digraph ขั้นต่ำเทียบเท่ากับแหล่งที่มาและอ่างล้างมือ

กำหนด DAG (กำกับวัฏจักรกราฟ) กับแหล่งที่มาของและอ่างล้างมือTค้นหา DAG ด้วยแหล่งและ sinks โดยมีจำนวนขั้นต่ำเช่น: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

สำหรับทุกคู่มีเส้นทางจากจะในและถ้าหากมีเส้นทางจากจะใน ' $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

แอปพลิเคชันหนึ่งรายการนี้แสดงถึงชุดของ DAG สำหรับการแทนแต่ละแหล่งที่มานั้นเป็นตัวแปรในจักรวาลและแต่ละ sink เป็นเซตในชุดตระกูลและองค์ประกอบ u อยู่ในเซต S ถ้าหากมีเส้นทางจากจุดยอดแทน u ถึงจุดยอดแทน ชุด S.

ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีหรือไม่? มีอัลกอริทึมพหุนามสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าทางออกจะต้องเป็นกราฟย่อยของกราฟต้นฉบับใช่ไหม ถ้าใช่ฉันคิดว่าปัญหานี้บันทึก Set Cover ผ่านการลดมาตรฐานที่แสดง Directed Steiner Tree ยาก: สร้างจุดยอดสำหรับแต่ละองค์ประกอบจุดยอดสำหรับแต่ละชุดและขอบกำกับ (S, u) ถ้าชุด S มีองค์ประกอบคุณ จากนั้นเพิ่มจุดสุดยอดใหม่และขอบจากมันไปยังจุดยอดที่ตั้งไว้ทั้งหมด มีเส้นทางจากจุดสุดยอดใหม่นี้ไปยังอ่างล้างมือทั้งหมด (จุดยอดองค์ประกอบ) เพื่อรักษาพวกเขาทั้งหมดเราต้องเลือกจำนวนจุดยอดขั้นต่ำที่ครอบคลุมองค์ประกอบทั้งหมด

— Michael Lampis

ไม่โดยทั่วไปฉันจะบอกว่าไม่ควรเป็นกราฟย่อยของกราฟต้นฉบับ แหล่งที่มาคือองค์ประกอบและคุณต้องการองค์ประกอบถ้าหากบางชุดมีองค์ประกอบนั้น Sinks เป็นชุดและคุณไม่สามารถลบชุดที่คุณควรจะแสดงดังนั้นสิ่งเดียวที่สามารถทำได้หากเริ่มต้นจากกราฟไร้เดียงสาที่โหนดทั้งหมดเป็นอ่างหรือแหล่งที่มาคือการเพิ่มจุดยอดและย้าย / ลบขอบ

— Martin Vatshelle

ดูเหมือนว่าปัญหาจะยังไม่ชัดเจน ข้อ จำกัด ของชุดจุดสุดยอดของ

คืออะไร คุณต้องการให้ชุดจุดสุดยอดของ

เหมือนกับชุดจุดยอดของ

หรือไม่? ว่าแหล่งที่มาและอ่างล้างมือของ

เป็นเช่นเดียวกับแหล่งที่มาและอ่างล้างมือของ

? นั่นคือฟังก์ชั่น

การทำแผนที่จุดยอดของ

กับจุดสุดยอดของ

และเงื่อนไขเป็นจริงว่ามีเส้นทางจาก

ไปยัง

ใน

iff มีเส้นทางจาก

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

ถึง

ใน

? แต่ละคนอาจนำไปสู่ปัญหาที่แตกต่างกันเล็กน้อย แก้ไขคำถามเพื่อชี้แจง

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$

— DW

ฉันชี้แจงคำถามจริง ๆ แล้วฉันหมายความว่าที่มาและที่เก็บเหมือนกัน ฉันคิดว่าการแมปค่อนข้างใกล้เคียงกันวิธีเดียวที่จะแมป sinks สองอันกับโหนดเดียวกันได้คือถ้าพวกมันสามารถเข้าถึงได้จากแหล่งข้อมูลชุดเดียวกันนั่นหมายถึงชุดเดียวกัน วิธีเดียวที่สามารถแมปแหล่งที่สองกับโหนดเดียวกันคือถ้าพวกเขามาถึงที่เก็บเดียวกัน ดังนั้นฉันคิดว่าหลังจากการประมวลผล D อย่างง่าย ๆ ปัญหาจะเท่ากัน

— Martin Vatshelle

ปัญหา Dag D นั้นไม่เกี่ยวข้องกับปัญหาจริงหรือ? คุณสามารถใช้กราฟ bipartite ระหว่าง S และ T เป็นอินพุตได้เช่นกัน

— Emil Jeřábek

สมมติว่ามีแหล่งที่มาและอ่างล้างจานเพียงอย่างเดียวเนื่องจากอินพุตสามารถแปลเป็นอินพุตดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย $D$

จากนั้นให้สังเกตว่าในการแก้ปัญหาใด ๆสำหรับแต่ละจุดสุดยอดตรงกับ biclique ในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางพื้นฐานของ ( ที่ biclique ระหว่างแหล่งที่มาถึงในและอ่างล้างมือทั้งหมดที่ถึงจากใน ) $D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

ผมคาดเดาว่าถ้าจะดีที่สุดแล้วมันมีจุดสุดยอดตัดที่ 1: 1 สอดคล้องกับ biclique ที่เหมาะสมครอบคลุมของGจากนั้นขั้นต่ำใดจุดสุดยอดตัดในสอดคล้องกับ biclique ที่ดีที่สุดครอบคลุมในGอย่างไรก็ตามเนื่องจาก BICLIQUE COVER (aka BIPARTITE DIMENSION) เป็นปัญหาที่สมบูรณ์แบบปัญหาของคุณจึงไม่น่าจะยอมรับอัลกอริธึมเวลาพหุนามยกเว้นว่าการคาดคะเนของฉันจะล้มเหลว $D'$ $G$ $D'$ $G$

โปรดทราบว่าแม้ว่าการคาดเดาของฉันจะถือได้ในทางเทคนิคอาร์กิวเมนต์นี้ไม่ได้พิสูจน์ปัญหาความแข็งของปัญหาของคุณเนื่องจากการลดไม่ใช่ Karp- แต่เป็นการลดคุก

— igel
แหล่งที่มา