คลาสของกราฟที่มีความกังวลยิ่งยวด

มีกราฟที่น่าสนใจหลายประเภทที่มีความกังวลแบบ จำกัด ขอบเขต ตัวอย่างเช่นต้นไม้ (treewidth 1), กราฟแบบขนานอนุกรม (treewidth 2), กราฟ outerplanar (treewidth 2), -outerplanar กราฟ (treewidth O (k)), กราฟของ branchwidth k (treewidth O (k)), .. .$k$$k$

คำถาม:มีตัวอย่างของคลาสที่น่าสนใจของกราฟที่ความน่าเชื่อถือไม่ จำกัด โดยค่าคงที่ แต่มีฟังก์ชั่นการเติบโตต่ำหรือไม่?

1. มีคลาสกราฟที่รู้จักกันดีกับ treewidth หรือไม่?$O(\log\log n)$
2. มีคลาสกราฟที่รู้จักกันดีกับ treewidth หรือไม่?$O(\log n)$

ฉันยังอยากจะมีความสนใจในชั้นเรียนของกราฟกับ treewidth หรือO ( เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ. . . n )ที่ลอการิทึมซ้ำแล้วซ้ำอีกเป็นจำนวนคงที่ของเวลา$O(\log^k n)$$O(\log\log...n)$

Obs:แน่นอนว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะปรุงกราฟครอบครัวประดิษฐ์ด้วยความกังวลใจที่กำหนดเหมือนครอบครัวของ$\;O(\log n)\times n\;$กริด ดังนั้นในขั้นต้นฉันกำลังมองหาครอบครัวของกราฟที่ได้รับการศึกษาในสาขาอื่น ๆ ของทฤษฎีกราฟและที่เกิดขึ้นกับหรือO ( log log n )แต่ไม่ใช่ความคงที่ที่แน่นอน$O(\log n)$$O(\log\log n)$

ผมเชื่อว่ากราฟสากลสำหรับต้นไม้สร้างโดยจุงและเกรแฮม 1983มี treewidth ) หรือสำหรับตัวอย่างที่เรียบง่ายกว่าเล็กน้อย แต่มีลักษณะคล้ายกันให้พิจารณาการปิดจุดรวมของต้นไม้ไบนารีที่สมดุล$\Theta(\log n)$

อย่างไรก็ตามมีผลลัพธ์ด้านลบที่นี่เช่นกัน ตัวอย่างทั้งหมดที่คุณให้กับครอบครัวกราฟที่น่าสนใจนั้นมีการปิดเล็กน้อยหรือเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตระกูลที่มีการปิดเล็กน้อย แต่ตระกูลกราฟที่ปิดเล็กน้อยจะมีกราฟระนาบทั้งหมด (และด้วยเหตุนี้จึงมีความกังวลสูงสุด) หรือมีระนาบที่ต้องห้ามเล็ก ๆ น้อย ๆ (และด้วยเหตุนี้จึงมีความกังวลมาก)$\Theta(\sqrt n)$