เคอร์เนลพหุนามสำหรับ

ปัญหา k-FLIP SAT กำหนดขอบเขตเป็น:

อินพุต:สูตร 3-CNF$\varphi$ กับ $n$ ตัวแปรและการมอบหมายความจริง $\sigma : [n] \to \{0,1\}$
พารามิเตอร์: $k$
คำถาม:เราสามารถเปลี่ยนงานที่มอบหมายได้ไหม$\sigma$ เป็นการมอบหมายให้ทำ satifying $\sigma'$ สำหรับ $\varphi$ พลิกค่าความจริงของที่มากที่สุด$k$ ตัวแปร?

ปัญหาชัดเจนใน FPT ( Stefan Szeider: ความซับซ้อนแบบ Parameterized ของการค้นหาในท้องถิ่นของ k-Flip สำหรับ SAT และ MAX SAT การปรับให้เหมาะสมแบบไม่ต่อเนื่อง 8 (1): 139-145 (2011 )

มันยอมรับเคอร์เนลพหุนามหรือไม่? (ภายใต้สมมติฐานความซับซ้อนที่สมเหตุสมผล)

เทคนิคการผสมข้ามที่ผ่านมา (ดูHans L. Bodlaender, Bart MP Jansen, Stefan Kratsch, "Kernelization Lower Bounds By Cross-Composition" ) ดูเหมือนไม่มีประโยชน์สำหรับปัญหานี้ และพวกเขาก็ดูเหมือนจะไม่ได้ประโยชน์สำหรับปัญหาที่คล้ายกันซึ่งถามว่าการแก้ปัญหาที่กำหนดให้กับปัญหา NP-hard สามารถพบได้จากอินสแตนซ์ที่กำหนดโดยการค้นหาในท้องถิ่น (จำกัด การค้นหาเพื่อนบ้านของอินสแตนซ์ที่กำหนด

ปัญหาไม่มีเคอร์เนลพหุนามยกเว้นว่า NP อยู่ใน coNP / poly เทคนิคการผสมข้ามภาพจากกระดาษของเรานำไปใช้ในทางที่ไม่น่าสนใจ

ให้ฉันแสดงให้เห็นว่าปัญหา Vertex Cover แบบคลาสสิค OR-cross-compils เป็นปัญหา k-FLIP-SAT; จากผลลัพธ์ในเอกสารที่อ้างถึงนี้ก็เพียงพอแล้ว เราสร้างอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่อินพุตเป็นลำดับของ Vertex Cover instance$(G_1,k), (G_2, k), \ldots, (G_t, k)$ ว่าทุกคนมีมูลค่าเท่ากัน $k$ และทุกคนมีอย่างแน่นอน $n$จุด ผลลัพธ์เป็นตัวอย่างของ$k$-FLIP SAT พร้อมค่าพารามิเตอร์ $O(k + \log t)$ซึ่งมีขนาดเล็กพอสำหรับการผสมข้ามเช่นนั้น $k$อินสแตนซ์ -FLIP SAT มีคำตอบใช่ถ้าหนึ่งในกราฟอินพุตมีขนาดหน้าปกของขนาด $k$. โดยการทำซ้ำอินพุตหนึ่งรายการ (ซึ่งไม่เปลี่ยนค่าของ OR) เราสามารถมั่นใจได้ว่าจำนวนอินพุต$t$ เป็นพลังของทั้งสอง

องค์ประกอบดังต่อไปนี้ กำหนดจำนวนจุดยอดในกราฟกราฟอินพุตแต่ละอัน$G_i$ เช่น $v_{i,1}, v_{i,2}, \ldots, v_{i,n}$. สร้างตัวแปรที่เกี่ยวข้องในอินสแตนซ์ของ FLIP-SAT สำหรับแต่ละจุดยอดของกราฟอินพุตแต่ละอัน นอกจากนี้ให้สร้างตัวแปรตัวเลือก$u_i$ สำหรับแต่ละอินสแตนซ์ของหมายเลขอินพุท $i \in [t]$. สำหรับกราฟอินพุตแต่ละอัน$G_i$เราเพิ่มส่วนคำสั่งลงในสูตร สำหรับแต่ละขอบ$\{v_{i,x}, v_{i,y}\}$ ของกราฟ $G_i$เพิ่มประโยค $(v_{i,x} \vee v_{i,y} \vee \neg u_i)$ เป็นสูตรซึ่งจะเข้ารหัส "หนึ่งในจุดสิ้นสุดของขอบนี้ถูกตั้งค่าเป็นจริงหรืออินสแตนซ์ $i$ ไม่ทำงาน "ในการกำหนดค่าเริ่มต้นตัวแปรจุดสุดยอดทั้งหมดจะถูกตั้งค่าเป็นเท็จและตัวแปรตัวเลือกทั้งหมด $u_i$ถูกตั้งค่าเป็นเท็จเพื่อให้อนุประโยคเหล่านี้พอใจทั้งหมด ในการสร้าง OR-behavior ลงในองค์ประกอบเราจะเพิ่มสูตรเพื่อให้แน่ใจว่าการมอบหมายที่น่าพอใจตั้งค่าตัวเลือกอย่างน้อยหนึ่งตัวเลือกเป็นจริงและจากนั้นจะต้องเป็นรูปหน้าปกของกราฟที่เลือก

เพื่อให้แน่ใจว่าเราสามารถทำการเลือกนี้ในขณะเดียวกันก็รักษาระยะห่างจากฝาพับให้เล็กลงเมื่อเทียบกับจำนวนอินพุต $t$เราใช้โครงสร้างของต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์ด้วย $t$ ใบซึ่งมีความสูง $\log t$. หมายเลขใบจาก$1$ ถึง $t$ และเชื่อมโยง $i$ใบไม้ที่มีตัวแปร $u_i$ ที่ควบคุมถ้าอินพุต $i$ทำงานหรือไม่ สร้างตัวแปรใหม่สำหรับแต่ละโหนดภายในของต้นไม้ไบนารี สำหรับแต่ละโหนดภายในปล่อยให้ตัวแปรที่เกี่ยวข้องเป็น$x$ และตัวแปรของลูกทั้งสองเป็น $y$ และ $z$. เพิ่มข้อ$(\neg x \vee y \vee z)$ สูตรที่รวบรวมความหมาย $(x \rightarrow (y \vee z))$บังคับใช้สิ่งนั้น $x$จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อลูกคนใดคนหนึ่งของเขาเป็นจริง เพื่อให้สูตรสมบูรณ์ให้เพิ่มประโยคเดี่ยวที่บอกว่าตัวแปรของโหนดรูทของต้นไม้ไบนารีต้องเป็นจริง ในการกำหนดความจริงเริ่มต้นค่าของตัวแปรทั้งหมดสำหรับโหนดภายในจะถูกตั้งค่าเป็นเท็จซึ่งเป็นไปตามคำสั่งทั้งหมดของสูตรยกเว้นสำหรับประโยคเดี่ยวที่ต้องการโหนดรูทของต้นไม้เพื่อให้มีตัวแปรเป็นจริง

นี่เป็นการอธิบายรายละเอียดของสูตรและการมอบหมายความจริงให้สมบูรณ์ ตั้งค่าพารามิเตอร์$k'$ ของปัญหา FLIP DISTANCE ให้เท่ากับ $(k + \log t + 1)$ซึ่งมีขอบเขตที่เหมาะสมสำหรับการผสมข้าม มันยังคงแสดงให้เห็นว่าเราสามารถพลิก$k'$ ตัวแปรที่จะทำให้สูตรเป็นจริงถ้ามีกราฟอินพุต $G_i$ มีหน้าปกของขนาด $k$.

ในทิศทางกลับกันสมมติว่า $G_i$ มีขนาด -$k$จุดสุดยอดปก ตั้งค่า$k$ ตัวแปรที่สอดคล้องกับ $k$จุดยอดในหน้าปกเป็นจริงด้วยการพลิก ตั้งค่าตัวแปรตัวเลือก$u_i$ เป็นจริงเพื่อเข้ารหัสอินพุตนั้น $i$ เปิดใช้งานและพลิกตัวแปรของ $\log t$ โหนดต้นไม้ไบนารีภายในบนเส้นทางของใบไม้ $i$ไปที่รูทของจริง มันง่ายที่จะตรวจสอบว่านี่เป็นการมอบหมายที่น่าพึงพอใจ: ผลกระทบในต้นไม้ไบนารีนั้นเป็นที่พอใจทั้งหมดค่าของรูตโหนดจะถูกตั้งค่าเป็นจริงส่วนคำสั่งที่ตรวจสอบขอบของ$G_{i'}$ สำหรับ $i' \neq i$ ยังคงพอใจเพราะ $u_{i'}$ ยังคงเป็นเท็จในขณะที่ข้อสำหรับกราฟ $G_i$ พอใจเพราะสำหรับทุก ๆ ขอบที่เราตั้งไว้อย่างน้อยหนึ่งจุดสิ้นสุดเป็นจริง

สำหรับทิศทางไปข้างหน้าสมมติว่าสูตรสามารถทำได้โดยการพลิกมากที่สุด $k + \log t + 1$ตัวแปร จากนั้นเราจะต้องพลิกตัวแปรของโหนดรูทเป็นจริง ความหมายในต้นไม้ไบนารีบังคับใช้อย่างน้อยหนึ่งตัวแปรตัวเลือกของใบไม้ถูกตั้งค่าเป็นจริงพูด$u_i$. เพื่อตอบสนองความหมายที่เข้ารหัสในต้นไม้ไบนารีโหนดภายในทั้งหมดบนเส้นทางจาก$u_i$ เพื่อรูทถูกตั้งค่าเป็นจริง, การบัญชีสำหรับ $1 + \log t$พลิก ตั้งแต่$u_i$ ถูกตั้งค่าเป็นจริงส่วนคำสั่งสำหรับกราฟ $G_i$ ไม่พอใจในตัวอักษร $\neg u_i$ดังนั้นพวกเขาจึงพอใจเพราะหนึ่งในจุดสิ้นสุดของแต่ละขอบของ $G_i$ถูกตั้งค่าเป็นจริง ตั้งแต่อย่างน้อย$1 + \log t$ ตัวแปรของต้นไม้ไบนารีถูกพลิกมากที่สุด $k$จุดสุดยอดตัวแปรจะพลิกเป็นจริงในการแก้ปัญหานี้ นี่เป็นการเข้ารหัสขนาดของจุดสุดยอด$k$ ใน $G_i$และพิสูจน์ว่าอินพุตหนึ่งเป็นอินสแตนซ์ YES นี่เป็นการพิสูจน์ที่สมบูรณ์