การสรุป "เคล็ดลับมัธยฐาน" ให้มีขนาดสูงขึ้นหรือไม่

สำหรับอัลกอริธึมแบบสุ่มการรับค่าที่แท้จริง "เคล็ดลับมัธยฐาน" เป็นวิธีที่ง่ายในการลดความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวในธรณีประตูใด ๆในราคาเพียง multiplicativeค่าใช้จ่าย กล่าวคือถ้าผลลัพธ์ของตกลงไปใน "ช่วงที่ดี"มีความน่าจะเป็น (อย่างน้อย)จากนั้นเรียกใช้สำเนาอิสระและรับค่ามัธยฐานของเอาท์พุทจะส่งผลให้ค่าลดลงในด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อยโดย Chernoff / Hoeffding$\mathcal{A}$$\delta > 0$ฉัน=[,ข]2/31,...,เสื้อ1,...,ทีผม1-$t=O(\log\frac{1}{\delta})$$\mathcal{A}$$I=[a,b]$$2/3$$\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_t$$a_1,\dots,a_t$$I$$1-\delta$

มีการวางนัยของ "กลอุบาย" นี้ในมิติที่สูงกว่าหรือไม่พูดซึ่งช่วงที่ดีนั้นเป็นเซตนูน (หรือลูกบอลหรือชุดที่ดีและมีโครงสร้างเพียงพอ) หรือไม่? นั่นคือให้อัลกอริธึมแบบสุ่มเอาท์พุทค่าใน\ mathbb {R} ^ dและ "ดีเซต" S \ subseteq \ mathbb {R} ^ dเช่นนั้น\ mathbb {P} _r \ {\ mathcal {A} (x, r) \ in S \} \ geq 2/3สำหรับทุกxวิธีหนึ่งสามารถเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จเป็น1- \ deltaโดยมีค่าลอการิทึมเพียง1 / \ delta ?R d S⊆ R d P R {(x,R)∈S}≥2 / 3x1-δ1 /$\mathbb{R}^d$$\mathcal{A}$$\mathbb{R}^d$$S\subseteq \mathbb{R}^d$$\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3$$x$$1-\delta$$1/\delta$

(วลีที่แตกต่าง: ได้รับการแก้ไข, arbiraryด้วยการรับประกันว่าอย่างน้อยของเป็นของมีขั้นตอนหรือไม่ ส่งออกค่าจากหรือไม่ถ้าใช่มีประสิทธิภาพหรือไม่)2 $a_1,\dots, a_t\in \mathbb{R}^d$ aiS$\frac{2t}{3}$$a_i$$S$$S$

และสมมติฐานขั้นต่ำที่ต้องการสำหรับเพื่อให้สามารถบรรลุได้คืออะไร?$S$

ขออภัยถ้าสิ่งนี้กลายเป็นเรื่องไม่สำคัญ - ฉันไม่พบการอ้างอิงสำหรับคำถามนี้ ...

สิ่งที่คุณกำลังมองหาคือแนวโน้มกลางที่แข็งแกร่ง เกือบเหมือนกัน: วิธีการลดปริมาณเมฆของจุดข้อมูลเป็นจุดเดียวเช่นถ้าจุดข้อมูลจำนวนมากใกล้เคียงกับ "ความจริงพื้นฐาน" แต่ส่วนที่เหลือ อยู่ไกลโดยพลการจากนั้นผลลัพธ์ของคุณก็จะใกล้เคียงกับความจริงพื้นฐาน "จุดแตกหัก" ของวิธีการดังกล่าวคือเศษส่วนของค่าผิดปกติที่ไม่ดีตามอำเภอใจที่สามารถทนได้ ความแตกต่างคือในกรณีของคุณคุณต้องการแทนที่ "ใกล้กับ" โดย "ภายในเปลือกนูนของ"

วิธีหนึ่งในการจับภาพสิ่งนี้คือแนวคิดของความลึกของ Tukey จุดหนึ่งมีความลึก Tukey (เทียบกับชุดของจุดข้อมูลnที่กำหนด) หากทุกครึ่งพื้นที่ที่มีจุดที่กำหนดนั้นมีจุดข้อมูลอย่างน้อยp nด้วย หากมี subspace นูนที่ดีที่คุณต้องการอยู่ภายในจุดที่มี Tukey depth pจะอยู่ข้างในตราบใดที่มีจุดข้อมูลอย่างน้อย( 1 - p ) nของจุดภายใน จุดแตกหักของวิธีนี้คือค่าpที่ใหญ่ที่สุดที่คุณสามารถทำได้$p$$n$$pn$$p$$(1-p)n$$p$

น่าเสียดายที่จุดแตกหักนี้คือไม่ใกล้กับ 1/2 ทั้งที่ความลึกของ Tukey และปัญหาของคุณ นี่คือเหตุผล: หากข้อมูลของคุณมีการจัดกลุ่มใกล้กับจุดยอดd + 1ของ simplex ดังนั้นตราบใดที่เศษส่วนน้อยกว่า1 / ( d + 1 )ของพวกเขาเป็นค่าผิดปกติ (แต่คุณไม่รู้ว่าอันไหน) เริมจะปลอดภัยที่จะเลือกเพราะมันจะอยู่ในเปลือกนูนของผู้ที่ไม่ใช่คนผิด แต่ถ้ามากกว่า1 / ( d + 1 $1/(d+1)$$d+1$$1/(d+1)$$1/(d+1)$ ของคะแนนอาจเป็นค่าผิดปกติไม่มีที่ไหนที่ปลอดภัยในการเลือก: จุดใดก็ตามใน simplex ที่คุณเลือกค่าผิดปกติอาจเป็นคะแนนทั้งหมดจากจุดสุดยอดเริมที่อยู่ใกล้ที่สุดและคุณอยู่นอกลำเรือที่ไม่ใช่ ค่าผิดปกติ

หากคุณยินดีที่จะทนต่อจุดแตกหักที่เลวร้ายยิ่งขึ้นเช่นมีวิธีการแบบสุ่มสำหรับค้นหาจุดลึกที่มีพหุนามทั้งnและd : ดูกระดาษของฉัน$O(1/d^2)$$n$$d$

ประมาณจุดกึ่งกลางด้วยคะแนนเรดอนซ้ำ, K. Clarkson, D. Eppstein, GL Miller, C. Sturtivant และ S.-H Teng, ACM Symp ที่ 9 คอมพ์ Geom , San Diego, 1993, pp. 91–98, Int. J. คอมพ์ Geom & Appl 6 (3): 357–377, 1996, http://kenclarkson.org/center/p.pdf

นี่เป็นคำถามที่เรียบร้อยและฉันเคยคิดมาก่อน นี่คือสิ่งที่เราเกิดขึ้น:

คุณเรียกใช้อัลกอริทึมของคุณครั้งเพื่อรับเอาต์พุตx 1 , ⋯ , x n ∈ R dและคุณรู้ว่ามีความน่าจะเป็นสูงเศษส่วนขนาดใหญ่ของx iตกอยู่ในเซตG ที่ดี คุณไม่รู้ว่าGคืออะไรมันคือนูน ข่าวดีก็คือมีวิธีที่จะได้คะแนนในGโดยไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ สอบถามประเด็นนี้F ( x 1 , ⋯ , x n )$n$$x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}^d$$x_i$$G$$G$$G$$f(x_1, \cdots, x_n)$

ทฤษฎีบท. สำหรับตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดและdมีฟังก์ชั่นf : ( R d ) n → R dซึ่งมีดังต่อไปนี้ ให้x 1 . . x n ∈ R dและให้G ⊂ R dเป็นเซตนูนที่ทำให้พอใจ$n$$d$$f : (\mathbb{R}^d)^n \to \mathbb{R}^d$$x_1 ... x_n \in \mathbb{R}^d$$G \subset \mathbb{R}^d$ จากนั้นF(x1,...,xn)∈G นอกจากนี้ฉคือคำนวณในเวลาพหุนามในnd $$\frac{1}{n}\left|\left\{ i \in [n] : x_i \in G \right\}\right| > \frac{d}{d+1}.$$ $f(x_1, ..., x_n) \in G$$f$$n^d$

โปรดทราบว่าสำหรับเราสามารถตั้งค่าfให้เป็นค่ามัธยฐาน ดังนั้นนี้แสดงให้เห็นวิธีการที่จะพูดคุยเฉลี่ยสำหรับd > 1$d=1$$f$$d>1$

ก่อนที่จะพิสูจน์ผลนี้ทราบว่ามันแน่น: Let และให้x 1 , ⋯ , x dเป็นองค์ประกอบพื้นฐานมาตรฐานและx d + 1 = 0 เซตย่อยใด ๆ ของdของคะแนนจะอยู่ในเลียนแบบพื้นที่Gของมิติd - 1 (ซึ่งถูกกำหนดโดยจุดเหล่านั้นโดยเฉพาะ) แต่ไม่มีประเด็นอยู่ในพื้นที่เลียนแบบทั้งหมด ดังนั้นจึงมีGนูนบางส่วนที่มีn ⋅ d / ( d $n=d+1$$x_1, \cdots, x_d$$x_{d+1}=0$$d$$G$$d-1$$G$คะแนน แต่ไม่มี f ( x 1 , ⋯ , x n )ไม่ว่าจะใช้ค่าอะไรก็ตาม$n\cdot d/(d+1)=d$$f(x_1, \cdots, x_n)$

พิสูจน์ เราใช้ผลลัพธ์ต่อไปนี้

ทฤษฎีบทของ Helly Let เป็นส่วนย่อยนูนR d สมมติว่าจุดตัดของใด ๆd + 1 K ฉันคือว่าง จากนั้นจุดตัดของK iทั้งหมดนั้นจะเป็นสิ่งที่ไม่ว่างเปล่า$K_1 ... K_m$$\mathbb{R}^d$$d+1$ $K_i$$K_i$

คลิกที่นี่เพื่อดูบทพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Helly

ตอนนี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของเรา:

ให้เป็นขอบเขตบนของจำนวนของจุดที่ไม่ได้อยู่ในG พิจารณา halfspaces ปิดทุกภาค 1 . . K m ⊂ R dบรรจุอย่างน้อยn - kจุดที่มีขอบเขตประกอบด้วยชุดของคะแนนสูงสุด (นี่คือจำนวน จำกัด ของพื้นที่ครึ่งหนึ่งเมื่อแต่ละK iถูกกำหนดโดยd + 1คะแนนบนขอบเขตของมัน)$k<n/(d+1)$$G$$K_1 ... K_m \subset \mathbb{R}^d$$n-k$$K_i$$d+1$

การเติมเต็มของแต่ละมีมากที่สุดkคะแนน โดยการรวมกันจุดตัดใด ๆd + 1 K ฉันมีอย่างน้อยn - k ( d + 1 ) > 0 คะแนน โดยทฤษฎีบท Helly ของ (ตั้งแต่ halfspaces นูน) มีจุดในการตัดของทั้งหมดที่K ฉัน s เราปล่อยให้Fเป็นฟังก์ชันที่คำนวณจุดโดยพลการในจุดตัดของที่K ฉัน s$K_i$$k$$d+1$ $K_i$$n-k(d+1)$$K_is$$f$$K_i$

ทั้งหมดที่เหลืออยู่คือการแสดงให้เห็นว่าจุดตัดของ s ที่มีอยู่ในG$K_i$$G$

โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปเป็นตัวเรือนูนของเซตย่อยของคะแนนที่มีอันดับเต็ม นั่นคือเราสามารถแทนที่Gด้วยฮัลล์นูนของจุดที่มี หากสิ่งนี้ไม่มีอันดับสมบูรณ์เราสามารถใช้ทฤษฎีบทของเราในมิติที่ต่ำกว่าได้$G$$G$

แต่ละใบหน้าของกำหนดพื้นที่ครึ่งหนึ่งโดยที่Gคือจุดตัดของพื้นที่ครึ่งหลังเหล่านี้ แต่ละ halfspaces เหล่านี้มีGและด้วยเหตุนี้มีอย่างน้อยn - kจุด ขอบเขตของช่องว่างครึ่งหนึ่งเหล่านี้ประกอบด้วยใบหน้าของGดังนั้นจึงมีชุดของจุดสูงสุด ดังนั้นแต่ละ halfspaces เหล่านี้เป็นKฉัน ดังนั้นจุดตัดของK iทั้งหมดจึงอยู่ในGตามที่ต้องการ$G$$G$$G$$n-k$$G$$K_i$$K_i$$G$

ในการคำนวณให้ตั้งค่าโปรแกรมเชิงเส้นตรงที่ข้อ จำกัด เชิงเส้นตรงกับK i s และวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สอดคล้องกับจุดหนึ่งในจุดตัดของK iทั้งหมด QED$f$$K_i$$K_i$

น่าเสียดายที่ผลลัพธ์นี้ไม่ได้ใช้งานได้จริงในการตั้งค่ามิติสูง คำถามที่ดีคือว่าเราสามารถคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น$f$

เปิดปัญหา พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นมีข้อสรุปที่เพิ่มเติมที่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามในnและd $f$$n$$d$

ด้านข้าง:เราสามารถเปลี่ยนปัญหาเพื่อให้ได้ทางออกที่มีประสิทธิภาพ: ถ้ามีคุณสมบัติที่มากกว่าครึ่งหนึ่งอยู่ในลูกบอลB ( y , ε )อย่างเคร่งครัดแล้วเราสามารถหาจุดzที่โกหกในB ( Y , 3 ε )ในเวลาพหุนามในnและd โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถตั้งค่าz = x iสำหรับiใดก็ได้ที่มากกว่าครึ่งหนึ่งของคะแนนอยู่ใน$x_1, \cdots, x_n$$B(y,\varepsilon)$$z$$B(y,3\varepsilon)$$n$$d$$z=x_i$$i$ )$B(z,2\varepsilon)$

มีความคิดของค่ามัธยฐานของชุดของจุดในมิติสูงและบรรทัดฐานทั่วไปซึ่งเป็นที่รู้จักกันภายใต้ชื่อต่าง ๆ มันเป็นเพียงจุดที่ลดผลรวมของระยะทางไปยังจุดทั้งหมดในชุด เป็นที่ทราบกันว่ามีคุณสมบัติการขยายความมั่นใจที่คล้ายกันเหมือนกับค่ามัธยฐานปกติที่มีการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยระยะทาง คุณสามารถค้นหารายละเอียดในทฤษฎีบท 3.1 ของเอกสารนี้: http://arxiv.org/pdf/1308.1334.pdf

สิ่งหนึ่งที่ดีที่บทความนี้แสดงคือปัจจัยที่ระยะทางเพิ่มขึ้นสามารถทำให้ค่าคงที่ใด ๆ > 1 ถ้าคุณสามารถขยายจากความเชื่อมั่นสูง (แต่คงที่ <1) โดยพลการ

แก้ไข: มีบทความล่าสุดอีกเรื่องเกี่ยวกับหัวข้อโดย Hsu และ Sabato http://arxiv.org/pdf/1307.1827v6.pdf ส่วนใหญ่เป็นการวิเคราะห์และใช้ขั้นตอนที่จุดในชุดที่มีระยะห่างมัธยฐานที่เล็กที่สุดกับส่วนที่เหลือ ของคะแนนที่ใช้ ขั้นตอนนี้สามารถใช้กับตัวชี้วัดใด ๆ แต่ให้ปัจจัยประมาณ 3 เท่านั้น