ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ฟังก์ชั่นบูลีนอธิบายโดยวงจรความลึกที่ถูกผูกไว้ด้วยและหรือ

ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนและขอให้คิดเกี่ยวกับ F เป็นฟังก์ชันจากจะ\} ในภาษานี้การขยายฟูริเยร์ของ f เป็นเพียงการขยายตัวของ f ในรูปของ monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ ( monomials เหล่านี้เป็นพื้นฐานของพื้นที่ของฟังก์ชันจริงใน . ผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์คือดังนั้นนำไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็นบน monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ เราเรียกการกระจายตัวนี้ว่าการกระจายตัวแบบ F$f$$\{-1,1\}^n$$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

ถ้า f สามารถอธิบายได้ด้วยวงจรเชิงลึกที่มีขอบเขตของขนาดพหุนามเราก็รู้จากทฤษฎีของ Linial, Mansour และ Nisan ว่าการแจกแจงแบบ F นั้นเน้นไปที่ monomials ของขนาดจนถึงน้ำหนักน้อยมาก สิ่งนี้ได้มาจาก Hastad switching lemma (การพิสูจน์โดยตรงจะเป็นที่ต้องการมากที่สุด)$\text{polylog } n$

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราเพิ่ม mod 2 gates ตัวอย่างหนึ่งที่ควรพิจารณาคือฟังก์ชันบนตัวแปรซึ่งอธิบายไว้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ด้านใน mod 2 ของตัวแปร n ตัวแรกและตัวแปร n ตัวสุดท้าย ที่นี่การกระจายตัวของ F มีความเหมือนกัน$IP_{2n}$$2n$

คำถาม : การแจกแจงแบบ F ของฟังก์ชันบูลีนอธิบายด้วยขนาดพหุนามความลึกที่ จำกัด และวงจร, หรือ, MODเข้มข้น (ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ ) ใน "ระดับ" หรือไม่?$_2$$o(n)$

ข้อสังเกต :

1. เส้นทางที่เป็นไปได้ทางหนึ่งในตัวอย่างที่สองคือ "ติดอย่างใด" IPบนชุดตัวแปรที่แยกจากกัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะทำ บางทีเราควรทำให้คำถามอ่อนแอลงและอนุญาตให้กำหนดน้ำหนักให้กับตัวแปร แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่ชัดเจนในการทำเช่นนั้น (ดังนั้นการอ้างถึงสองเรื่องนี้ก็เป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่ฉันถามด้วย)$_2k$

2. ฉันจะคาดเดาว่าคำตอบที่เป็นบวกสำหรับคำถาม (หรือการเปลี่ยนแปลงที่ประสบความสำเร็จ) จะนำไปใช้เช่นกันเมื่อคุณอนุญาต modประตู (ดังนั้นการถามคำถามได้รับแรงบันดาลใจจากผลลัพธ์ ACC ที่น่าประทับใจล่าสุดของ Ryan Williams) $_k$

3. สำหรับ MAJORITY การแจกแจงแบบ F มีขนาดใหญ่ (1 / โพลี) สำหรับทุก ๆ "ระดับ"

ตามที่ Luca แสดงคำตอบของคำถามที่ฉันถามคือ "ไม่" คำถามที่เหลือคือการเสนอวิธีการค้นหาคุณสมบัติของการแจกแจงแบบ F ของฟังก์ชันบูลีนที่สามารถอธิบายได้โดย AND หรือ OR และ mod 2 ประตูที่ไม่ได้แชร์โดย MAJORITY

ความพยายามในการบันทึกคำถามโดยการพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชั่น MONOTONE:

คำถาม : การแจกแจงแบบ F ของฟังก์ชั่นบูลีนแบบโมโนโทโทนถูกอธิบายโดยขนาดพหุนามความลึกที่ จำกัด และวงจร, หรือ, MODเข้มข้น (ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดเล็ก ๆ น้อย ๆ ) ในระดับ "ระดับ"?$_2$$o(n)$

เราอาจคาดการณ์ว่าเราสามารถแทนที่ด้วยดังนั้นตัวอย่างที่ดีสำหรับรุ่นที่รัดกุมนี้น่าสนใจ $o(n)$$\text{polylog} (n)$

กิลสิ่งนี้จะเป็นตัวอย่างหรือไม่?

ปล่อยให้เป็นเช่นนั้นและคิดว่าอินพุต bit เป็นคู่โดยที่คือสตริง m-bitและเป็นจำนวนเต็ม ในช่วงเขียนเป็นเลขฐานสอง$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

จากนั้นเราจะกำหนด$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

ตอนนี้สำหรับฟังก์ชั่น f () มีความสัมพันธ์กับตัวละครฟูริเยร์และดังนั้น "ระดับ i" มีอย่างน้อยเศษส่วนของมวล (อันที่จริงแล้วมีมากกว่านี้$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f () สามารถรับรู้ได้ในระดับความลึก -3: ใส่ XORs ทั้งหมดลงในเลเยอร์แล้วทำการ "เลือก" ในสองชั้นของ ANDs, OR และ NOTs (ไม่นับ NOTs เป็นการเพิ่มความลึกตามปกติ)