การประเมินพหุนามแบบสมมาตร

ปล่อยเป็นสมมาตรพหุนามกล่าวคือพหุนามแบบนี้สำหรับและพีชคณิตทั้งหมดS_n เพื่อความสะดวกเราสามารถสมมติเป็นเขตข้อมูล จำกัด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาการจัดการกับรูปแบบการคำนวณ F ( x ) = F ( σ ( x ) ) x ∈ K n σ ∈ S n $f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

Letแสดงถึงความซับซ้อนของการคำนวณคือความซับซ้อนของอัลกอริทึมที่ได้รับผลตอบแทน(x) เราสามารถจำแนกลักษณะของตามคุณสมบัติของหรือไม่? ตัวอย่างเช่นเรารับประกันได้หรือไม่ว่าเป็นพหุนาม (ในn ) สำหรับพหุนามสมมาตรทั้งหมดf ?f x f ( x ) C ( f ) f C ( f $C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

ในฐานะที่เป็นกรณีพิเศษดูเหมือนว่า (ก) เราสามารถคำนวณหลายชื่อรวมพลังในเวลาที่และ (ข) เราสามารถคำนวณpolynomials สมมาตรประถมศึกษาในเวลาที่โพลี( n )โดยใช้อัตลักษณ์ของนิวตัน ดังนั้นถ้าfเป็นผลรวมของ monomials โดยที่ไม่มีตัวแปรใดยกกำลังสูงกว่า 1 (เช่นถ้าfคือหลายเส้นตรง) ดังนั้นfสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม (เนื่องจากสามารถแสดงเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักได้ ของพหุนามแบบสมมาตรระดับประถมศึกษา) เช่นเมื่อK = G F $\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$จากนั้นพหุนามทุกสมมาตรสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม ใครสามารถพูดอะไรได้มากกว่านี้?$\mathbb{K}=GF(2)$

คำถามดูเหมือนจะเปิดกว้างพอสมควร หรือบางทีคุณต้องการที่จะมีลักษณะที่แม่นยำของเวลาที่ซับซ้อนของพหุนามสมมาตรใด ๆ ที่เป็นไปได้เหนือทุ่ง จำกัด ?

ไม่ว่าในกรณีใดอย่างน้อยความรู้ของฉันมีผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีหลายอย่างเกี่ยวกับความซับซ้อนของเวลาในการคำนวณชื่อพหุนามแบบสมมาตร:

1. หากเป็นพหุนามสมมาตรประถมกว่าฟิลด์ จำกัด แล้วก็สามารถคำนวณโดยพหุนามขนาดสม่ำเสมอT C 0วงจร$f$$TC^0$

2. $f$$0$$TC^0$

3. $f$$f$$TC^0$

อาจมีผลที่รู้จักกันมากกว่าเกี่ยวกับความซับซ้อนของเวลาของพหุนามสมมาตร ...