ตัวอย่างของการแยกตัวที่ประสบความสำเร็จจาก BPP ถึง P

อะไรคือตัวอย่างที่สำคัญของการทำให้กระจัดกระจายที่ประสบความสำเร็จหรืออย่างน้อยก็มีความคืบหน้าในการแสดงหลักฐานที่เป็นรูปธรรมต่อเป้าหมาย (ไม่ใช่การเชื่อมต่อแบบสุ่มความแข็ง)$P=BPP$

ตัวอย่างเดียวที่อยู่ในใจของฉันคือ AKS การทดสอบพหุนามเวลาแบบพหุนามกำหนด ดังนั้นเราจึงมีหลักฐานที่เฉพาะเจาะจงผ่านตัวอย่างสำหรับการทำให้เป็นแบบสุ่ม (ไม่ใช่ความแข็งหรือการเชื่อมต่อแบบ oracle) อีก?

โปรดเก็บตัวอย่างไว้เฉพาะที่แสดงการปรับปรุงความซับซ้อนของเวลาจากโพลีแบบสุ่มไปยังโพลีแบบกำหนดค่าหรือบางสิ่งที่ใกล้เคียงกับปัญหาเฉพาะอย่างมาก

การติดตามมีความคิดเห็นเพิ่มเติมและฉันไม่รู้มากว่าจะช่วยให้แบบสอบถามนี้

Chazelle มีคำแถลงที่น่าสนใจมากในhttp://www.cs.princeton.edu/~chazelle/linernotes.htmlภายใต้ 'The The Discrepancy Method: Randomness and Complexity (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2000)'

'มันเป็นที่มาของความหลงใหลไม่รู้จบสำหรับฉันว่าความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับการคำนวณแบบกำหนดค่าควรใช้ความชำนาญในการสุ่ม ฉันเขียนหนังสือเล่มนี้เพื่ออธิบายการเชื่อมต่อที่ทรงพลังนี้ ตั้งแต่ต้นไม้ที่ทอดยาวไปจนถึงการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นไปจนถึงการคำนวณแบบสามเหลี่ยมด้านเท่า Delaunay อัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด วิธีการที่ไม่เหมือนกันทำให้เด่นในหนึ่งคำถามที่มีผลมากที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์ทั้งหมด: ถ้าคุณคิดว่าคุณต้องการบิตสุ่มกรุณาบอกเราว่าทำไม '

L$SL = L$

ย่อมาจาก logspace แบบสุ่มและ R L = Lเป็นรุ่นเล็กของปัญหา R P = P หินก้าวที่สำคัญคือการพิสูจน์ของ Reingold ใน '04 ("การเชื่อมต่อ ST แบบไม่ได้บอกทิศทางใน Logspace") ที่ S L $RL$$RL=L$$RP=P$ที่ Sย่อมาจาก "สมมาตร" และ S Lเป็นชั้นกลางระหว่าง R LและL$SL = L$$S$$SL$$RL$$L$

แนวความคิดคือคุณสามารถนึกถึงทัวริงของพื้นที่ทำงานแบบทัวริงเครื่องเป็นกราฟกำกับขนาดโพลิโนเมียลที่โหนดเป็นสถานะของเครื่องและอัลกอริทึม RL ใช้เวลาเดินแบบสุ่มที่มีคุณสมบัติที่ดี SL สอดคล้องกับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางของแบบฟอร์มนี้ การพิสูจน์ของ Reingold สร้างขึ้นจากการทำงานบนกราฟที่ขยายได้โดยเฉพาะ Reingold, Vadhan และ "ผลิตภัณฑ์ซิกแซก" ของ Wigderson เพื่อใช้การสุ่มเดินบนกราฟที่ไม่มีการบอกทิศทางด้วยคุณสมบัติที่ดี

แก้ไขคำถามนี้ถูกโพสต์ก่อนที่คำถามจะเปลี่ยนอย่างชัดเจนเพื่อมุ่งเน้นเฉพาะใน P vs BPP ... ฉันปล่อยให้มันเพราะมันน่าสนใจ

โดยทั่วไปมีเพียงปัญหาเดียวที่น่าสนใจใน BPP ที่ไม่ทราบว่าอยู่ใน P: การทดสอบเอกลักษณ์โพลิโนเมียลเนื่องจากวงจรพีชคณิตเป็นพหุนามที่สร้างเป็นศูนย์ขึ้นมาเหมือนกัน Impagliazzo และ Kabanetsแสดงให้เห็นว่า PIT ใน P จะบ่งบอกถึงขอบเขตของวงจรที่ต่ำกว่า ดังนั้นขอบเขตที่ต่ำกว่าของวงจรเป็นเหตุผลเดียว (แต่เป็นสิ่งที่ดีงาม) ที่เราเชื่อว่า P = BPP

นอกจากการทดสอบเอกลักษณ์พหุนามแล้วปัญหาที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งที่ทราบกันว่าอยู่ใน BPP แต่ไม่ใช่ใน P เป็นการประมาณค่าถาวรของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบหรือแม้แต่จำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟ มีอัลกอริทึมแบบสุ่มเวลาโพลีเพื่อประมาณตัวเลขเหล่านี้ภายในปัจจัย (1 + eps) ในขณะที่อัลกอริทึมที่ดีที่สุดกำหนดให้บรรลุเพียง ~ 2 ^ n ปัจจัยการประมาณ

ในขณะที่ถาวรเป็นตัวอย่างหลักมีปัญหาการนับจำนวนโดยประมาณซึ่งมีช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างอัลกอริธึมแบบสุ่ม (โดยทั่วไปจะใช้วิธีการ 'MCMC') และ Algoritms ที่กำหนดขึ้น

ปัญหาอีกประการหนึ่งในหลอดเลือดดำที่คล้ายกันคือการประมาณปริมาตรของร่างกายนูนที่ได้รับอย่างชัดเจน (พูดรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายโดยชุดของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น)