Generalizing อัลกอริธึมการลดขนาด DFA ของ Brzozowski เพื่อ จำกัด ออโตมาตะด้วยคลาสที่แตกต่างกันของการยอมรับสถานะ?

9

อัลกอริทึมของ Brzozowski สำหรับการแปลง DFA เป็น DFA ขั้นต่ำที่เทียบเท่ากันนั้นเป็นเรื่องง่ายมาก: ถ้า $R(D)$ หมายถึง NFA ที่เกิดขึ้นจากการพลิกกลับขอบทั้งหมดใน DFAทำให้สถานะเริ่มต้นเก่าเป็นสถานะที่ยอมรับและทำให้สถานะเริ่มยอมรับเก่าเริ่มขึ้นและถ้าแสดงผลลัพธ์ของการใช้ชุดย่อยสร้างกับ NFAแล้วเป็นขั้นต่ำของรัฐ DFA กับภาษาเดียวกับD $D$ $P(N)$ $N$

P (R (P (R (D))))

$P(R(P(R(D))))$

D

$D$

เราสามารถคิดว่า DFA เป็นอุปกรณ์คำนวณที่ยอมรับสตริงอินพุตจากนั้นเอาต์พุต 0 ถ้าสิ้นสุดในสถานะที่ปฏิเสธและ 1 ถ้าสิ้นสุดในสถานะที่ยอมรับ การวางนัยทั่วไปตามธรรมชาติของ DFA ที่เกี่ยวข้องแต่ละรัฐใน DFA ที่มีจำนวนธรรมชาติบางอย่างระหว่าง 0 และรวม $w$ $w$ $w$ $k-1$

เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันมันเป็นไปได้ที่จะลดคลาส DFAs ที่ถูกปรับเปลี่ยนเหล่านี้โดยใช้อัลกอริธึมการลดความแตกต่างที่อิงกับความสามารถในการแยกความแตกต่างเช่น canonical one โดย Hopcroft อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นว่าจะเป็นไปได้อย่างไรที่จะปรับอัลกอริธึมการย่อขนาด Brzozowski ให้เข้ากับคลาสออโตทาต้าใหม่นี้เนื่องจากขั้นตอนสำคัญ (การย้อนกลับของออโตเมต) ไม่มีการตีความที่ชัดเจนในการตั้งค่าทั่วไปนี้อีกต่อไป

มีวิธีการทั่วไปที่รู้จักกันดีของอัลกอริทึมของ Brzozowski เพื่อลดออโตมาตาเหล่านี้หรือไม่? หากไม่มีมีเหตุผลทางทฤษฎีใด ๆ ที่ทำให้เราคาดหวังว่าอัลกอริทึมที่ปรับเปลี่ยนดังกล่าวจะไม่มีอยู่จริง?

automata-theory minimization

— templatetypedef
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่า "การวางนัยทั่วไป" ดูเหมือนจะไม่ชัดเจน คืออะไร

k

$k$ ? มันเป็นเพียงการพูดคุยเกี่ยวกับการเชื่อมโยงแต่ละรัฐใน DFA กับค่าจำนวนเต็มขอบเขต? แล้วไง? ตัวอย่างคืออะไร ใครทำงานกับสิ่งนี้ ฯลฯ

— vzn

@vzn คุณสามารถนึกถึงแต่ละรัฐใน DFA ปกติว่าเกี่ยวข้องกับ 0 หรือ 1 (ปฏิเสธและยอมรับตามลำดับ) ฉันกำลังคิดถึงเรื่องนี้โดยทั่วไปสำหรับกรณีที่แต่ละรัฐ DFA เกี่ยวข้องกับค่าบางอย่าง

{0, 1, 2, 3, . . ., k - 1}

$\{0, 1, 2, 3, ..., k-1\}$ และ DFA เอาท์พุทตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับสถานะที่สตริงสิ้นสุดลงมา

— templatetypedef

ตกลงที่ไม่ได้สื่อสารในโพสต์เลย "DFA ส่งออก # ที่เกี่ยวข้องกับสถานะที่สตริงสิ้นสุดใน" ขอแนะนำให้คุณแก้ไข ในทางเทคนิค DFAs ไม่มี "เอาท์พุท" บางทีคุณอาจหมายถึงตัวแปลงสัญญาณ FSM? มีทฤษฎีบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับการย่อขนาดตัวแปลงสัญญาณ FSMที่เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ ("ยัง"?) ผูกติดอยู่กับการย่อขนาด DFA

— vzn

7

คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือใช่

ดู Bonchi, Bonsangue, Rutten และ Silva ของอัลกอริทึมของ Brzozowski (co) พีชคณิต (รุ่นการประชุมที่สั้นกว่า) และAlgebra-Coalgebra Duality ในอัลกอริทึม Minimization ของ Brzozowski (วารสารที่ยาวกว่าพร้อมด้วยการสรุปทั่วไปมากขึ้น)

พวกเขาให้การนำเสนอที่เป็นหมวดหมู่ (เบา ๆ ) ของอัลกอริธึมของ Brzowzowski และใช้มันเพื่อรับเวอร์ชันของมันสำหรับคลาสทั่วไปของออโตมาตะรวมถึงออโตโมโต้ Moore (ซึ่งให้คำตอบที่ตอบคำถามของคุณ)

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

6

เพียงเพิ่มคำตอบของ Neel ในหนังสือลำดับอัตโนมัติกับ Jean-Paul Allouche ในหนังสือของเราเราจะพูดคุยเกี่ยวกับ DFAO (จำกัด ขอบเขตอัตโนมัติกับเอาต์พุต) ของ DFAO ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณถาม (เชื่อมโยงผลลัพธ์กับแต่ละรัฐ) และทฤษฎีบท 4.3.3 อธิบายถึงวิธีการย้อนกลับเครื่องดังกล่าว

— Jeffrey Shallit
แหล่งที่มา