มีผลลัพธ์ในทฤษฎีการคำนวณที่ไม่สัมพันธ์กันหรือไม่?

ผมอ่านกระดาษ Andrej Bauer ของขั้นตอนแรกในการสังเคราะห์ computability ทฤษฎี ในบทสรุปเขาตั้งข้อสังเกตว่า

axiomatization ของเรามีขีด จำกัด : มันไม่สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ใด ๆ ในทฤษฎีการคำนวณที่ล้มเหลวในการทำให้สัมพันธ์กับการคำนวณแบบ oracle นี่เป็นเช่นนั้นเพราะทฤษฎีสามารถตีความได้ในรูปแบบของโทโพโลที่มีประสิทธิภาพซึ่งสร้างขึ้นจากฟังก์ชั่นวนซ้ำบางส่วนที่มีการเข้าถึงออราเคิล

สิ่งนี้ทำให้ฉันสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องในการคำนวณ ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ฉันรู้จากทฤษฎีการคำนวณนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณด้วยออราเคิล

มีผลลัพธ์ในทฤษฎีการคำนวณที่ไม่สัมพันธ์กันหรือไม่? นั่นคือผลลัพธ์ที่มีไว้สำหรับการคำนวณ แต่ไม่ถือเพื่อการคำนวณที่สัมพันธ์กับ oracle บางอย่าง?

จากผลลัพธ์ฉันหมายถึงทฤษฎีบทที่รู้จักในทฤษฎีความสามารถในการคำนวณ หากความคิดเกี่ยวกับการสัมพัทธภาพไม่เหมาะสมกับผลลัพธ์แสดงว่ามันไม่ใช่สิ่งที่ฉันกำลังมองหา

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าผลลัพธ์สามารถระบุในภาษาของทฤษฎีการคำนวณสังเคราะห์หรือไม่

computability relativization

— ไม่ระบุชื่อ
แหล่งที่มา

ทุกคนรู้เกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องในทฤษฎีความซับซ้อนเช่น IP = PSPACE ฉันกำลังถามเกี่ยวกับการที่ไม่ relativizing คำนวณ resuts ทฤษฎีไม่ ซับซ้อนผลทฤษฎี

— ไม่ระบุชื่อ

@Erfan: ความคิดเห็นของคุณไม่เกี่ยวข้องกับคำถาม คำถามของฉันเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณคุณกำลังพูดถึงทฤษฎีความซับซ้อน ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ที่ไม่สัมพันธ์กันอีกครั้งทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลานั้นสัมพันธ์กัน หากคุณมีคำถามเกี่ยวกับทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาและความสัมพันธ์อีกครั้งคุณสามารถโพสต์คำถามแยกต่างหาก

— ไม่ระบุชื่อ

สิ่งที่เกี่ยวข้อง: การคาดเดาความเป็นเนื้อเดียวกันที่สูตรโดย H. Rogers ได้รับการข้องแวะใน Richard A. Shore; เนื้อเดียวกันการคาดเดา (1979): มีอยู่ในระดับทัวริงดังกล่าวว่า

ไม่ isomorphic ไป

(โครงสร้างของทัวริงองศากับการสั่งซื้อบางส่วน

) ดูคำถามที่คล้ายกันใน lo.logic

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio De Biasi

คำถามที่ดี :-)

— Andrej Bauer

@Marzio: น่าสนใจ " นี่หมายความว่ามีประโยคคำสั่งแรกในภาษาที่มีเท่านั้นซึ่งเป็นจริงเกี่ยวกับองศาทัวริง แต่เป็นเท็จถ้าคุณสัมพันธ์ประโยคกับองศาทัวริงสำหรับ (และแน่นอน การทำงานในองศาทัวริงเทียบเท่ากับการทำให้เครื่องทัวริงทั้งหมดเข้าถึงเป็น oracle) ดังนั้นการพิสูจน์ว่าเป็นความจริงไม่สามารถสัมพันธ์กับได้ $\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$ "แต่

ไม่ได้เป็นผลลัพธ์ในการคำนวณ ทฤษฎีมันปรุงขึ้นสำหรับทฤษฎีบทเมตาดาต้า

φ

$\varphi$

— ไม่ระบุชื่อ

คำตอบ:

ทฤษฎีบทการฝังของฮิกแมน: กลุ่มที่นำเสนอการคำนวณได้อย่างแม่นยำเป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างประณีตของกลุ่มที่นำเสนออย่างประณีต นอกจากนี้ทุกกลุ่มที่นำเสนอที่คำนวณได้ (แม้แต่ที่สร้างขึ้นนับได้) เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มที่นำเสนออย่างประณีต

โปรดทราบว่าคำสั่งนี้อาจเกี่ยวข้องกับ: "กลุ่มนำเสนอได้อย่างแม่นยำ(มีบาง oracle ) เป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างแม่นยำของกลุ่มที่นำเสนอ finitely" แต่มันไม่เป็นหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับไม่มีใครโต้แย้งมี - กลุ่มที่นำเสนอได้อย่างน่าเชื่อถือที่ไม่นำเสนอคอมพิวเตอร์ $O$ $O$ $O$ $O$

อันที่จริงผมคิดว่าใด ๆที่ไม่ใช่ relativizing ผลของทฤษฎีการคำนวณจะต้องมีบางสิ่งบางอย่างของรสชาตินี้เป็นบางส่วนของผลหรือหลักฐานที่จะต้องอย่างใด "เล็บลง" การคำนวณที่แท้จริงจากการคำนวณที่มี oracle Oในกรณีนี้มันเป็นข้อ จำกัด ที่ตอกย้ำ "การคำนวณจริง" โปรดทราบว่าตามที่ Scott Aaronson ขอให้ผลลัพธ์นี้ไม่เปลี่ยนแปลงรูปแบบการคำนวณปกติใด ๆ (เครื่องทัวริง RAM ฯลฯ ) แต่ไม่สัมพันธ์ (อีกครั้งเพราะรูปแบบปกติของการคำนวณแบบ "จริง" ทั้งหมดแบ่งปันบางส่วน "คุณสมบัติความละเอียด" ทั่วไป) $O$

ในทางตรงกันข้ามเราอาจโต้แย้งว่า "ไม่นับ" สำหรับคำถามนี้เนื่องจากคล้ายกับคำจำกัดความของการคำนวณโดยใช้กลุ่มมากกว่าที่เป็น "ผลลัพธ์ของทฤษฎีการคำนวณ" ในอีกทางหนึ่งมันเป็นคำจำกัดความของความสามารถในการคำนวณที่มีความทนทานต่อโมเดล แต่ยังไม่สัมพันธ์กัน (ในทางตรงข้ามกับการพูดฟังก์ชั่นการคำนวณของ Kleeneซึ่งสัมพันธ์กันได้ง่าย ๆ เพียงแค่เพิ่มฟังก์ชั่นพิเศษของ oracle ของคุณไปยังชุดฟังก์ชั่นการสร้างดูเหมือนว่าจะไม่มีการดำเนินการที่คล้ายคลึงกันสำหรับกลุ่มต่างๆ

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

มันเป็นข้อ จำกัด (เทียบกับอินฟินิตี้) ที่แยกตัวอย่างของคุณหรือนับได้ (เทียบกับความไม่สามารถนับได้)?

— András Salamon

ขอโทษความเขลาของฉัน แต่ชุดทฤษฎีบทของฮิกแมนคืออะไร? เช่นได้รับกลุ่มที่นำเสนอได้เราสามารถคำนวณกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างมีขอบเขตที่มีมันได้หรือไม่?

— Andrej Bauer

Ooops โปรดแทนที่ "สร้างโดยละเอียด" โดย "นำเสนออย่างละเอียด" ในคำถามของฉัน นั่นเป็นข้อผิดพลาดเล็กน้อย สิ่งที่ฉันสงสัยเกี่ยวกับคือว่าเราสามารถแทนที่ "นำเสนออย่างประณีต" ด้วยบางสิ่งบางอย่างที่กว้างขึ้น

— Andrej Bauer

@AndrewMorgan: ฉันเห็นด้วยกับการเริ่มต้นของการโต้แย้งของคุณ แต่ไม่เห็นด้วยกับข้อสรุปของคุณ มันมักจะมีประโยชน์มากที่

คือ

สมบูรณ์ ฉันไม่คิดว่า relativization ของ Cook-Levin เหมือนที่ผิดธรรมชาติทั้งหมด ... ฉันชอบคำแนะนำของ Andrej มากและเราจะคิดเกี่ยวกับมัน ...

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

— Joshua Grochow

@AndrewMorgan: เห็นด้วย ฉันคิดว่าประเภทเงื่อนจะเป็นผู้สมัครที่ดี :)

— Joshua Grochow

นี่คือสิ่งที่ฉันมักจะสงสัยเช่นกัน!

ถ้าโดย "ผลลัพธ์ในทฤษฎีการคำนวณ" คุณหมายถึงผลลัพธ์ที่ไม่แปรผันตามการเลือกรุ่นของเครื่องจักร (เครื่องทัวริงเครื่องแรม ฯลฯ ) จากนั้นฉันก็ไม่รู้ตัวอย่างของผลลัพธ์เช่นนั้นและฉัน จะจำได้แน่นอนถ้าฉันเคยเห็น

คำแนะนำที่ใกล้เคียงที่สุดที่ฉันสามารถแนะนำคือฉันคิดว่ามีคำถามที่น่าสนใจมากมายในทฤษฎีการคำนวณที่อาจขึ้นอยู่กับรุ่นของเครื่อง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน Busy Beaver มีคำจำกัดความตามปกติในแง่ของเครื่องทัวริงซึ่งมักจะเป็นคี่ คุณค่าของ BB (20) เป็นอิสระจาก ZFC หรือไม่ ไม่ว่าคำตอบของคำถามเหล่านี้จะเป็นเช่นไรพวกเขาอาจจะแตกต่างกันไปสำหรับการเปรียบเทียบความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน BB

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่ไม่สำคัญ: พิจารณาปัญหาการหยุดชะงักของเครื่องจักรทัวริงที่ถูกห้ามโดยเฉพาะ (โดยคำจำกัดความของรูปแบบการคำนวณ) จากการเข้าถึง oracle มันเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ทั้งแบบไม่มีคำพยากรณ์และแบบพยากรณ์เล็ก ๆ น้อย ๆ และยังเป็นแบบที่สามารถนำมาเปรียบเทียบได้กับแบบพยากรณ์สำหรับปัญหาการหยุดชะงัก (ปัญหานั้นไม่ได้เปลี่ยนไปเมื่อเทียบกับ oracle เพราะมันไม่สามารถเข้าถึง oracle ได้ แต่ TM (ไม่ จำกัด ) ที่ตัดสินใจว่าปัญหาจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นเมื่อใช้ oracle)

มีตัวอย่างอื่น ๆ อีกมากมายเช่นกัน เพียงเล่นกับโมเดลการคำนวณเพียงเล็กน้อยและคุณสามารถค้นหาผลลัพธ์อื่นที่คล้ายคลึงกันได้

— ฟิลิปไวท์
แหล่งที่มา

แค่อยากรู้อยากเห็น: คำตอบนี้ผิดปกติอะไร? บางทีผู้ลงคะแนนไม่เชื่อว่าเป็นไปได้ที่จะห้ามไม่ให้เครื่องทัวริงเข้าถึง oracle และต้องการคำอธิบายเพิ่มเติมในเรื่องนี้?

— ฟิลิปไวท์

ดูเหมือนว่าคำจำกัดความไม่ถูกต้องของการให้ความสัมพันธ์กับเครื่องจะมี oracle แต่ก็ไม่อนุญาตให้ใช้ oracle

— David Eppstein

ที่น่าสนใจแม้ว่าไม่ใช่สิ่งที่ฉันกำลังมองหา ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักในทฤษฎีการคำนวณที่ไม่สัมพันธ์กันไม่ใช่ข้อโต้แย้งว่าจะปรุงผลดังกล่าวอย่างไร

— ไม่ระบุชื่อ

ให้พิจารณาข้อความต่อไปนี้: H (ปัญหาการหยุดทำงานของเครื่องจักรทัวริงที่ไม่มี oracles) ไม่สามารถคำนวณได้ ในทางกลับกัน H สามารถคำนวณได้เทียบกับ oracle ปัญหาการหยุดชะงัก แม้ว่าเราจะถือว่าสิ่งนี้เป็นวิธีหนึ่งในการสร้างความสัมพันธ์กับแถลงการณ์ แต่มันก็ไม่ใช่สิ่งที่น่าสนใจ อาจมีวิธีที่คล้ายกันในการนำเสนอข้อความใด ๆ ที่ทำให้เป็นเท็จ ความสัมพันธ์ไม่ได้เป็นเพียงแค่การแนบ oracle ไปยังที่อื่น ความสัมพันธ์เป็นเรื่องที่น่าสนใจเมื่อมันรักษาคลาสของการขัดแย้งที่น่าสนใจดังนั้นถ้าคำสั่งไม่สัมพันธ์กับเราเรารู้ว่าคลาสของการขัดแย้งไม่สามารถพิสูจน์คำพูดได้

— Kaveh

ใช้วิธีการ relativization ใน BGS เป็นเรื่องที่น่าสนใจเพราะมันยังคงรักษาข้อโต้แย้งในแนวทแยงง่ายดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถชำระ P กับ NP ได้ หากการจัดทำสัมพัทธภาพไม่ได้รักษาข้อโต้แย้งดังกล่าวก็น่าจะไม่ใช่วิธีที่น่าสนใจในการจัดทำข้อความสั่ง ความสัมพันธ์ที่ดีควรสานต่อข้อโต้แย้งที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดและผลลัพธ์ที่ได้รับการพิสูจน์มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

— Kaveh