SAT oracle จะช่วยเร่งความเร็วอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามมากแค่ไหน

23

การเข้าถึง oracle จะช่วยเพิ่มความเร็วในพหุนามที่สำคัญสำหรับทุกสิ่งใน (สมมติว่าเซตไม่ว่างเปล่า) มันมีความชัดเจนน้อยกว่าอย่างไรก็ตามจะได้ประโยชน์อย่างไรจากการเข้าถึง oracle นี้ แน่นอนการเพิ่มความเร็วในไม่สามารถเป็นซุปเปอร์พหุนามได้ แต่มันยังสามารถเป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่นเราสามารถหาเส้นทางที่สั้นที่สุดได้เร็วขึ้นด้วยOracle มากกว่าที่ไม่มีหรือไม่? งานที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่นการลดฟังก์ชั่น submodular หรือการโปรแกรมเชิงเส้น? พวกเขา (หรือปัญหาทางธรรมชาติอื่น ๆ ใน ) จะได้ประโยชน์จาก $SAT$ ${\bf NP}-{\bf P}$ $\bf P$ $\bf P$ $SAT$ $\bf P$ $SAT$ oracle?

โดยทั่วไปถ้าเราสามารถเลือกปัญหาใด ๆ ในและใช้ oracle สำหรับมันแล้วปัญหาใดในสามารถเห็นความเร็วได้ ${\bf NP}-{\bf P}$ $\bf P$

cc.complexity-theory np np-complete

— Andras Farago
แหล่งที่มา

2

oracle เร็วแค่ไหน? หากใช้เวลา

อาจมีปัญหาเพิ่มมากขึ้นกว่าถ้าใช้เวลา

โดยที่

คือขนาดของสูตร SAT

O (s)

$O(s)$

O (s^{5})

$O(s^5)$

s

$s$

— Peter Shor

2

@PeterShor ฉันคิดว่า oracle เมื่อได้รับสูตร SAT เป็นแบบสอบถามให้ส่งคืนคำตอบใช่หรือไม่แสดงว่าสูตรนั้นเป็นที่พอใจหรือไม่ในขั้นตอนเดียว (เวลาคงที่) นี่เป็นอิสระจากขนาดสูตร แน่นอนว่าต้องมีการสร้างสูตรเพื่อสอบถาม เวลาในการก่อสร้างนี้ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของสูตรและยังขึ้นอยู่กับปัญหาที่ต้องสอบถามสูตรด้วย แต่เมื่อสูตรถูกสร้างขึ้นการรับคำตอบจะถูกนับเป็นขั้นตอนเดียวสำหรับสูตรใด ๆ

— Andras Farago

3

ถ้าแทนที่จะเป็นออราเคิล SAT คุณอนุญาตให้ออราเคิล

มันสามารถใช้หาวงจรน้อยที่สุดสำหรับปัญหาใด ๆ นี่จะให้ค่าตัดจำหน่ายที่เหมาะสมเกือบที่สุดสำหรับปัญหาใด ๆ (สาเหตุที่เป็นค่าตัดจำหน่ายเพียงอย่างเดียวคือถ้าคุณใช้เพียงครั้งเดียวขนาดของสูตร

คุณจดไว้เป็นหลักของโพลีไทม์ดั้งเดิมของคุณ อัลกอริทึม - แต่หลังจากขั้นตอนนั้นคุณจะมีวงจรที่เหมาะสมสำหรับอินสแตนซ์ทั้งหมดที่มีขนาด

)

Σ_{2} S A T

$\Sigma_2 SAT$

Σ_{2} S A T

$\Sigma_2 SAT$

\leq n

$\leq n$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow ความคิดเห็นของคุณน่าสนใจมาก! มันจะเป็นการดีถ้าได้เห็นมันเป็นคำตอบพร้อมรายละเอียดเพิ่มเติม

— Andras Farago

15

อันที่จริงการยอมรับของทัวริงเครื่องจักร nondeterministic ในเวลาคือ - เวลาลดลงถึง SAT (การก่อสร้างคือผ่านการจำลองแบบลืมเลือน, ดู Arora-Barak) ดังนั้นโดยทั่วไปเวลาใด ๆ ที่ nondeterministic เราจะเห็นการเร่งความเร็วอย่างน้อยด้วยออราเคิล SAT $t$ $O(t \log t)$

เพื่อให้เป็นรูปธรรมมากขึ้นการทดสอบแบบดั้งเดิมจะคำนึงถึงเมื่อตัวแปรที่ดีที่สุดของอัลกอริทึม AKS ปรากฏขึ้นเพื่อทดสอบความเป็นอันดับหนึ่งของจำนวน bit ในเวลา $n$ )แต่ถ้าเราไป "โรงเรียนเก่า" แพรตต์ให้ nondeterministic TM เพื่อตัดสินใจดั้งเดิมในเวลา $O(n^6 \; \text{polylog}\; n)$ )การยอมรับของเครื่องนี้สามารถลดลง (กำหนดขึ้น) ใน $O(n^3 \; \text{polylog}\; n)$ เวลาไปยังอินสแตนซ์ SAT $O(n^3 \; \text{polylog}\; n)$

ปัญหา 3SUM อาจเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งเนื่องจากดูเหมือนว่าเราสามารถคาดเดาวิธีแก้ปัญหาและตรวจสอบในเวลา subquadratic จากนั้นการยอมรับของเครื่องดังกล่าวจะลดลงเป็น SAT ในเวลา subquadratic

— Joe Bebel
แหล่งที่มา

7

โดยทั่วไปถ้าเราสามารถเลือกปัญหาใด ๆ ใน NP − P และใช้ oracle สำหรับมันแล้วปัญหาใดใน P ที่สามารถเห็นความเร็วได้

คำถามนี้ได้รับโดยตรงมากขึ้นในการเป็นตัวแทนและเวลาที่จำเป็นในการลดปัญหาหนึ่งไปยังอีก ....

คำตอบหลักที่ฉันมีอยู่ในใจคือoracle การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น / เชิงเส้น เวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหานั้นคือ NP-complete มี "การลดลง" เล็กน้อยจากการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ แต่ oracle สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเพียงอย่างเดียว (ปล่อยให้เป็นอิสระจาก ILP) ช่วยเร่งความเร็วให้กับปัญหามากมายที่สามารถแก้ไขได้ทันทีโดยการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น พวกเขาสามารถลดลงได้ในเวลาเชิงเส้นโดยการเขียนปัญหาเป็น LP ตัวอย่างเช่นเส้นทางที่สั้นที่สุดและปัญหาการไหลอื่น ๆ การจับคู่

แต่ฉันไม่คิดว่า ILP เป็นวิธีเดียวเท่านั้นอาจเป็นไปได้ว่าผู้คนไม่ได้คิดมากเช่นการลดเส้นทางที่สั้นที่สุดไปยัง TSP หรืออื่น ๆ

— usul
แหล่งที่มา

3

$SAT$ $\Sigma_2 SAT$ $\mathsf{P}$ $\Sigma_2 SAT$ $\leq n$ .

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

N P^{N P}

$NP^{NP}$

N P

$NP$

P

$P$

N P^{N P} \neq N P

$NP^{NP}\neq NP$

P H

$PH$

P

$P$

P

$P$

N P

$NP$

N P^{N P}

$NP^{NP}$

1

P

$\mathsf{P}$

P H

$\mathsf{PH}$

k

$k$

k + 2

$k+2$