ปัญหาใดใน P ที่ตรวจสอบผลลัพธ์ได้ง่ายกว่าการค้นหา

สำหรับ (รุ่นการค้นหา) ของปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ปัญหาการตรวจสอบการแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการค้นหาเนื่องจากการตรวจสอบสามารถทำได้ในเวลาพหุนามในขณะที่การค้นหาพยานต้องใช้เวลา (อาจ) เวลาชี้แจง

อย่างไรก็ตามในPวิธีแก้ปัญหาสามารถพบได้ในเวลาพหุนามดังนั้นจึงไม่ดูเหมือนชัดเจนเมื่อตรวจสอบได้เร็วกว่าการหาวิธีแก้ปัญหา ในความเป็นจริงปัญหาต่าง ๆ ดูเหมือนจะทำงานแตกต่างจากมุมมองนี้ ตัวอย่างบางส่วน:

1. 3SUM:กำหนดหมายเลขป้อนค้นหา 3 ในจำนวนที่รวมเป็น 0 เท่าที่ฉันรู้อัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดจะทำงานในเวลา และลำดับนี้ถือว่าเหมาะสมที่สุด ในทางกลับกันการตรวจสอบของโซลูชันนั้นเร็วกว่ามากเนื่องจากเราต้องทำเพียงแค่ตรวจสอบว่าตัวเลขที่พบ 3 ตัวนั้นรวมเป็น 0O ( n 2 - o ( 1 )$n$$O(n^{2-o(1)})$

2. เส้นทางที่สั้นที่สุดของ All-Pairs: กำหนดกราฟที่มีน้ำหนักของขอบแล้วคำนวณเมทริกซ์ระยะทางของเส้นทางที่สั้นที่สุด เมื่อได้รับเมทริกซ์ดังกล่าวแล้วจะสามารถตรวจสอบได้เร็วขึ้นหรือไม่ว่าเป็นเมทริกซ์ระยะทางที่ถูกต้องมากกว่าการคำนวณใหม่อีกครั้งหรือไม่ ฉันเดาว่าคำตอบนั้นอาจจะใช่ แต่ก็ชัดเจนน้อยกว่าสำหรับ3SUM

3. โปรแกรมเชิงเส้น หากได้รับโซลูชันที่ดีที่สุดที่อ้างสิทธิ์การตรวจสอบจะง่ายกว่าการคำนวณใหม่อีกครั้งเมื่อได้รับข้อมูลเสริม (โซลูชันคู่ที่ดีที่สุด) ในทางกลับกันถ้ามีเพียงวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นเท่านั้นมันไม่ชัดเจนว่าใครสามารถตรวจสอบได้เร็วกว่าแก้ปัญหา LP จริง ๆ

คำถาม:สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับเรื่องนี้? นั่นคือเมื่อใดจะง่ายต่อการตรวจสอบการแก้ไขปัญหาในPกว่าการหาวิธีแก้

เป็นที่ทราบกันว่าในกราฟ G และ tree T สามารถตรวจสอบได้ในเวลาเชิงเส้นว่า T เป็นต้นไม้ที่ครอบคลุมน้อยที่สุดของ G แต่เรายังไม่มีอัลกอริทึมเชิงเส้นเวลาที่กำหนดเพื่อคำนวณ MST แน่นอนว่าช่องว่างเล็ก ๆ (1 vs ) แต่มันยังอยู่ที่นั่น :))$\alpha(n)$

บทความนี้แสดงให้เห็นว่ามีอัลกอริทึมการตรวจสอบสำหรับทั้ง YES และ NO สำหรับปัญหา 3 ปัญหา ได้แก่ Max flow, 3SUM และ APSP ซึ่งเร็วกว่าโดยปัจจัยพหุนามมากกว่าขอบเขตที่รู้จักสำหรับการคำนวณโซลูชันเอง

มีปัญหาหลายระดับคือปัญหาที่ปรับปรุงเวลาการทำงานคือ SETH-hard ซึ่งเวลาทำงานในการตรวจสอบว่าไม่มีอินสแตนซ์นั้นไม่น่าจะเร็วกว่าเวลาที่ใช้ในการคำนวณวิธีแก้ปัญหามิฉะนั้นการคาดเดาจากบทความนี้ การคาดคะเนเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลที่คาดเดายากจะล้มเหลว

สำหรับปัญหาบางอย่างดูเหมือนจะไม่แตกต่างกัน โดยเฉพาะVassilevska Williams & Williamsแสดง:

• สำหรับการคูณเมทริกซ์บูลีนการคำนวณผลิตภัณฑ์เมทริกซ์และการตรวจสอบเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์เทียบเท่า subcubic หมายความว่าพวกเขาทั้งสองมีอัลกอริทึม subcubic เวลาหรือทั้งสองไม่ได้ทำ

• สิ่งเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับการคำนวณและการตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ผ่านโครงสร้าง "Extended (min, +)" (ดูกระดาษสำหรับคำจำกัดความ แต่สิ่งนี้รวมถึงปัญหาธรรมชาติมากมาย)

(ตอนนี้แน่นอนเป็นไปได้ว่าปัญหาเหล่านี้ทั้งหมดมีอัลกอริทึมย่อยและจากนั้นอาจมีความแตกต่างพหุนามระหว่างการคำนวณและการตรวจสอบ แต่สำหรับปัญหาเหล่านี้ไม่สามารถมีความแตกต่างลูกบาศก์ได้ จริง ๆ แล้วพวกเขาทั้งหมดต้องการลูกบาศก์เวลาเป็นหลัก)

• การตัดสินใจว่าค่าที่มีอยู่ในอาเรย์นั้นใช้เวลา (หรือถ้าเรียงลำดับอาเรย์)Ω ( บันทึกn $\Omega(n)$$\Omega(\log n)$

  การตรวจสอบว่าอาร์เรย์ที่มีค่าที่กำหนดในตำแหน่งที่ได้รับเป็นไปได้ในเวลา(1)$O(1)$

• เรียงลำดับ (ในรูปแบบการเปรียบเทียบ) ใช้เวลาแต่ยืนยันว่าอาร์เรย์หรือรายการจะถูกจัดเรียงเป็นไปได้ในเวลา(n)O ( n $\Omega(n \log n)$$O(n)$

ผมคิดว่าหลาย ๆ ตัวอย่างมาจากปัญหา NP-สมบูรณ์ที่ตกอยู่ใน P เมื่อเราแก้ไขหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่นการตรวจสอบว่ากราฟมีกลุ่มขนาดเป็น NP-complete ถ้าเป็นส่วนหนึ่งของอินพุตหรือไม่เวลาพหุนามแก้ได้ถ้าได้รับการแก้ไขk $k$$k$$k$

สำหรับการแก้ไขใด ๆการตรวจสอบต้องใช้เวลาเชิงเส้น แต่ถ้าปัญหาค้นหา (พหุนาม) ขึ้นอยู่กับความซับซ้อน (k))P = N P k Ω ( n k ) $k$$P=NP$$k$$\Omega(n^k) )$

ตัวอย่างอื่น ๆ : การค้นหาเส้นทางแฮมิลโตเนียนที่มีความยาว , ระบายสีบนกราฟ treewidth ที่ล้อมรอบ, ...$k$

การตัดสินความเป็นอันดับหนึ่ง: ตัวแปรที่รู้จักกันเป็นอย่างดีของ AKS ดูเหมือนจะตัดสินใจแบบดั้งเดิมในเวลาในขณะที่ใบรับรอง Pratt แบบดั้งเดิมของรูปแบบดั้งเดิมแสดงถึงการตัดสินใจแบบดั้งเดิมในเวลา nondeterministic . ˜ O (n3$\tilde{O}(n^6)$$\tilde{O}(n^3)$

กระดาษโดย Abboud, et al เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้รับการยอมรับจาก SODA 2016 แสดงว่าทรีมอร์ฟิซึ่มมอร์ฟิซึ่มไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเว้นเสียแต่ว่าสมมติฐานเวลาเชิงเลขชี้กำลังที่แข็งแกร่งนั้นเป็นเท็จ แน่นอนเราสามารถตรวจสอบมอร์ฟิซึ่มในเวลาเชิงเส้น$O(n^{2-\epsilon})$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง SETH ทำให้เรามีปัญหาตามธรรมชาติในมีช่องว่างระหว่างการค้นหาและการตรวจสอบ Ω ( n 1 - ϵ$\sf{P}$$\Omega(n^{1-\epsilon})$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมเป็นที่รู้จักสำหรับต้นไม้ที่หยั่งรากและคงที่ (ซึ่งยังคงมีผลการเชื่อมโยงที่ต่ำกว่าของ Abboud et al. ) ดังนั้นภายใต้ SETH ช่องว่างเกือบการตรวจสอบเชิงเส้นเกือบจะแน่นสำหรับปัญหานี้เป็นหลัก$O(n^2/\log n)$