ผลกระทบเชิงลบของการขยาย CIC กับสัจพจน์คืออะไร?

มันเป็นความจริงหรือไม่ที่การเพิ่มสัจพจน์ใน CIC อาจมีอิทธิพลทางลบในเนื้อหาการคำนวณของคำจำกัดความและทฤษฎีบท? ผมเข้าใจว่าในพฤติกรรมปกติของทฤษฎีใด ๆ ระยะปิดจะลดลงในฟอร์มปกติที่ยอมรับเช่นถ้าเป็นจริงแล้วnต้องลดระยะของรูปแบบ( s ยูคค. . . ( s U คค( 0 ) ) ) แต่เมื่อกล่าวถึงสัจพจน์ - พูดถึงความจริงของฟังก์ชันส่วนขยาย- เราเพียงแค่เพิ่มค่าคงที่ใหม่ให้กับระบบ$n : \mathbb{N}$$n$$(succ ... (succ (0)))$funext

นั่นจะเป็นเพียง "วิเศษ" สร้างหลักฐานของจากการพิสูจน์ของΠ x : A f ( x ) = g ( x )โดยไม่มีความหมายการคำนวณเลย ( ในแง่ที่ว่าเราไม่สามารถดึงรหัสใด ๆ ออกจากพวกมันได้? )$f = g$$\Pi_{x : A} f (x) = g (x)$

แต่ทำไม "ไม่ดี" นี้

สำหรับfunextฉันอ่านในรายการ coqนี้และคำถาม mathoverflowนี้ว่ามันจะทำให้ระบบไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างอิสระหรือตรวจสอบได้ รายการ coq ดูเหมือนจะนำเสนอตัวอย่างที่ดี แต่ฉันยังต้องการการอ้างอิงเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนั้น - และอย่างใดฉันไม่สามารถหาได้

การเพิ่มสัจพจน์พิเศษอาจทำให้ CIC มีพฤติกรรมแย่ลงได้อย่างไร ตัวอย่างการปฏิบัติใด ๆ จะดีมาก (ตัวอย่างเช่นสัจพจน์ Univalence?) ฉันกลัวว่าคำถามนี้จะอ่อนเกินไป แต่ถ้าใครสามารถทำให้กระจ่างในประเด็นเหล่านั้นหรือให้การอ้างอิงบางอย่างแก่ฉันก็คงจะดีมาก!

PS: รายการ coq กล่าวว่า "Thierry Coquand สังเกตเห็นแล้วว่ารูปแบบการจับคู่กับครอบครัวในมิตินั้นไม่สอดคล้องกับส่วนขยายในช่วงกลางยุค 90" ไม่มีใครรู้ว่ากระดาษหรืออะไร?

เหตุผลแรกที่ปฏิเสธความจริงก็คือพวกเขาอาจไม่สอดคล้องกัน แม้สำหรับสัจพจน์ที่พิสูจน์แล้วว่าสอดคล้องกันบางคนก็มีการตีความการคำนวณ (เรารู้วิธีที่จะขยายความเท่าเทียมกันแบบจำกัดความโดยมีหลักการลดลงสำหรับพวกเขา) และบางคนก็ทำไม่ได้ นี่คือ "ไม่ดี" ด้วยเหตุผลต่าง ๆ :

• ในทางทฤษฎี canonicity ช่วยให้คุณพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับคุณค่าของภาษาของคุณโดยไม่ต้องไปที่แบบจำลองที่เฉพาะเจาะจง นี่เป็นคุณสมบัติที่น่าพึงพอใจเป็นอย่างยิ่งที่คิดเกี่ยวกับระบบของคุณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันสนับสนุนการกล่าวอ้างเกี่ยวกับโลกแห่งความจริง - เราสามารถนึกถึงnatประเภทที่เป็นทางการในระบบว่าเป็น "ตัวเลขธรรมชาติ" เพราะเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าประชากรปกติที่ปิดตัวลงนั้นเป็นจำนวนธรรมชาติ มิฉะนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะคิดว่าคุณจำลองสิ่งที่ถูกต้องในระบบของคุณ แต่จริง ๆ แล้วทำงานกับวัตถุต่าง ๆ

• ในทางปฏิบัติการลดเป็นทรัพย์สินที่สำคัญของทฤษฎีประเภทพึ่งพาเพราะทำให้การพิสูจน์ง่าย การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเชิงประพจน์อาจเป็นเรื่องยากโดยพลการในขณะที่การพิสูจน์ความเสมอภาคเชิงนิยามคือ (ทำได้บ่อยครั้ง) แต่ง่ายกว่ามากเนื่องจากเทอมการพิสูจน์เป็นเรื่องเล็กน้อย โดยทั่วไปการคำนวณเป็นส่วนสำคัญของประสบการณ์การใช้งานของผู้ช่วยที่พิสูจน์แล้วและเป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสิ่งต่าง ๆ เพื่อให้ลดลงอย่างถูกต้องตามที่คุณคาดหวัง (คุณไม่จำเป็นต้องใช้สัจพจน์ในการทำการคำนวณที่ยากตัวอย่างเช่นการใช้หลักการการแปลงความเท่ากันเชิงประพจน์สามารถบล็อกการลดลงได้) ธุรกิจทั้งหมดของการพิสูจน์โดยการสะท้อนขึ้นอยู่กับการใช้การคำนวณเพื่อช่วยพิสูจน์ นี่คือความแตกต่างที่สำคัญในด้านพลังงานและความสะดวกสบายที่เกี่ยวกับผู้ช่วยหลักฐานที่ใช้ logics (เช่น HOL-light ซึ่งรองรับการให้เหตุผลเชิงความเสมอภาคเท่านั้นหรือดูZombieสำหรับแนวทางที่แตกต่าง) และใช้สัจพจน์แบบไม่ จำกัด หรือสไตล์การเขียนโปรแกรมอื่น ๆ สามารถนำคุณออกจากเขตความสะดวกสบายนี้

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมการขยายบทพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยสัจพจน์บางอย่างอาจทำให้เกิดปัญหามันเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะเห็นว่าเมื่อใดที่มันอ่อนโยน ทั้งสองกรณีเข้ามาในใจและพวกเขาทั้งสองเกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าเราไม่สนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมการคำนวณของ postulates

• ในทฤษฎีประเภทการสังเกตมันเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์หลักฐานที่สอดคล้องกันPropโดยไม่สูญเสียความสามารถในการพูด อันที่จริงหลักฐานทั้งหมดได้รับการพิจารณาว่าเท่าเทียมกันและระบบบังคับใช้สิ่งนี้โดยปฏิเสธที่จะดูเงื่อนไขอย่างสมบูรณ์ เป็นผลให้ความจริงที่ว่าหลักฐานที่ถูกสร้างขึ้นด้วยมือหรือเพียงแค่ตั้งสมมติฐานว่าหมีไม่มีผล ตัวอย่างทั่วไปจะเป็นหลักฐานของ "การทำงานร่วมกัน" นี้ถ้าเรามีหลักฐานeqที่A = B : Typeแล้วสำหรับการใด ๆtจากประเภทA, t == coerce A B eq tที่coerceเพียงแค่การขนส่งระยะพร้อมหลักฐานความเท่าเทียมกัน

• ใน MLTT เราสามารถระบุความจริงเชิงลบใด ๆ ที่สอดคล้องกันโดยไม่สูญเสียความสามารถในการพูด สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้คือสัจพจน์เชิงลบ (สัจพจน์ของรูปแบบA -> False) นั้นเคยถูกใช้เพื่อกำจัดกิ่งไม้ที่ไม่เกี่ยวข้องเท่านั้น หากสัจพจน์มีความสอดคล้องกันก็จะสามารถใช้ได้เฉพาะในสาขาที่ไม่เกี่ยวข้องจริง ๆ และจะไม่ถูกนำมาใช้เมื่อประเมินข้อตกลง

ตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ของสัจพจน์ที่ประพฤติไม่ดีที่คุณถามสิ่งนี้เกี่ยวกับอะไร?

 0 = 1

กระดาษ Coquand ที่อ้างถึงอาจเป็น [1] ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่า ITT (ทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณของ Martin-Löf) ขยายออกไปพร้อมกับการจับคู่รูปแบบช่วยให้คุณพิสูจน์ UIP (ความจริงของเอกลักษณ์พิสูจน์ ) ภายหลัง Streicher และ Hoffmann [2] นำเสนอรูปแบบของใน ITT ที่ปลอมแปลง UIP ดังนั้นการจับคู่รูปแบบไม่ใช่ส่วนขยายที่อนุรักษ์นิยมของ ITT

1. T. Coquand การจับคู่รูปแบบกับชนิดที่ขึ้นต่อกัน

2. เอ็ม Hofmann ต Streicher, การตีความของ groupoid ประเภททฤษฎี