การเปลี่ยนเฟสในปัญหา NP-Complete เป็นอย่างไร

เป็นที่ทราบกันดีว่าปัญหา NP-complete หลายตัวแสดงการเปลี่ยนเฟส ฉันสนใจที่นี่ในช่วงการเปลี่ยนภาพด้วยความเคารพต่อการบรรจุในภาษามากกว่าความแข็งของอินพุทเทียบกับอัลกอริทึม

ในการทำให้แนวคิดไม่มีความชัดเจนให้เรานิยามอย่างเป็นทางการดังนี้ ภาษาแสดงการเปลี่ยนเฟส (ด้วยความเคารพต่อการกักกัน) ถ้า$L$

1. มีพารามิเตอร์คำสั่ง ซึ่งเป็นฟังก์ชันคำนวณเวลาแบบพหุนามซึ่งเป็นค่าที่แท้จริงของอินสแตนซ์$r(x)$

2. มีเป็นเกณฑ์ ทีมันอาจเป็นค่าคงที่จริงหรืออาจขึ้นอยู่กับ, ที่อยู่,(n)$t$$n=|x|$$t=t(n)$

3. สำหรับเกือบทุกกับเรามีL ( เกือบทุกวิธีที่นี่: ทั้งหมด แต่หายไปมากนั่นคือสัดส่วนเข้าใกล้ 1 ขณะที่ )$x$$r(x)<t$$x\in L$$n\rightarrow\infty$

4. สำหรับเกือบทุกกับเรามีL$x$$r(x)>t$$x\notin L$

5. สำหรับเกือบทุกก็ถือได้ว่าที (นั่นคือขอบเขตการเปลี่ยนผ่านคือ "แคบ")$x$$r(x)\neq t$

ปัญหา NP-complete ตามธรรมชาติหลายอย่างแสดงการเปลี่ยนเฟสในแง่นี้ ตัวอย่างคือตัวแปรมากมายของ SAT คุณสมบัติกราฟโมโนโทนปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด ต่างๆและอื่น ๆ อีกมากมาย

คำถาม:ข้อยกเว้น "ดี" ใดบ้าง มีปัญหา NP-สมบูรณ์ธรรมชาติซึ่ง (อาจ) ไม่ได้มีการเปลี่ยนเฟสในความหมายดังกล่าวข้างต้นหรือไม่

นักวิจัยผู้เชี่ยวชาญในพื้นที่นี้ยืนยันว่าการเปลี่ยนเฟสเป็นคุณสมบัติที่เป็นสากลของปัญหาที่สมบูรณ์ของ NPแม้ว่าจะยังไม่ได้กำหนด / พิสูจน์อย่างจริงจังและยังไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง / เผยแพร่ในสาขาที่มีขนาดใหญ่กว่า สาขาวิชา). มันเกือบจะเป็นการคาดเดาที่เปิด มีหลักฐานที่แข็งแกร่ง ไม่มีผู้สมัครที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของการเปลี่ยนเฟส ที่นี่มีสอง refs ที่สนับสนุน pov นี้:

• การเปลี่ยนเฟสในปัญหาที่เกิดขึ้นกับ NP: ความท้าทายสำหรับความน่าจะเป็น, combinatorics และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ / Moore

• พฤติกรรมการเปลี่ยนเฟส / วอลช์ (ppt)

นี่เป็นภาพร่างคร่าวๆของความจริงของการยืนยัน มันเกี่ยวข้องกับ P ที่มีอยู่ใน NP ที่สมบูรณ์ ปัญหา / ภาษาที่สมบูรณ์ของ NP จะต้องมีอินสแตนซ์ที่สามารถแก้ไขได้ในเวลา P และอื่น ๆ ที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล (หรืออย่างน้อย superpolynomial-) เวลาถ้า P ≠ NP แต่จะต้องมีวิธีในการ "จัดกลุ่ม" อินสแตนซ์ P จากอินสแตนซ์ "ไม่ใช่ P" เสมอ ดังนั้นจะต้องมี "เกณฑ์การเปลี่ยนแปลง" ระหว่าง P และ non-P เสมอ ในระยะสั้นอาจเป็นปรากฏการณ์นี้คู่กับ P ≠ NP!

อีกข้อโต้แย้งคร่าวๆ: ปัญหาที่สมบูรณ์ของ NP ทั้งหมดสามารถใช้แทนกันได้ผ่านการลด หากพบว่ามีการเปลี่ยนเฟสในเฟสเดียวจะต้องพบเฟสทั้งหมด

มีหลักฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้เมื่อเร็ว ๆ นี้ (~ 2010) มันแสดงให้เห็นว่าช่วงการเปลี่ยนภาพปรากฏขึ้นสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าในวงจรโมโนโทนสำหรับการตรวจจับกลุ่มบนกราฟแบบสุ่ม

• ความซับซ้อนของกรณีโดยเฉลี่ยในการตรวจจับ cliques / Rossman

การเปิดเผยอย่างเต็มรูปแบบ: Moshe Vardi ได้ศึกษาการเปลี่ยนเฟสโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน SAT และมีมุมมองที่ขัดแย้งกันมากขึ้นในการพูดคุย / วิดีโอนี้

• การเปลี่ยนเฟสและความซับซ้อนในการคำนวณ

ใช้กราฟเช่นกราฟซึ่งเป็นกราฟได้รับการแต่งตั้งอย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่มจากคอลเลกชันของกราฟทั้งหมดที่มีnโหนดและม. edges.This ชนิดของกราฟได้คาดว่า edges- ($G_{n,m}$$n$$m$ม. การเปลี่ยนแปลงขั้นตอนสำหรับกราฟสุ่มGn,ม.กราฟไม่ยากในการหารอบแฮมิลตัน กระดาษเป็นhttp://arxiv.org/pdf/1105.5443.pdf การเปลี่ยนสถานะในบทความนี้ไม่ได้นิยามไว้ข้างต้น แต่พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างปัญหาวัฏจักรฮามิลตันอย่างหนักกับความเป็นกรดและความไม่เป็นพิษ$\binom{n}{2}$$m$$G_{n,m}$

C การระบายสีของกราฟปกติ D มีชุดของการเปลี่ยนแบบไม่ต่อเนื่องไม่แบ่งเฟสโดยเฉพาะยกเว้นคุณยืด

นี่คือตารางผลการระบายสีที่ฉันจะส่งถึง SAT17 โปรดทราบว่า 3 สีของกราฟปกติ 6 รายการนั้นเป็นไปไม่ได้ยกเว้นบางตัวอย่าง ในทำนองเดียวกัน 4 สีของกราฟระดับสิบ ... C3D5N180 กราฟยากเล็กน้อย โกลเด้นพ้อยท์ C4D9 นั้นอยู่ที่ C4D9N180 เท่านั้น กราฟ C4D9 เป็น 4cnfs ที่ยากที่สุดตามขนาดที่ฉันได้พบดังนั้น C4D9 จึงถือว่าเป็น "จุดแข็ง" จุดทอง C5D16 คาดเดาว่ามีอยู่จริง แต่จะอยู่ในจุดที่ยากตั้งแต่ 5 สีถึง 6 สี

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

สูตรระบายสีมีตัวแปร lgC ต่อจุดสุดยอดสำหรับตัวแปร lgC * N ทั้งหมด ขอบมีข้อความสี C สำหรับคำสั่งทั้งหมด C * M มีข้อเพิ่มเติมสองสามข้อต่อจุดสุดยอดในการตัดสีพิเศษ คะแนนทองคำเป็น N ที่เล็กที่สุดที่: C colorability ในกราฟองศา D ที่มีจุดยอด N เกือบจะเป็นที่น่าพอใจโดยมีความน่าจะเป็นใกล้กับ 1 เพื่อความน่าจะเป็นสูง สำหรับสูงมาก N * N นั้นพอใจ สำหรับ Super High อินสแตนซ์แบบสุ่ม N * N * N นั้นน่าพอใจ

คะแนนสีทองน่าจะสูง (1 - 1 / N) คือ:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

จุดสีทองที่น่าจะเป็นสูง (1 - 1 / (N * N)) คือ:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

แต้มสีทองสูงมาก (1 - 1 / (N * N * N))

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72 C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

อินสแตนซ์สุ่มทั้งหมดในการศึกษามีความพึงพอใจ คะแนนความน่าจะเป็นเชิงเส้นจะตรวจสอบสูตรที่น่าพอใจหลายร้อยรายการ คะแนนความน่าจะเป็นกำลังสองกำลังตรวจสอบสูตรที่น่าพอใจนับหมื่นรายการ คะแนนความน่าจะเป็นแบบลูกบาศก์จะตรวจสอบสูตรที่น่าพอใจหลายแสนรายการ จุด C4D9 และ C5D13 นั้นยาก จุด C5D16 ถูกคาดเดาว่ามีอยู่ อินสแตนซ์สุ่มสิบห้าสิบหก colorable colorable จะพิสูจน์การคาดเดา