ผลที่ตามมาของพิทมากกว่า

รับเช่นนั้นสัมประสิทธิ์ของถูกล้อมรอบด้วย , ถือ ? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

บทสรุป Schwartz-Zippel ใช้ที่นี่เนื่องจากมันมีไว้สำหรับฟิลด์ทั่วไปและและมีอัลกอริทึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหานี้ $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

เราคาดหวังว่าปัญหานี้จะมีการสุ่มตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าปัญหานี้ไม่มีประสิทธิภาพในการแยกส่วนที่มีประสิทธิภาพ

big-picture derandomization conditional-results

— András Salamon
แหล่งที่มา

ได้รับ

และ

อย่างไร

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemer เป็นอย่างไรในการทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม

Kabanets-Impagliazzo ไม่ได้บอกว่าเราไม่คาดหวังว่าจะมีการแยกแยะที่มีประสิทธิภาพหรือไม่?

— Suresh Venkat

ใช่.

$\:$ ฉันคิดว่าฉันจะนำมันมาตั้งแต่กับตัวแทน มาตรฐาน

$\hspace{1.76 in}$ สตริงที่แตกต่างกันแสดงองค์ประกอบที่แตกต่าง

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat: Kabanets & Impagliazzo พิสูจน์หลายสิ่งหลายอย่างรวมถึง: 1. ถ้า PIT สามารถทำให้เสื่อมเสียได้ NEXP ทั้งคู่ไม่มีวงจร polysize (บูลีน) หรือวงจรถาวรไม่มีวงจร polysize (เลขคณิต); 2. ถ้าถาวรต้องใช้วงจรขนาด superpoly, PIT สามารถ "อ่อนแอ" derandomized เนื่องจากข้อสรุปของ 1. โดยทั่วไปคาดว่าจะเก็บไว้เช่นเดียวกับข้อสมมติฐานของ 2 ฉันจะพูดตรงกันข้ามกับคุณที่ผล KI บอกว่าเราคาดหวังว่า

— บรูโน่

คำตอบ:

เนื่องจาก PIT อยู่ในหากไม่มีประสิทธิภาพในการแยกกลุ่มแบบสุ่มดังนั้น (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งแต่ก็ไม่น่าแปลกใจเลยเพราะเราคาดหวังว่าจะเป็นเรื่องจริง) นี่ก็หมายถึงแน่นอนว่าดังนั้นสิ่งใดก็ตามที่แสดงถึงจะกลายเป็นเท็จ ตัวอย่างเช่นไม่มีตัวสร้างตัวเลขเทียมเทียมที่แข็งแกร่งเพียงพอและ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ จะมีวงจรขนาดเอ็กซ์โปเนนเชียล! $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ดังนั้นสิ่งนี้จึงถือโดยไม่คำนึงถึงสนามพื้นดิน (ค่าสัมประสิทธิ์ใน

ที่

มีขอบเขตบนสัมประสิทธิ์)?

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

อันที่จริงแล้วคุณได้ชี้ให้เห็นแล้วว่า Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton ใช้กับเขตอำนาจศาลและสิ่งที่มันต้องการก็คือขอบเขตของพหุนาม (ไม่ใช่ขนาดของสัมประสิทธิ์หรือขนาดวงจร) ด้วยข้อยกเว้นจำนวนน้อยมากโดยทั่วไป PIT หมายถึงเวอร์ชันที่ จำกัด ขอบเขต (องศาที่ล้อมรอบด้วยพหุนามในจำนวนตัวแปร)

— Joshua Grochow

อาจเป็นสิ่งที่โง่ คุณพูดถึงการแยกอิสระจากขนาดของสัมประสิทธิ์และขนาดวงจร ฉันคิดว่าขนาดขึ้นอยู่กับระดับและขนาดของ coeff ฉันผิดหรือเปล่า?

ขนาดวงจรสามารถขึ้นอยู่กับขนาดของ coeff. ขึ้นอยู่กับรุ่นของคุณ (รุ่นที่ขึ้นอยู่กับมันมักจะเรียกว่า "คงที่" ฟรี) ขนาดของวงจรขึ้นอยู่กับองศาอย่างหลวม ๆ เท่านั้นในแง่ที่ว่าขนาดเป็นบันทึกอย่างน้อยก็ระดับ แต่จริงๆแล้วอัลกอริธึม coRP ที่ออกมาจาก SZDL นั้นเป็นแค่ระดับ มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นที่ได้รับเป็นวงจร - เพียงแค่ในบางรูปแบบที่สามารถประเมินได้ง่าย ("กล่องดำ")

— Joshua Grochow

ขอบคุณ. มันเป็นเรื่องน่าหนักใจเล็กน้อยที่การทำให้การสุ่มตัวอย่างสามารถทำได้โดยไม่สูญเสียประสิทธิภาพแม้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวเองจะซับซ้อนอย่างสร้างสรรค์

คุณกำลังสงสัยเกี่ยวกับปัญหาภาพใหญ่ที่นี่ จำนวนธรรมชาติสามารถเป็นตัวแทนได้อย่างชัดเจนในสัญกรณ์ unary แต่การเป็นตัวแทนนี้ไม่มีประสิทธิภาพในพื้นที่ค่อนข้าง คุณสามารถแสดงมันในรูปแบบเลขฐานสองซึ่งมีพื้นที่มากกว่าที่มีประสิทธิภาพ แต่ไม่เป็นที่ยอมรับอีกต่อไปเพราะคุณสามารถใช้รูปแบบ tenary หรือรูปแบบทศนิยม แต่ขอให้สังเกตว่าการเป็นตัวแทนโดยวงจรไม่ได้มีประสิทธิภาพน้อยกว่าสัญกรณ์ไบนารีดูตัวอย่าง

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

และสังเกตเห็นว่า(...)*(1+1)สามารถถูกแทนที่ด้วยx:=(...) in x+xดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคูณด้วย 1011^101101แต่เนื่องจากคุณจะต้องคูณคุณได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถเป็นตัวแทนของตัวเลขเช่น นอกจากนี้โปรดทราบว่าคุณสามารถเพิ่มลบและคูณจำนวนในการแสดงนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่การแสดงนี้ไม่ได้ จำกัด อยู่ที่ตัวเลข แต่มันก็ทำงานได้เหมือนกันสำหรับฟังก์ชันพหุนามหลายตัวแปร และสำหรับพหุนามก็เป็นตัวแทนที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติเพราะพหุนามเป็นพีชคณิตอิสระสำหรับวงแหวนสลับที่และการแทนเป็นวงจรสามารถใช้กับพีชคณิตอิสระใด ๆ

$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ ถูกปฏิเสธเพราะตัวเลขเหล่านั้นส่วนใหญ่จะมีข้อมูลมากกว่าที่จะเป็นตัวแทนของจักรวาลทางกายภาพ พูดจาโผงผางส่วนใหญ่ทำให้ฉันหัวเราะ แต่จุดนี้ทำให้ฉันคิด นักปรัชญาอย่าง Willard Van Orman Quine ได้ประท้วงต่อต้านการอ้างว่ามีสิ่งมีชีวิตที่ไม่ได้รับการยอมรับในหมู่คนอื่น ๆ เพราะสิ่งเหล่านั้นนำไปสู่องค์ประกอบที่ไม่เป็นระเบียบซึ่งไม่สามารถพูดได้ว่ามีความหมายเหมือนกัน ดังนั้นฉันจึงพบว่ามันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่จะสงสัยเกี่ยวกับการนำเสนอตัวเลขที่หนึ่งยังคงทำการบวกการลบและการคูณและอย่างน้อยก็มีความหมายว่าตัวเลขสองตัวนั้นแตกต่างจากกันหรือไม่ การเป็นตัวแทนของวงจรบรรลุถึงสิ่งนี้ ...

กลับไปที่ชื่อพหุนามและวงจรของ algebras ฟรี นี่คือคำถามภาพใหญ่:

$n\geq 4$ $n$
มีพีชคณิตอิสระที่การทดสอบตัวตนแบบกำหนดค่าที่มีประสิทธิภาพจะทำให้การคาดเดาที่เชื่อกันโดยทั่วไปเช่น P! = NP หรือไม่?
-> ใช่การทดสอบตัวตนของพีชคณิตฟรีสำหรับวงแหวนคอมมิวเตชันปกติคือ NP-complete ไม่ได้สังเกตเรื่องนี้มานานดูด้านล่าง ...
$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

ฉันสงสัยเกี่ยวกับพีชคณิตอิสระสำหรับวงแหวน commutative ปกติที่นี่ (เช่นวงแหวนที่มีการดำเนินการผกผันทั่วไป) เนื่องจากพวกเขาจะอนุญาตให้แสดงจำนวนตรรกยะและฟังก์ชันเหตุผล โปรดทราบว่าหากเราใช้การแสดงนี้สำหรับตัวเลขเท่านั้นเราอาจสงสัยว่าเราสามารถทดสอบa < bการเป็นตัวแทนนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่ คำถามนี้ไม่สมเหตุสมผลสำหรับการสลับวงแหวนฟรี แต่มันก็สมเหตุสมผลสำหรับพหุนามหากเราตีความมันในบริบทของเสียงกริ่งฟรีที่สั่งบางส่วน แต่วงแหวนที่ได้รับคำสั่งบางส่วนนั้นเป็นเพียงโครงสร้างเชิงสัมพันธ์แทนที่จะเป็นพีชคณิตดังนั้นนี่จึงเป็นคำถามที่แตกต่าง ...

บทสรุป Schwartz-Zippel ใช้ที่นี่เนื่องจากมันมีไว้สำหรับฟิลด์ทั่วไปและZ ⊂ Q $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

ในทางกลับกันฉันยังเชื่อว่าคุณสามารถใช้ตัวสร้างตัวเลขหลอกเทียมที่สมเหตุสมผลแล้วจึงตัดสินใจใช้ PIT สำหรับการใช้งานจริงทั้งหมดหากคุณทดสอบนานพอ ฉันเชื่อเพียงว่าคุณไม่สามารถกำจัดข้อสงสัยที่เหลืออยู่ (เล็ก ๆ น้อย ๆ ) ที่คล้ายกับชุดของศูนย์การวัดซึ่งยังคงน่ารำคาญโดยไม่ต้องว่างเปล่า

— โทมัสคลิมเพล
แหล่งที่มา

P! = N P

$P!=NP$

ฉันกำลังคิดถึงปัญหาพีชคณิตฟรีเท่านั้น แต่ไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังคิดอยู่