแล้วเราต้องการขนาดอย่างน้อยสำหรับทุกเรียกว่าประตูในส่วนของตัวแปรที่แสดงฟังก์ชันบูลีนที่ซับซ้อนมาก (เกินกว่าความสมบูรณ์แบบของ NP) ไม่ให้ประโยชน์มากนัก $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

เราสามารถถามเพิ่มเติม:

(i)เราสามารถมีวงจรขนาดไหม? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

คำตอบที่“ ไม่” จะทำให้ SETH แข็งแกร่งยิ่งขึ้น แน่นอนว่าอาจมีคำตอบ“ ใช่” ง่าย ๆ ที่ฉันก็คิดถึง

(ii)ถ้าคำตอบของ (i) คือใช่ทำประตูที่คำนวณฟังก์ชั่นบูลีนตามอำเภอใจให้ข้อดีบางอย่างเมื่อเทียบกับประตูที่ "เพียง" คำนวณ (พูด) ฟังก์ชั่น NP โดยพลการ; หรืออินสแตนซ์ขนาดเล็กของ SAT เอง

ความพยายามคำถามต่อไปที่จะถามอะไรบางอย่างที่คล้ายกันสำหรับคำถามในP $P$

คำถามที่ 2:

ในฐานะที่เป็นก่อนที่จะปล่อยให้และเป็นรูปธรรมใส่m(ค่าอื่น ๆ ของเช่นเป็นที่น่าสนใจเช่นกัน) พิจารณาประเภทของวงจรต่อไปนี้: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

a) ในขั้นตอนเดียวคุณสามารถคำนวณฟังก์ชันบูลีนตามอำเภอใจบนตัวแปร $m$

b) ในขั้นตอนเดียวคุณสามารถแก้ปัญหา SAT ด้วยตัวแปรหรืออาจเป็นวงจร nondeterministic ขนาดพหุนามในตัวแปร $m$ $m$

c) ในขั้นตอนเดียวคุณสามารถทำวงจรโดยพลการกับตัวแปรมีขนาด (ได้รับการแก้ไข) $m$ $m^d$ $d$

d) ในขั้นตอนเดียวคุณสามารถทำประตูบูลีนธรรมดาได้

ให้เราพิจารณาคำถามของการค้นหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสำหรับกราฟที่มีขอบการจับคู่มีวงจรขนาดพหุนาม คำถามคือถ้าเลขชี้กำลังในอัลกอริธึมที่ตรงกันสามารถปรับปรุงได้เมื่อคุณย้ายจากวงจรประเภท d) ไปยังวงจรประเภท c) และจากวงจรขนาด c) ไปยังวงจรขนาด b) และจากวงจรขนาด b ) ไปยังวงจรขนาด a) $n$

(ซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับปัญหาที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับการคำนวณแบบขนานหรือเกี่ยวกับออราเคิล)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

อันที่จริงผลประโยชน์ทับซ้อนที่แข็งแกร่งไม่เข้มแข็งก็แค่พูดว่าคุณไม่สามารถมีขั้นตอนวิธีการทำงานในเครื่องแบบ

เวลาสำหรับ SAT กับ

เบ็ดเตล็ดสำหรับทุกค

อนุญาตให้ฟังก์ชั่นบูลีนโดยพลการในชุดของตัวแปรขนาดเล็กทำให้คุณอยู่ในวงจรที่ไม่สม่ำเสมอ "nonuniform SETH" เป็นตัวแปรที่น่าสนใจ แต่ฉันไม่คิดว่ามันได้รับการศึกษาอย่างใกล้ชิดเกินไป

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— Ryan Williams

ถึง Rayan ใช่ไหมฉันแค่รู้สึกสบายใจที่จะพิจารณาคดีที่ไม่เหมือนกัน ไม่มีคำตอบสำหรับคำถามที่ 1 จะเป็นการเสริมสร้างความแข็งแกร่งของตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย (ฉันคิดว่า SETH แบบ nonuniform เป็นการเสริมความแข็งแกร่งของ SETH แต่บางทีฉันผิด) อาจเป็นไปได้ที่คุณสามารถปฏิรูปคำถามที่ 1 และ 2 สำหรับอัลกอริทึมที่เหมือนกัน ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามด้วย SETH เวอร์ชันที่แข็งแกร่งเช่นนี้และ SETH ที่ไม่เหมือนกันคุณจะสามารถหาตัวอย่างได้

— Gil Kalai

ฉันเดาว่าคุณต้องการระวังเกี่ยวกับสิ่งที่

คือ: ใน SETH มันหมายถึงจำนวนของตัวแปรในข้างต้นดูเหมือนว่าจะแสดงความยาวอินพุต ถ้าคุณอนุญาตให้ประตูที่ "สามารถคำนวณนั่งอยู่บน

กรณีตัวแปร" มันเป็นเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่จะได้รับความลึก 2

ขนาดวงจรสำหรับ

ตัวแปร SAT: ใช้หรือได้รับมอบหมายไปได้ทั้งหมดเพื่อ

ตัวแปรและ ใช้ประตู SAT ของคุณเพื่อแก้ SAT ในตัวแปรที่เหลือ.

แต่นี่อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหาใช่ไหม?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— Ryan Williams

โดยการนับคุณควรจะสามารถในการคำนวณเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่มีวงจรเช่นขนาดดังนั้นฉันเดาควรจะเพียงพอในการคำนวณการทำงานทั้งหมด $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— โบอาราบารักค
แหล่งที่มา

สวัสดี @Boaz Barak คุณจะรังเกียจไหมถ้าฉันรวมสองบัญชีของคุณในเว็บไซต์นี้?

— Lev Reyzin

ขอบคุณโบอาซ ฉันเดาว่าจิตวิญญาณของคำถามนี้คือ: หากคุณไปได้ต่ำกว่าสิ่งที่จำเป็นในการคำนวณฟังก์ชั่นทั้งหมดคุณยังสามารถคำนวณฟังก์ชันที่สมบูรณ์ของ NP ได้

— Gil Kalai