วงจรเลขคณิตอ่อนแอกว่าบูลีนหรือไม่?

ให้แสดงขนาดต่ำสุดของ (ที่ไม่ใช่เสียงเดียว) คณิตศาสตร์วงจรคอมพิวเตอร์ที่กำหนดพหุนาม multilinear $A(f)$ $(+,\times,-)$ และแสดงขนาดต่ำสุดของ (ที่ไม่ใช่เสียงเดียว) บูลวงจรคอมพิวเตอร์รุ่นบูลของกำหนดโดย:

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{e \in E} c_{e} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{e_{i}},

$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$

B (f)

$B(f)$

(\lor, \land, \neg)

$(\lor,\land,\neg)$

f_{b}

$f_b$

f

$f$

f_{b} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \underset{e \in E}{⋁} \underset{i : e_{i} \neq 0}{⋀} x_{i} .

$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$

ชื่อพหุนามซึ่งเล็กกว่าหรือไม่ $f$ $B(f)$ $A(f)$

ถ้าเราพิจารณาเดียวรุ่นของวงจร - ไม่ลบและไม่มีการไม่ได้ประตู - แล้วสามารถแม้จะชี้แจงขนาดเล็กกว่า : ใช้ตัวอย่างเช่นเส้นทางที่สั้นที่สุด ST พหุนามบน ; ดังนั้นและ $(-)$ $(\neg)$ $B(f)$ $A(f)$ $f$ $K_n$ $B(f)=O(n^3)$ . แต่จะเกิดอะไรขึ้นใน "โลกที่ไม่ใช่เสียงเดียว"? แน่นอนใหญ่ช่องว่างไม่สามารถเป็นที่รู้จักเพียงเพราะเราไม่ได้มีขอบเขตที่ต่ำกว่าขนาดใหญ่บน)แต่บางทีอาจมีช่องว่างเล็ก ๆ $A(f)=2^{\Omega(n)}$ $A(f)$

หมายเหตุ (2016/03/15) ในคำถามของฉันฉันจะไม่ได้ระบุว่าค่าสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่

ที่ได้รับอนุญาต อิกอร์ Sergeev จำฉันว่าตัวอย่างดังต่อไปนี้ (univariate) พหุนาม

มี

(Strassen และผู้คนของเขา กลุ่ม). แต่

สำหรับพหุนามนี้ตั้งแต่

c_{e}

$c_e$

f (z) = \sum_{j = 1}^{m} 2^{2^{j m}} z^{j}

$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$

A (f) = Ω (m^{1 / 2})

$A(f)=\Omega(m^{1/2})$

B (f) = 0

$B(f)=0$

เราสามารถได้รับ Fron

หลายตัวแปรพหุนาม

ของ

ตัวแปรที่ใช้ใช้ Kronecker เปลี่ยนตัว เชื่อมโยงกับเลขชี้กำลังทุก

monomial

, โดยที่

f_{b} (z) = z

$f_b(z)=z$

f

$f$

f^{'} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f'(x_1,\ldots,x_n)$

n = \log m

$n=\log m$

j

$j$

X_{j} = \prod_{i : a_{i} = 1} x_{i}

$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$

(a_{1}, \dots, a_{n})

$(a_1,\ldots,a_n)$ เป็น 0-1 ค่าสัมประสิทธิ์ของฐานเป็นตัวแทนของเจ

จากนั้นที่ต้องการพหุนามมี

และเรามีที่

แต่เวอร์ชันบูลีนของ

เป็นเพียงตัวแปรหรือดังนั้น

j

$j$

f^{'} = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} X_{j}

$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$

A (f^{'}) + n \geq A (f) = Ω (m^{1 / 2}) = 2^{Ω (n)} .

$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$

f^{'}

$f'$

และเรามีช่องว่างเลขชี้กำลัง ดังนั้นถ้าขนาดของสัมประสิทธิ์สามารถเป็นเลขชี้กำลังสามเท่าในจำนวน

ของตัวแปรดังนั้นช่องว่าง

สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นเลขชี้กำลัง (อันที่จริงไม่ใช่ขนาดตัวเอง - ยิ่งพึ่งพาพีชคณิตของสัมประสิทธิ์) นี่คือเหตุผลที่ปัญหาที่แท้จริงกับ

เป็นกรณีของสัมประสิทธิ์ขนาดเล็ก(นึกคิดเพียง 0-1) แต่ในกรณีนี้เมื่อโจชัวจำได้ขอบเขตที่ต่ำกว่า

B (f^{'}) \leq n - 1

$B(f')\leq n-1$

n

$n$

A (f) / B (f)

$A(f)/B(f)$

A (f)

$A(f)$

ของ Strassen และ Baur (ด้วยสัมประสิทธิ์ 0-1) ยังคงเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่เรามีในปัจจุบัน

A (f) = Ω (n \log n)

$A(f)=\Omega(n\log n)$

— Stasys
แหล่งที่มา

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$ $\sum_{i=1}^n x_i^n$ $\Omega(n \log n)$ $x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

สวัสดีโจชัว: คุณพูดถูกเป็นตัวอย่างถาวร (แม้ว่าเงื่อนไข)! ทีนี้เราไม่ทราบขอบเขตล่างของ A (f) สำหรับการถาวร แต่ถ้า VP และ VNP ที่ไม่มีค่าคงที่แตกต่างกันเราก็รู้ว่าการแยก B (f) กับ A (f) โดยไม่ทราบถึงขอบเขต (จริง)

— Stasys

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

ที่ Joshua: ถูกต้องจุดดีอีกครั้ง ถ้า f คือผลรวมของพลัง n-th ของตัวแปร n ทั้งหมดดังนั้น B (f) คือ n มากที่สุดและ Baur-Strassen แสดง A (f) เป็นอย่างน้อยประมาณ n คูณลอการิทึมของ n นี่เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ A (f) ดังนั้นช่องว่างที่ชัดเจนที่รู้จักมากที่สุดสำหรับคำถามของฉันเป็นเพียงลอการิทึมเท่านั้น (คำถามกัน: คุณรู้หรือไม่ว่าทำไม @ ของฉันหายไปในความคิดเห็นเสมอ?)

— Stasys

@Stasys: ตัวอย่างที่ดี (Re: กันฉันไม่ฉันคิดว่าระบบจะทำการอนุมานอัตโนมัติว่าใครเป็น "at-ed" และหากคุณกำลังนำข้อความไปที่ "คนเริ่มต้น" มันจะลบออกฉันคิดว่า .)

— Joshua Grochow

ขวา. ผู้เขียนโพสต์จะได้รับแจ้งความคิดเห็นใหม่เสมอดังนั้นระบบจะลบการแจ้งเตือน @ ที่ชัดเจนออกมาซ้ำซ้อน

— Emil Jeřábek