ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทนของพหุนามสมมาตรระดับประถม?

$k$ -th ประถมศึกษาพหุนามสมมาตร $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ คือผลรวมของทั้งหมดผลิตภัณฑ์ของตัวแปรที่แตกต่างกัน ฉันสนใจในความซับซ้อนของวงจรเลขคณิตของพหุนามนี้ อัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกอย่างง่าย (เช่นเดียวกับรูปที่ 1 ด้านล่าง) ให้วงจรพร้อมประตู $\binom{n}{k}$ $k$ $(+,\times)$ $(+,\times)$ $O(kn)$

คำถาม: รู้จักขอบเขตต่ำกว่า หรือไม่? $\Omega(kn)$

วงจรAจะเอียงหากอย่างน้อยหนึ่งในสองอินพุตของแต่ละเกทผลิตภัณฑ์เป็นตัวแปร วงจรดังกล่าวเป็นจริงเหมือนกับเครือข่ายการสลับและการแก้ไข (กราฟ acyclic กำกับด้วยขอบบางอย่างที่มีป้ายกำกับโดยตัวแปร; แต่ละเส้นทางเซนต์ให้ผลิตภัณฑ์ของฉลากของมันและเอาท์พุทเป็นผลรวมของทุกเส้นทางเซนต์) แล้ว 40 ปีที่ผ่านมามาร์คอฟได้รับการพิสูจน์ผลแน่นน่าแปลกใจที่: เสียงเดียวน้อยที่สุดวงจรเอียงทางคณิตศาสตร์สำหรับได้ว่าประตูสินค้า บนที่ถูกผูกไว้ดังนี้จากรูปที่ 1. $(+,\times)$ $S_k^n$ $k(n-k+1)$

แต่ฉันไม่เคยเห็นความพยายามใด ๆ ที่จะพิสูจน์ว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรที่ไม่เอียง นี่เป็นเพียง "ความเย่อหยิ่ง" ของเราหรือมีปัญหาบางอย่างที่เกิดขึ้นระหว่างทางหรือไม่?

PS ฉันรู้ว่าประตูเป็นสิ่งที่จำเป็นไปพร้อม ๆ กันการคำนวณทั้งหมด n สิ่งนี้ตามมาจากขอบเขตล่างของขนาดของวงจรบูลีนโมโนโทนซึ่งเรียงลำดับอินพุต 0-1; ดูที่หน้า 158 ของหนังสือ Ingo Wegener ของ เครือข่าย AKS เรียงลำดับนอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าประตูมีเพียงพอในเรื่องนี้ (บูล) กรณี ที่จริงBaur และ Strassenได้พิสูจน์แน่นผูกพันกับขนาดของที่ไม่ใช่เสียงเดียววงจรทางคณิตศาสตร์สำหรับ n แต่วงจรทางคณิตศาสตร์แบบโมโนโทนล่ะ? $\Omega(n\log n)$ $S_1^n,\ldots,S_n^n$ $O(n\log n)$ $\Theta(n\log n)$ $S_{n/2}^n$

— Stasys
แหล่งที่มา

ความท้าทายหนึ่งคือถ้าคุณลบข้อ จำกัด "เสียงเดียว" เราจะรู้วิธีคำนวณสิ่งต่าง ๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณสามารถคำนวณค่าของทั้งหมด (ประเมินพหุนามแบบสมมาตรระดับประถมศึกษาทั้งหมดทั้งหมด) ในเวลาโดยใช้การคูณพหุนามแบบ FFT ดังนั้นการพิสูจน์ขอบเขตต่ำกว่าในวงจรแบบโมโนโทนจะต้องใช้การพิสูจน์ขอบเขตล่างในการคูณพหุนาม $S_0^n,\dots,S_n^n$ $n+1$ $O(n \log^2 n)$ $\Omega(nk)$ $\Omega(n^2)$

นี่คือวิธี แนะนำอย่างเป็นทางการที่ไม่รู้จักและพิจารณาพหุนาม $y$

P (y) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i} y) .

$P(y) = \prod_{i=1}^n (1 + x_i y).$

หมายเหตุว่าตั้งแต่ 's มีค่าคงที่รู้จักกันในชื่อนี้เป็นพหุนาม univariate กับที่ไม่รู้จักและมีการศึกษาระดับปริญญาnตอนนี้คุณสามารถทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ของในเป็นสิ่งเพื่อที่จะประเมินผลการศึกษาทั้งหมดก็พอเพียงที่จะคำนวณ(y) $x_i$ $y$ $n$ $y^k$ $P(y)$ $S_k^n$ $S_0^n,\dots,S_n^n$ $P(y)$

สิ่งนี้ทำให้เป็นไปได้ในการคำนวณในเวลา : สร้างต้นไม้ไบนารีที่สมดุลของพหุนามที่ประกอบด้วยที่ใบและคูณพหุนาม การคูณพหุนามสองระดับขององศาต้องใช้เวลาโดยใช้เทคนิค FFT ดังนั้นเราจึงได้รับการกำเริบของซึ่งแก้ให้เป็นn) เพื่อความสะดวกผมกำลังละเลยปัจจัย $P(y)$ $O(n \lg^2 n)$ $(1+x_i y)$ $d$ $O(d \lg d)$ $T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$ $T(n) = O(n \lg^2 n)$ $\text{poly}(\lg \lg n)$

หากคุณสนใจกรณีที่มีขนาดเล็กมากคุณสามารถคำนวณในเวลาโดยใช้เทคนิคที่คล้ายกันโดยคำนึงถึงว่าคุณสนใจ (กล่าวคือโยนทุกคำของหรือพลังที่สูงกว่าของ ) $k$ $S_0^n,\dots,S_k^n$ $O(n \lg^2 k)$ $P(x) \bmod y^{k+1}$ $y^{k+1}$ $y$

แน่นอนว่า FFT ใช้การลบดังนั้นจึงไร้เดียงสาในวงจรโมโนโทน ฉันไม่รู้ว่ามีวิธีอื่นในการเพิ่มจำนวนพหุนามอย่างมีประสิทธิภาพด้วยวงจรเลขคณิตแบบ monotone หรือไม่ แต่วิธี monotone ใด ๆ ที่มีประสิทธิภาพสำหรับการเพิ่มจำนวนแบบพหุนามจะนำไปสู่อัลกอริธึมสำหรับปัญหาของคุณเช่นกัน ดังนั้นขอบเขตที่ลดลงของปัญหาของคุณจำเป็นต้องมี / บ่งบอกถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการคูณพหุนาม

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

DW ขอบคุณที่จำการก่อสร้างนี้! มันมักจะมาจาก Ben-Or และฉันควรจะกล่าวถึงมัน การก่อสร้างยังให้ <i> สูตร </i> ของขนาดและความลึกเพียง (!) การคำนวณผู้ประกอบการ (โดยการประเมินที่บางคะแนน) สิ่งนี้ถูกใช้เพื่อแยกสูตรความลึกขนาดเล็กที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แต่อย่างที่คุณพูดถึงการก่อสร้างใช้การลบอย่างมาก ดังนั้นคำถามของฉันถาม: การใช้งานนี้ "จริง ๆ " เป็นอย่างไร นี่อาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจในสถานการณ์ที่มีความลึก จำกัด

O (n^{2})

$O(n^2)$

3

$3$

S_{0}^{n}, \dots, S_{n}^{n}

$S_0^n,\ldots,S_n^n$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

— Stasys

@ Stasys: ฉันคิดว่าการลบนั้นสำคัญมาก ได้แก่ Nisan-Wigderson ลดลงในวงจรความลึก 3 เนื้อเดียวกัน ; ในวงจรความลึกที่เป็นเนื้อเดียวกัน 3 จุดคือการที่มันไร้ประโยชน์ในการคำนวณคำที่มีองศาแตกต่างจากระดับของเอาท์พุท ดังนั้นสิ่งนี้ จำกัด ประเภทการยกเลิกที่สามารถเกิดขึ้นได้ ในขณะที่การก่อสร้างของ Ben-Or ในการคำนวณเราจำเป็นต้องคำนวณพหุนามขององศา (แม้ว่าเอาต์พุตจะมีระดับ ) จากนั้นจึงใช้การยกเลิกเพื่อกำจัดเงื่อนไขขององศา . นี่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ แต่เป็นเพียงสัญชาตญาณ ...

S_{k}^{n}

$S_k^n$

n

$n$

k < n

$k < n$

> k

$> k$

— Joshua Grochow

@Joshua: ใช่เรารู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในพหุนามจะตรงพหุนาม(x) แต่เราต้องการ Gauss (และการลบ) เพื่อแยกค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จากค่าของบนจุดที่แตกต่างกันคำถามของฉันถามว่า "คำเดียว" ไม่มี Gauss จริง ๆในกรณีนี้หรือไม่ (ด้วยคำตอบที่คาดเดา. - NO) ผมไม่แน่ใจว่านี้ก็พอที่จะกำจัดแง่ขององศาk เราต้องพบเหล่านี้สัมประสิทธิ์แรก

y

$y$

P (y, x)

$P(y,x)$

S_{k}^{n} (x)

$S_k^n(x)$

n + 1

$n+1$

P (y)

$P(y)$

n + 1

$n+1$

> k

$> k$

k

$k$

— Stasys