คุณสมบัติที่ปิดเล็กน้อยที่แสดงออกมาอย่างชัดเจนของ MSO

ด้านล่างนี้ MSO หมายถึงตรรกะลำดับที่สองแบบ monadic ของกราฟที่มีการหาค่าจุดสุดยอดชุดและการตั้งค่าขอบ

ให้เป็นกราฟตระกูลที่ปิดเล็กน้อย มันดังมาจากโรเบิร์ตและมัวร์ทฤษฎีเล็กน้อยกราฟที่เป็นลักษณะรายการ จำกัดของผู้เยาว์ต้องห้าม กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับกราฟแต่ละรายการเรามีนั้นเป็นของถ้าหากไม่รวมกราฟทั้งหมดในฐานะผู้เยาว์ $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}$ $H_1,H_2,...,H_k$ $G$ $G$ $\mathcal{F}$ $G$ $H_i$

เป็นผลมาจากความเป็นจริงนี้เรามีสูตร MSO ที่เป็นจริงในกราฟและถ้าหาก Fยกตัวอย่างเช่นกราฟระนาบมีลักษณะโดยไม่มีกราฟและเป็นผู้เยาว์และดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเขียนสูตร MSO อย่างชัดเจนในลักษณะกราฟระนาบ $\varphi_{\mathcal{F}}$ $G$ $G\in \mathcal{F}$ $K_{3,3}$ $K_5$

ปัญหาคือว่าสำหรับคุณสมบัติกราฟปิดเล็กน้อยดีหลายรายการของผู้เยาว์ต้องห้ามไม่เป็นที่รู้จัก ดังนั้นในขณะที่เรารู้ว่ามีสูตร MSO ที่ระบุว่ามีกราฟตระกูลอยู่ แต่เราอาจไม่รู้ว่าสูตรนี้คืออะไร

ในอีกทางหนึ่งอาจเป็นกรณีที่เราสามารถสร้างสูตรที่ชัดเจนสำหรับคุณสมบัติที่กำหนดโดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีบทรองของกราฟ คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้นี้

คำถามที่ 1:มีเล็ก ๆ น้อย ๆ ในครอบครัวปิดของกราฟเช่นว่าชุดของผู้เยาว์ต้องห้ามไม่เป็นที่รู้จัก แต่บางสูตร MSO พัฒนาการชุดของกราฟที่เป็นที่รู้จักกัน? $\mathcal{F}$ $\varphi$

คำถามที่ 2: บางอย่างชัดเจน MSO สูตรที่รู้จักกันในลักษณะบางส่วนของคุณสมบัติดังต่อไปนี้หรือไม่? $\varphi$

ประเภท 1 (กราฟฝังอยู่ในพรู) (ดูแก้ไขด้านล่าง)
ประเภท k สำหรับค่าคงที่ (ดูแก้ไขด้านล่าง) $k>1$
k-outerplanarity สำหรับค่าคงที่ $k> 1$

ฉันจะขอบคุณอ้างอิงหรือความคิดในเรื่องนี้ โปรดพิจารณาคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ปิดเล็กน้อยรายการที่ระบุด้านบนเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น

Obs: โดยชัดแจ้งฉันไม่ได้หมายความว่าจำเป็นต้องมีขนาดเล็ก มันก็เพียงพอที่จะให้อาร์กิวเมนต์ที่ชัดเจนหรืออัลกอริทึมที่แสดงวิธีการสร้างสูตรที่แสดงคุณสมบัติที่กำหนด ในทำนองเดียวกันในบริบทของคำถามนี้ฉันคิดว่าครอบครัวของผู้เยาว์ต้องห้ามเป็นที่รู้จักถ้ามีการกำหนดอัลกอริทึมที่ชัดเจนในการสร้างครอบครัวนั้น

แก้ไข:ฉันพบกระดาษโดย Adler, Kreutzer, Groheซึ่งสร้างกราฟการอธิบายลักษณะสูตรของสกุลโดยมีพื้นฐานจากสูตรการแสดงลักษณะกราฟของสกุล k-1 ดังนั้นบทความนี้ตอบคำถามสองข้อแรกในทางกลับกันคำตอบนี้ไม่ได้ตอบคำถามที่ 1 เพราะมีอัลกอริทึมที่สร้างขึ้นสำหรับแต่ละ k ครอบครัวของผู้เยาว์ต้องห้ามที่แสดงกราฟของประเภท k (ดูหัวข้อ 4.2) ดังนั้นครอบครัวนี้ "รู้จัก" ในแง่ของคำถาม $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
แหล่งที่มา

คลาสย่อยที่ต้องห้ามใด ๆ สามารถแสดงได้โดยการห้าม subgraphs จำนวนไม่ จำกัด สำหรับผู้เยาว์ที่ต้องห้ามหลายคนอย่างไม่ จำกัด คุณจึงถามว่า: มีคลาสกราฟที่ปิดเล็กน้อยหรือไม่ที่คำจำกัดความ MSO แบบไม่สิ้นสุดที่มีอยู่โดยปริยายที่หนึ่งต่อหนึ่งจะห้ามแต่ละ subgraphs จำนวนมากเหล่านี้อย่างไม่สิ้นสุดสามารถถูกแทนที่ด้วยสูตร MSO ที่ จำกัด (ที่เรารู้อย่างชัดเจน) การคาดเดาของ Hadwiger มีรูปแบบนี้สำหรับแต่ละ

เนื่องจาก

สีสามารถแสดงได้โดยสูตร MSO ที่แน่นอน หากการคาดคะเนเป็นความจริงแสดงว่ากราฟเหล่านี้เป็นกราฟที่ปราศจาก

-minor แต่จะเปิดขึ้น

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

K_{k}

$K_k$

— András Salamon

ฉันคิดว่าการฝังตัวบนพรูสามารถแสดงได้อย่างชัดเจนว่า“ กราฟสามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนในระนาบ” หรืออะไรทำนองนั้นและคล้ายกับสกุลที่สูงกว่า

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ Emil ฉันพบกระดาษที่สร้างกราฟการระบุลักษณะสูตรของพืชสกุล k โดยมีพื้นฐานจากกราฟแสดงลักษณะสูตรของสกุล k-1 นี่ไม่ตอบคำถามของฉันในทางกลับกัน ดูการแก้ไข

— Mateus de Oliveira Oliveira

@ AndrásSalamon - มันง่ายที่จะแสดงผู้เยาว์ต้องห้ามในการแสดงออก MSO ที่ชัดเจนและแน่นอน ปัญหาคือเราไม่จำเป็นต้องรู้ว่าจะห้ามผู้เยาว์คนใด

— David Eppstein

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

ϕ_{k} =

$\phi_k =$

(k - 1)

$(k-1)$

ฉันมีคำตอบที่เกี่ยวข้องกับกราฟเอเพ็กซ์แต่มันล้มเหลวในคำจำกัดความของการไม่มีชุดการอุดกั้นที่ชัดเจนที่กำหนดในคำถามนี้: มีอัลกอริทึมที่เผยแพร่สำหรับการค้นหาชุดการอุดตันแม้ว่าจะช้าเกินไปที่จะเรียกใช้ สิ่งที่กำหนดอุปสรรคคือ

$F$ $k\ge 1$ $G$ $k$ $F$ $G$

$k$ $G$ $F$ $_2$

$G$
$(i,j)$ $0\le i,j<k$ $G$ $i$ $j$
$G$
$F$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

เดวิดถ้าฉันไม่ได้พลาดอะไร Adler-Kreutzer-Grohe-2008 ได้ให้อัลกอริทึมที่คำนวณคุณสมบัติย่อยที่แยกออกไปสำหรับ appex-C โดยที่คุณให้การป้อนค่าตัวอักษรเล็กน้อยสำหรับคลาส C แต่อัลกอริทึมนี้อาจไม่มีประสิทธิภาพเกินไป . ฉันคิดว่า Addler หวังว่ารายชื่อผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้นสำหรับ appex-PLANAR นั้นเล็กและดังนั้นเธอจึงขอรายการที่ชัดเจนเพราะมันซับซ้อนเกินไปที่จะสร้างมันขึ้นมาโดยใช้อัลกอริธึม ฉันสนใจในคุณสมบัติที่รู้จักสูตร MSO แต่ไม่มีอัลกอริทึมสำหรับการสร้างผู้เยาว์ที่เป็นที่รู้จัก

— Mateus de Oliveira Oliveira

เป็นจริงหรือไม่สำหรับคลาส C ที่ปิดตัวน้อยที่คลาสของกราฟที่มีหน้าปกใน C นั้นปิดเล็กน้อย

— เดนิส

ใช่. ดูประโยคในคำตอบของฉันเกี่ยวกับ "และมันปิดเล็กน้อยเพราะ ... "

— David Eppstein

ขอบคุณสำหรับคำตอบใหม่ ฉันไม่เห็นว่าคำตอบถูกแก้ไขจนกระทั่งตอนนี้

— Mateus de Oliveira Oliveira