ตัวอย่างที่คำแลมบ์ดาปกติที่เล็กที่สุดนั้นไม่เร็วที่สุด

ให้ของλ -terms ถูกนิยามดังนี้:$size$$\lambda$

• ,$size(x) = 1$
• $size(λx.t) = size(t) + 1$ ,
• $size(t s) = size(t) + size(s) + 1$1

ปล่อยให้ความซับซ้อนของ -termถูกกำหนดเป็นจำนวนการลดเบต้าแบบขนานจากเป็นรูปแบบปกติ (ใช้ผู้ประเมินที่ดีที่สุดในแง่ความรู้สึกของ Levy)$\lambda$$t$$t x$

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างของปกติ สองตัวสำหรับฟังก์ชั่นเดียวกันโดยที่คำที่ใหญ่กว่ามีความซับซ้อนต่ำกว่า$\lambda$

...

แก้ไขเพื่อความชัดเจน

เนื่องจากดูเหมือนว่ามันไม่ชัดเจนว่าฉันขออะไรฉันจะลองยกตัวอย่าง มักจะมีความเชื่อว่าคำจำกัดความ "ไร้เดียงสา" / "ง่ายที่สุด" ของฟังก์ชั่นนั้นช้าและไม่เหมาะสม ประสิทธิภาพที่ดีขึ้นจะเพิ่มความซับซ้อนของคำศัพท์เนื่องจากคุณต้องการเพิ่มโครงสร้างข้อมูลสูตร ฯลฯ ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมคือfibonacciซึ่งสามารถนิยามได้ว่า "ไร้เดียงสา" ดังนี้:

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n 

สิ่งนี้มักถูกมองว่าเป็นคำนิยามที่ "ง่ายที่สุด" ของตอแหลและช้ามาก (อธิบาย) หากเราขยายการพึ่งพาของfib( คำจำกัดความตามปกติสำหรับการเพิ่มหมายเลขโบสถ์, pred, is_zero) และทำให้เป็นปกติเราจะได้คำนี้:

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

การปรับปรุงเช่นตารางบันทึกช่วยจำจะทำให้คำนี้ใหญ่ขึ้น ยังมีคำอื่นที่เล็กกว่า ...

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

และอยากรู้อยากเห็นก็คือ asymptotically O(N)ดีกว่าไร้เดียงสาคนหนึ่งที่ทำงานอยู่ใน คำจำกัดความของทั้งหมดที่ผมทราบนี้เป็นทั้งเร็วและง่าย ผลเช่นเดียวกันเกิดขึ้นกับการเรียงลำดับ คำจำกัดความ "ไร้เดียงสา" เช่นการเรียงลำดับฟองและการเรียงแทรกมักจะขยายไปสู่คำที่มีขนาดใหญ่ (ความยาว 20+ บรรทัด) แต่มีคำจำกัดความเล็ก ๆ น้อย ๆ :

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

ซึ่งก็เกิดขึ้นได้เร็วขึ้น asymptotically กว่าคำจำกัดความอื่นที่ฉันรู้ การสังเกตนี้ทำให้ฉันเชื่อว่าเมื่อเทียบกับความเชื่อทั่วไปคำที่ง่ายที่สุดที่มีความซับซ้อนน้อยที่สุดของคอลโมโกรอฟมักจะเร็วกว่า คำถามของฉันนั้นโดยทั่วไปไม่มีหลักฐานใด ๆ ที่ตรงกันข้ามแม้ว่าฉันจะมีปัญหาในการทำให้เป็นระเบียบ

ทฤษฎีบทเร่งความเร็วของบลัมมักระบุไว้ในภาษาของฟังก์ชั่นวนซ้ำบางส่วน แต่ถึงความแตกต่างเล็กน้อยในสัญกรณ์มันทำงานได้เหมือนกันในภาษาของ -calculus$\lambda$

มันบอกว่าได้รับการวัดความซับซ้อนที่สมเหตุสมผล (ตัวอย่างเช่นจำนวนที่เหมาะสมที่สุดของการลดลงในคำถาม) และฟังก์ชั่นวนซ้ำ (ตัวอย่างเช่น ) เราสามารถหาคำกริยา recursiveเช่นนั้น:$M$$f(x,y)$$2^y$$P(x)$

สำหรับอัลกอริทึมทุกตัว (เช่น -term ในรูปแบบปกติที่นี่)คำนวณมีอัลกอริทึมสำหรับที่มี -speedup เหนือ : $\lambda$$g$$P$$h$$P$$f$$g$

$$f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$$

ที่หมายถึงความซับซ้อนของการคำนวณของกับการป้อนข้อมูลตามวัดM$M(g,x)$$g$$x$$M$

ดังนั้น:

• $P$ไม่มีอัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดในการวัดที่ให้มา

• โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริธึมที่สั้นที่สุดสำหรับนั้นไม่เหมาะสมที่สุด$P$

• สำหรับอัลกอริทึมใด ๆ สำหรับมีอัลกอริธึมที่เร็วกว่า asymptotically ซึ่งรูปแบบปกติจะยาวกว่า (เนื่องจากการเปลี่ยนชื่อของตัวแปรมีเพียงข้อกำหนดปกติจำนวนมากที่มีความยาวที่กำหนด)$P$