อะไรคือคลาสที่ซับซ้อนน้อยที่สุด

ฉันเชื่อว่าคำตอบสำหรับคำถามนี้ให้ชั้นเรียนนั้นสำหรับชื่อพหุนามทั้งหมด $p$ ,
มีปัญหาในชั้นเรียนซึ่งไม่ได้มีวงจรที่มีขนาด $p(n)$ .
อย่างไรก็ตามฉันถามขนาดวงจร $\omega \hspace{.02 in}(n)$ .

$\big(\hspace{-0.07 in}\left\langle \hspace{-0.04 in}0^{\hspace{.02 in}0}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.04 in}1^{\hspace{-0.03 in}1}\hspace{-0.03 in},2^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}3^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}4^4\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}5^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}6^{\hspace{.03 in}6}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}7^1\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}8^8\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}9^1\hspace{-0.03 in},...\hspace{-0.05 in}\right\rangle \:$ มีลักษณะเป็นเส้นตรง แต่ไม่ใช่ $\omega \hspace{.02 in}(n)$ .
แม้ว่าพฤติกรรมแปลก ๆ เช่นนี้สามารถจัดการได้โดยการแพ็ดดิ้ง แต่ก็อาจ
มีเส้นสายที่ยาวมากของค่าพหุนามแบบซุปเปอร์ระหว่างค่าต่ำ)

circuit-complexity lower-bounds

— ชุมชน
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าขอบเขตล่างต่ำสุดของเส้นตรงหมายความว่ามีจุดด้อยลง

ω (n)

$\omega(n)$ .

— Kaveh

ฉันไม่คิดว่าเราเรียกมันว่าฟังก์ชั่น superlinear เท่าที่ฉันรู้ว่าผู้คนหมายถึงอะไรโดย superlinear

ω (n)

$\omega(n)$ เช่นเดียวกับที่ระดับย่อย

o (n)

$o(n)$ . คุณมีการอ้างอิงสำหรับการใช้ superlinear ในความรู้สึกของคุณหรือไม่? ลำดับของคุณนั้นมักจะไม่ธรรมดาอย่างยิ่งยวด แต่ก็ไม่ใช่สุดยอด

— Kaveh

ฉันเชื่อว่าการใช้งานแบบมาตรฐานคือ "ขนาดวงจร superlinear" หมายความว่ามันไม่มีขนาดของวงจร

O (n)

$O(n)$ คือไม่มีที่สิ้นสุดบ่อยครั้ง "เกือบทุกที่" ขอบเขตที่ต่ำกว่านั้นหายากและยากยิ่งที่จะบรรลุ

— Joshua Grochow

ดูโพสต์บล็อกของ Fortnowเกี่ยวกับคำถามที่ว่าคำจำกัดความที่ถูกต้องของสัญลักษณ์โอเมก้าขนาดใหญ่คืออะไร

— Robin Kothari

@Kaveh: ขออภัยฉันควรจะเฉพาะเจาะจงมากขึ้น ฉันหมายถึงคำว่า "ปัญหา X ไม่ได้มีวงจรขนาดเชิงเส้น" โดยทั่วไปจะเทียบเท่ากับบอกว่า "ปัญหา X มีซุปเปอร์เชิงเส้นขนาดวงจรขอบเขตล่าง " และผมเชื่อว่าทั้งสองคนนี้ค่าเฉลี่ย (และควรหมายความว่า) สิ่งที่ผมพูด ในความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน วลี "ปัญหา X มีวงจรขนาดซุปเปอร์เชิงเส้น" ดูเหมือนแปลกสำหรับฉันเพราะ "การมีวงจรดังกล่าวและเช่น" เป็นขอบเขตบน แต่ "super-linear" เป็นขอบเขตล่าง ...

— Joshua Grochow

คำตอบ:

$S^p_2$ และ $PP$ ทั้งคู่รู้ว่าไม่ควรมี $n^k$ - วงจรสำหรับ k คงที่ใด ๆ และไม่มีการควบคุมที่รู้จักกันระหว่างพวกเขา รายละเอียดของฉันในบล็อกโพสต์

อัปเดต: เนื่องจาก Rickey Demer ชี้ให้เห็นผลลัพธ์เหล่านี้ไม่จำเป็นต้องให้ภาษาที่มีขอบเขตต่ำสำหรับทุกคน $n$ ใน $S_2^p$ . ฉันคิดว่า $\Delta^p_3$ น่าจะรู้จักกันดีที่สุด ตั้งแต่ $PP$ มีชุดที่สมบูรณ์ที่คุณอาจจะได้รับทั้งหมด $n$ ผูกพัน แต่ฉันไม่มีหลักฐานเต็มรูปแบบ

— Lance Fortnow
แหล่งที่มา

คุณจะไปจาก "ไม่มี n

^{k}

$^k$ - ขนาดวงจร "เป็น

ω (n)

$\omega(n)$ ขนาดวงจรที่ต่ำกว่าขอบเขต?

$\hspace{.84 in}$ ดูด้านบนของหน้านี้สำหรับลำดับที่ไม่มีขอบเขตบนพหุนาม แต่ไม่ใช่

ω (n)

$\omega(n)$ .)

$\hspace{.58 in}$

@ EmilJeřábek: คุณจะได้รับสิ่งนั้นได้อย่างไรสำหรับคนที่มีขนาดใหญ่พอสมควร

n

$n$ ไม่ใช่แค่เพื่อคนมากมาย

n

$n$ ?

$\hspace{.08 in}$ (นั่นจะต้องได้รับ "ขนาดวงจรคือ

ω (n)

$\omega(n)$ "แทนที่จะเป็น" ขนาดวงจรไม่ใช่

O (n)

$O(n)$ .)

$\hspace{1.12 in}$

@ EmilJeřábek: ดูการตอบสนองของฉันที่meta.stackexchange.com/a/293100/232555

คุณพูดถูกฉันกำลังจดจ่อกับส่วนแรกของการพิสูจน์ที่ขาดหายไปในบล็อกและไม่ทราบว่ามีปัญหาใหญ่ในเรื่องความแตกต่างของคดี ดังนั้นมีภาษาเป็นสิ่งต่อไปนี้

Δ_{3}^{P}

$\Delta^P_3$ ที่ต้องการวงจรขนาด

\geq n^{k}

$\ge n^k$ สำหรับทั้งหมดที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ

n

$n$ .

— Emil Jeřábek

สามารถรับขอบเขตล่างเกือบทุกที่สำหรับ

P^{P P [n^{2}]}

$P^{PP[n^2]}$ . แต่ละ

n

$n$ , ปล่อย

S

$S$ เป็นชุดของขนาดวงจรทั้งหมด

n \log n

$n\log n$ . สำหรับ

i = 1, \dots, n^{2}

$i=1,\ldots,n^2$ เรียก oracle หนึ่งครั้งเพื่อตรวจสอบว่าส่วนใหญ่ของวงจรใน

S

$S$ ตอบคำถาม

i

$i$ อินพุตที่มีความยาว

n

$n$ และโยนออกจาก

S

$S$ วงจรทั้งหมดที่ให้คำตอบนี้ (สามารถเข้ารหัสเป็นข้อ จำกัด polytime ในการเรียก oracle ถัดไป) ฟังก์ชั่นหนักของเราจะส่งออกค่าตรงข้ามกับ

i

$i$ อินพุตที่มีความยาว

n

$n$ .. สิ้นสุดสำหรับ ตอนนี้ให้ ae-lb สำหรับ

P^{P P [n^{2}]}

$P^{PP[n^2]}$ เรายกมันขึ้นไปได้ไหม

P P

$PP$ ?

— Ryan Williams

ให้ dMCSP เป็นเวอร์ชันสำหรับการตัดสินใจของปัญหาขนาดวงจรขั้นต่ำ
และให้ "[1]" ระบุ " แบบสอบถาม 1 ข้อเท่านั้น "
คำตอบสำหรับคำถามของฉันดูเหมือนจะเป็น $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)}$ ซึ่งอันที่จริงแล้ว
เป็นเช่นนั้นสำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก k มันมี $\omega \hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}n^k\hspace{-0.03 in}\big)$ ขอบเขตล่าง:

ทำตามย่อหน้าสิ้นสุดของหน้า 7 จากบทความนี้พร้อมกับย่อหน้าของ $k$ เป็นมากกว่าหนึ่งอาร์กิวเมนต์นี้ $k$ และ "สังเกตเพิ่มเติมว่าเป็นงาน" co_dMCSP "เพื่อตัดสินใจว่า
ตารางความจริงที่กำหนด $\ell$ เป็นเรื่องยาก" ในความรู้สึกเดียวกับที่ใช้ในการที่หน้า 7 วรรค. DNFวงจรสำหรับ length- โดยพลการ

$\ell$ ตารางความจริงมีขนาดสูงสุด $\ell^{\hspace{.03 in}2} \cdot \operatorname{polylog}(\ell)$ ,
เพื่อ dMCSP อยู่ใน $\mathbf{NP}$ . ดังนั้น $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)} \subseteq \mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}}\hspace{-0.03 in}\right)} \subseteq \mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.03 in}\mathbf{NP}}\hspace{-0.03 in}\right)} = \Delta^p_3$ .

ฉันไม่ได้ตระหนักถึงข้อพิสูจน์ใด ๆ $\subseteq$ s มีความเสมอภาคและบทความนี้ให้สิ่งกีดขวางที่สำคัญต่อความเป็นไปได้ของการเกิด dMCSP $\mathbf{NP}$ - ฮาร์ดภายใต้การลดทัวริงแบบสุ่ม
ความเท่าเทียมกันจะตามมาจากการ dMCSP $\mathbf{NP}$ - ยากภายใต้การลดลงของแบบสอบถามแบบใช้ครั้งเดียวที่รัดกุม ( หน้า 6 ) ที่ใช้สตริงคำแนะนำขนาดพหุนามซึ่งคำนวณ
โดย $\mathbf{P}^{\left(\mathbf{NP}^{\hspace{.032 in}\operatorname{dMCSP}[1]}\hspace{-0.03 in}\right)}$ แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่ได้ตระหนักถึงข้อพิสูจน์ของความแข็งดังกล่าว