เพิ่มเติมเกี่ยวกับค่า PH ใน PP?

คำถามล่าสุดโดย Huck เบนเน็ตต์ถามว่า PH ระดับที่ถูกบรรจุอยู่ในระดับพีพีที่ได้รับคำตอบที่ค่อนข้างขัดแย้ง (จริงทั้งหมดก็ดูเหมือนว่า) ในอีกด้านหนึ่งมีการพยากรณ์ผลลัพธ์หลายอย่างในทางตรงกันข้ามและในทางตรงกันข้าม Scott แนะนำว่าคำตอบน่าจะเป็นไปในเชิงบวกเนื่องจากทฤษฏีของโทดะแสดงให้เห็นว่า PH อยู่ใน BP.PP ซึ่งเป็นตัวแปรที่น่าจะเป็นของ PP และเรามักเชื่อว่า ไม่ได้ช่วยอะไรมากนักเช่นสมมติฐานความแข็งที่สมเหตุสมผลหมายถึง PRG ที่สามารถทดแทนการสุ่มได้

ตอนนี้ในกรณีของ PP มันไม่ชัดเจนว่า apriori ว่า "สมบูรณ์แบบ" PRG จะบอกเป็นนัยถึงความสมบูรณ์ของ derandomization เนื่องจาก Derandomization ตามธรรมชาติจะใช้อัลกอริทึมดั้งเดิมกับผลลัพธ์ของ PRG สำหรับเมล็ดที่มีพหุนามทั้งหมดที่เป็นไปได้ทั้งหมด . ไม่ชัดเจนว่าการลงคะแนนเสียงข้างมากในการคำนวณ PP นั้นเป็นสิ่งที่สามารถทำได้ใน PP เอง อย่างไรก็ตามกระดาษโดย Fortnow และ Reingold แสดงให้เห็นว่าPP ถูกปิดภายใต้การลดความจริงตาราง (ขยายผลที่น่าประหลาดใจที่ PP ถูกปิดภายใต้สี่แยก) ซึ่งดูเหมือนว่าจะพอเพียงสำหรับการลงคะแนนเสียงข้างมาก

ดังนั้นคำถามที่นี่คืออะไร Toda, Fortnow-Reingold และ derandomizations ที่ใช้ PRG ทั้งหมดล้วน แต่มีความสัมพันธ์กันดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า PH ใน PP สำหรับทุกพยากรณ์ที่มี PRG ที่เหมาะสม ดังนั้นสำหรับ oracle ทั้งหมดที่ PP ไม่ได้มีค่า PH (เช่น Minski & Papert, โดย Beigel , หรือVereshchagin ), PRGs สำหรับ PP ไม่มีอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้บ่งบอกว่าสำหรับออราเคิลเหล่านี้ไม่มีฟังก์ชั่นที่ยากอย่างเหมาะสมใน EXP (มิฉะนั้น PRGs แบบ NW-IW จะมีอยู่) เมื่อมองไปที่ด้านบวกสิ่งนี้จะบ่งบอกว่าที่ไหนสักแห่งในผลลัพธ์ของ oracle เหล่านี้ซ่อนอัลกอริทึม PP (ไม่เหมือนกัน) สำหรับ (ประมาณ) EXP กับ oracle นั้น นี่เป็นสิ่งที่แปลกเพราะผลลัพธ์ของ oracle เหล่านี้ดูเหมือนจะพึ่ง PP ที่ต่ำกว่าขอบเขตใหม่(สำหรับวงจรขีด จำกัด ) และตรงไปตรงมาในเครื่องจักรสร้างอาคารของพวกเขาดังนั้นฉันไม่เห็นว่าขอบเขตบนของกลอง PP อยู่ที่ไหน บางทีขอบเขตบนนี้อาจใช้งานโดยทั่วไปแสดงให้เห็นว่า (ไม่เหมือนกัน) -PP สามารถคำนวณ (หรืออย่างน้อยก็ให้อคติบางส่วน) EXP ทั้งหมด จะไม่เป็นเช่นนั้นอย่างน้อยให้แบบจำลอง CH ของ EXP หรือไม่

ดังนั้นฉันคิดว่าคำถามของฉันเป็นสองเท่า: (1) ห่วงโซ่แห่งการให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผลไหม (2) ถ้าเป็นเช่นนั้นจะมีคน "เปิดเผย" ขอบเขตโดยนัยสำหรับ PP หรือไม่

แก้ไขโดยแอรอนสเตอร์ลิง: กระแทกสิ่งนี้ไว้ที่หน้าแรกและเพิ่มความโปรดปราน นี่เป็นหนึ่งในคำถามที่ฉันชอบและยังไม่มีคำตอบ

— โนม
แหล่งที่มา

แน่นอนเริ่มต้นด้วยฟังก์ชั่นบูลีนใน AC0 ที่ไม่สามารถคำนวณได้โดยประตูเกทื polylog (N) -degree สำหรับแต่ละพยากรณ์น้ำเรากำหนดภาษา (โดยที่เป็นบิตของชิ้นส่วน 'th ของ ) ตั้งแต่ ,สำหรับทุก 'TH ขั้นตอน diagonalization จะเลือก (สำหรับบาง ) เช่นว่า ' TH PP TM ทำผิดในซึ่งเกิดขึ้นตั้งแต่

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$ ไม่ใช่ polylog (N) - เกณฑ์ (ตามการคำนวณของเครื่อง PP คือ) ดังนั้นอรรถเป็น แต่บางที ...

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

— โนม

ดังนั้นเพื่อให้ได้ยังเราจะต้องแพ็คหลาย ๆ กรณีของเป็นระยะเวลาเดียวnดูเหมือนว่าจะทำได้โดยการกำหนดที่สำหรับบิตสตริง ,หมายถึง -bits อธิบายว่าสำหรับทุกเป็นไปได้ 's ความยาวnแต่เราจะต้องปรับปรุงขอบเขตล่างสำหรับเพื่อต้องการสำเนาของบนต่างกัน

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$ - บิตสตริงไม่สามารถคำนวณได้โดย polylog (N) -degree threshold gates แม้จะมีบิตช่วยเหลือ polylog (N) ดังนั้นนี่ควรเป็นเท็จสำหรับใด ๆ ดูเหมือนขอบเขตบนที่น่าสนใจ

f \in A C 0

$f \in AC0$

— โนม

ลองคิดดูสิการสังเกตว่าในทุก oracle ที่ทำให้ PH / ⊆ PP นั้นไม่มี PRG ที่มีประสิทธิภาพที่หลอก BP.PP อัลกอริทึมไม่น่าแปลกใจไปกว่าความจริงที่ว่าภายใต้ oracle ทุกอันที่ทำให้ BPP / ⊆ P มี ไม่มี PRG ที่มีประสิทธิภาพที่หลอกอัลกอริทึม BPP นั่นเป็นเพราะทุก oracle ที่ทำ PH / ⊆ PP ก็ทำ BP.PP / ⊆ PP ด้วยทฤษฏีของ Toda (relativized) แต่บางทีฉันอาจพลาดจุดนี้ไป -

— slimton

นั่นเป็นจุดที่ดี อย่างไรก็ตามอย่างสังหรณ์ใจเมื่อคุณสร้าง oracle ที่จุดเริ่มต้นของการก่อสร้างกำลังให้พลังที่ผิดปกติแก่ดังนั้นนั่นจึงหมายถึงพลังที่ผิดปกติกับเช่นกันและทำให้ PRGs เป็นไปไม่ได้ . พยากรณ์สำหรับดูเหมือนจะไม่ให้อำนาจที่ผิดปกติใด ๆ ที่ (หรือชั้นใด) แต่จะ จำกัด อำนาจของอรรถเป็น ฉันไม่แน่ใจ แต่ความแตกต่างนี้สามารถทำเป็นกรงเล็บได้หรือไม่

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— Noam

ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น: ในสิ่งปลูกสร้างสำหรับปมของการก่อสร้างกำลังให้พลัง "ไม่เป็นธรรมชาติ" ต่อ BPP (และยังรวมถึง P / poly) ด้วยเช่นการปลูกฝังพยานจำนวนมากสำหรับสถานที่ที่ยากลำบาก การสุ่มเท่านั้นที่สามารถค้นหาได้ ดังนั้นในขณะที่มันน่าสนใจจริง ๆ ว่าพลังงานนี้พอเพียงสำหรับปัญหา "ทั่วไป" อย่างน้อยพลังงานที่ไม่คาดคิดของ P / โพลีนั้นชัดเจน ในทางกลับกันฉันไม่สามารถมองเห็นได้ทุกที่ว่า oracle สำหรับการแยกค่า PH จาก PP ให้พลังงานที่ไม่เป็นธรรมชาติกับ P / poly หรือคลาสอื่น ๆ ในความเป็นจริง ฉันไม่แน่ใจว่าความแตกต่างนี้เป็น "ของจริง" แม้ว่า

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— ม

โดยผลงานของ Klivans และ van Melkebeek (ซึ่งสัมพันธ์กัน) ถ้า E = DTIME ( ) ไม่มีวงจรที่มีประตู PP ขนาด PH จะอยู่ใน PP contrapositive กล่าวว่าถ้า PH ไม่ได้อยู่ใน PP ดังนั้น E มีวงจรขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีประตู PP สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าการพิสูจน์ oracle ของค่า PH ที่ไม่ได้อยู่ใน PP นั้นให้ค่าขอบเขตที่สัมพันธ์กับ PP ไม่มีเหตุผลที่จะคิดว่ามันบ่งบอกถึงขอบเขตบนของ PP หรือความแข็งแรงของวงจรที่ไม่มีประตู PP $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$

— Lance Fortnow
แหล่งที่มา

แก้ไข. แก้ไขแล้ว.

— Lance Fortnow