มีปัญหาตามธรรมชาติในเวลากึ่งพหุนาม แต่ไม่ใช่ในเวลาพหุนาม

ลาสซ์โลบาบเมื่อเร็ว ๆ นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า ปัญหาที่เกิดขึ้นกราฟมอร์ฟอยู่ในเวลา quasipolynomial ดูเพิ่มเติมเขา พูดคุยที่มหาวิทยาลัยชิคาโก หมายเหตุจากการเจรจาโดยเจเรมีคุง GLL โพสต์ 1 , GLL โพสต์ 2 , GLL โพสต์ 3

ตามทฤษฏีของ Ladner ถ้า$P \neq NP$ดังนั้น$NPI$ก็ไม่ได้ว่างเปล่านั่นคือ$NP$มีปัญหาที่ไม่ได้อยู่ใน$P$และ$NP$ - ที่ไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตามภาษาที่ Ladner สร้างขึ้นนั้นเป็นสิ่งประดิษฐ์และไม่ใช่ปัญหาตามธรรมชาติ ไม่มีปัญหาธรรมชาติเป็นที่รู้จักกันใน$NPI$ แม้เงื่อนไขภายใต้$P \neq NP$ P แต่ปัญหาบางอย่างเชื่อว่าเป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับ$NPI$เช่น Factoring integers และ GI

$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

มีปัญหาบางอย่างที่เรารู้ว่าอัลกอริธึมเวลากึ่งพหุนาม แต่ไม่รู้จักอัลกอริธึมเวลาพหุนาม ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นในขั้นตอนวิธีการประมาณ ตัวอย่างที่โด่งดังคือปัญหาต้นไม้ Steiner กำกับซึ่งมีขั้นตอนวิธีการประมาณเวลาแบบพหุนามในการบรรลุอัตราส่วนการประมาณ (เป็นจำนวนจุดยอด) อย่างไรก็ตามการแสดงการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมเวลาพหุนามดังกล่าวเป็นปัญหาเปิด$O(\log^3 n)$$n$

คำถามของฉัน:

เราจะรู้ปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติใด ๆ ที่อยู่ในแต่ไม่ได้อยู่ใน ?$QP$$P$

ในความเป็นจริงมีงานค่อนข้างมากในการพิสูจน์ขอบเขตการทำงานกึ่งโพลิโนเมียลที่ต่ำกว่าสำหรับปัญหาการคำนวณส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับสมมติฐานเวลาชี้แจง นี่คือผลลัพธ์บางส่วนสำหรับปัญหาที่ฉันพิจารณาว่าค่อนข้างเป็นธรรมชาติ (ผลลัพธ์ทั้งหมดด้านล่างมีเงื่อนไขตาม ETH):

• Aaronson, Impagliazzo และ Moshkovitz [1] แสดงเวลากึ่งพหุนามต่ำกว่าขอบเขตสำหรับปัญหาความพึงพอใจข้อ จำกัด ที่หนาแน่น (CSPs) โปรดทราบว่าวิธีการกำหนด CSP ในเอกสารนี้ช่วยให้โดเมนมีขนาดใหญ่แบบพหุนามในกรณีที่โดเมนมีขนาดเล็กเป็นที่รู้จักกันว่ามี PTAS

• Braverman, Ko และ Weinstein [2] พิสูจน์เวลากึ่งพหุนามในขอบเขตล่างเพื่อค้นหา -best -approximate Nash equilibrium ซึ่งตรงกับขั้นตอนวิธีของลิปตันและอัล [3]$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman, Ko, Rubinstein และ Weinstein [4] แสดงเวลากึ่งพหุนามต่ำกว่าสำหรับการประมาณความหนาแน่น -suggraph ด้วยความสมบูรณ์ที่สมบูรณ์แบบ (เช่นได้รับกราฟที่มี -clique พบ subgraph ขนาดนั่นคือหนาแน่นสำหรับค่าคงที่ขนาดเล็ก ) อีกครั้งมีอัลกอริธึมเวลากึ่งพหุนามสำหรับปัญหา (Feige และ Seltser [5])k k ( 1 - ϵ ) $k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

อ้างอิง

1. AM พร้อม Merlins หลายรายการ ในความซับซ้อนของการคำนวณ (CCC), 2014 การประชุม IEEE 29 วันที่, หน้า 44–55, มิถุนายน 2014

2. Mark Braverman, Young Kun Ko และ Omri Weinstein การประมาณความสมดุลของแนชที่ดีที่สุดใน - แบ่งเวลาตามสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล ในการดำเนินการประชุมวิชาการ ACM-SIAM ที่ยี่สิบหกปีที่อัลกอริธึมที่ไม่ต่อเนื่อง SODA '15, หน้า 970–982 SIAM, 2015$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis และ Aranyak Mehta เล่นเกมขนาดใหญ่โดยใช้กลยุทธ์ง่าย ๆ ในรายงานการประชุม ACM ครั้งที่ 4 ว่าด้วยการพาณิชย์อิเล็กทรอนิกส์ EC '03 หน้า 36–41 นิวยอร์กนิวยอร์กสหรัฐอเมริกาปี 2003 ACM

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein และ Omri Weinstein ETH ความแข็งสำหรับ Densest- -Subgraph ด้วยความสมบูรณ์แบบที่สุด Electronic Colloquium บนความซับซ้อนในการคำนวณ (ECCC), 22:74, 2015$k$

5. คุณ Feige และ M. Seltser เกี่ยวกับปัญหา -subgraph ที่หนาแน่นที่สุด รายงานทางเทคนิคปี 1997$k$

ดโดและ Vishkinพิสูจน์ให้เห็นว่ามีอำนาจเหนือชุดขั้นต่ำในการแข่งขันอยู่ใน P พวกเขาแสดงให้เห็นว่าการแข่งขันที่ครองตำแหน่งมีอัลกอริธึม P-time iff SAT มีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล ดังนั้นการแข่งขันที่ครอบครองปัญหาเซตไม่สามารถอยู่ในP ได้ยกเว้น ETH จะเป็นเท็จ$QP$$P$

เป็นที่น่าสนใจมากที่จะสังเกตว่าสมมติฐานเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลพร้อมกันนั้นหมายความว่าการแข่งขันที่มีอำนาจเหนือเซตจะต้องไม่มีอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามและมันไม่สามารถเป็น - สมบูรณ์$NP$ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ETH บอกเป็นนัยว่าการแข่งขันที่ครองตำแหน่งนั้นอยู่ใน Intermediate$NP$

Woegingerแนะนำปัญหาของผู้สมัครที่แก้ไขได้ในเวลากึ่งโพลิโนเมียลและอาจไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม: ด้วยเต็มจำนวนคุณสามารถเลือกlog nของพวกเขาที่เพิ่มขึ้นถึง0 ?$n$$\log n$$0$

การคำนวณมิติ VC ดูเหมือนว่าไม่น่าจะอยู่ในเวลาพหุนาม แต่มีอัลกอริทึมเวลา quasipolynomial

$O(\log n)$

หากสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นถูกต้อง (หรือแม้แต่เวอร์ชั่นที่อ่อนแอกว่า) ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแก้ 3SAT สำหรับอินสแตนซ์ที่มีจำนวนโพลีบล็อกในตัวแปรในเวลาพหุนาม แน่นอนเวลากึ่งพหุนามสามารถแก้ปัญหากรณีดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

เกมแก้ปัญหาความเท่าเทียมกันได้รับการแสดงให้เห็นว่าอยู่ใน QP: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

อย่างไรก็ตามกระดาษล่าสุดข้างต้นทำให้ข้ามไปที่ QP อย่างมีนัยสำคัญ ยังไม่ทราบว่าเกมเหล่านี้อยู่ใน P หรือไม่

ในอัลกอริทึมแบบคลาสสิกการสลายตัวของความสัมพันธ์และเลขศูนย์ที่ซับซ้อนของฟังก์ชันพาร์ติชันของระบบหลายตัวควอนตัมโดย Aram Harrow, Saeed Mehraban และ Mehdi Soleimanifar

อัลกอริธึมคลาสสิคแบบกึ่งเวลาพหุนามที่ประเมินฟังก์ชันการแบ่งส่วนของระบบร่างกายหลายควอนตัมที่อุณหภูมิสูงกว่าจุดเปลี่ยนช่วงความร้อน

ถูกนำเสนอ.

ไม่สามารถพูดได้มากที่นี่เกี่ยวกับส่วน "แต่ไม่ใช่ในเวลาพหุนาม" อาจเป็นไปได้ว่าจะพบอัลกอริธึมเวลาแบบพหุนามในภายหลังตามประวัติของงานก่อนหน้าดูด้านล่าง

"การประมาณฟังก์ชั่นพาร์ติชัน" เกี่ยวข้องกับอัลกอริทึมการประมาณอย่างไร งานก่อนหน้า (หน้า 11):

มีวิธีคิดแตกต่างกันเมื่อเร็ว ๆ นี้ในการประเมินฟังก์ชั่นพาร์ติชันซึ่งเป็นพื้นฐานของงานนี้ วิธีนี้มองว่าฟังก์ชั่นพาร์ติชั่นเป็นพหุนามมิติสูงและใช้การขยายเทย์เลอร์ที่ถูกตัดทอนเพื่อขยายการแก้ปัญหา ณ จุดที่ง่ายต่อการคำนวณไปสู่ระบอบการปกครองของพารามิเตอร์ที่ไม่สำคัญ นับตั้งแต่เปิดตัว [Bar16a] วิธีนี้ถูกใช้เพื่อให้ได้อัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นสำหรับปัญหาที่น่าสนใจต่าง ๆ เช่นแบบจำลอง ferromagnetic และ antiferromagnetic Ising [LSS19b, PR18] บนกราฟที่มีขอบเขต

รวมถึง

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair และ Piyush Srivastava ฟังก์ชันพาร์ติชัน Ising: ค่าศูนย์และการประมาณที่กำหนดขึ้น วารสารฟิสิกส์เชิงสถิติ, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

ซึ่งกล่าวถึงในส่วนนี้เกี่ยวกับงานที่เกี่ยวข้อง:

ในการทำงานแบบขนาน Barvinok เริ่มการศึกษาการประมาณค่าลอการิทึมของฟังก์ชันเทย์เลอร์เทย์เลอร์ซึ่งนำไปสู่การประมาณเวลา quasipolynomial อัลกอริธึมสำหรับความหลากหลายของปัญหาการนับ [6, 7, 9, 10] เมื่อไม่นานมานี้ Patel and Regts ได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับหลายรุ่นที่สามารถเขียนเป็นผลบวก subgraph เราสามารถรับ FPTAS จากวิธีนี้

[41] V. Patel และ G. Regts อัลกอริทึมการประมาณเวลาแบบพหุนามที่กำหนดสำหรับฟังก์ชันพาร์ติชันและพหุนามกราฟ SIAM J. Comput., 46 (6): 1893–1919, ธ.ค. 2017. arXiv: 1607.01167

โดยสรุป "การประมาณฟังก์ชั่นพาร์ติชัน" นั้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับอัลกอริธึมการประมาณและมีอัลกอริทึมการประมาณเวลา quasipolynomial สำหรับความหลากหลายของปัญหาการนับและสำหรับ FPTAS เหล่านั้นบางส่วนได้รับแล้ว โดยรวมแล้วปัญหาระดับนี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพาร์ติชันทั้งคู่ดูเหมือนจะสร้างอัลกอริทึมการประมาณเวลา quasipolynomial แต่บ่อยครั้งที่การปรับปรุงในเวลาต่อมาบรรลุเวลาพหุนาม