วิธีการตรวจสอบว่าการพิสูจน์ต้องใช้ "เทคนิคการให้เหตุผลที่สูงกว่าการสั่งซื้อ"?

คำถาม:

สมมติว่าฉันมีสเปคของปัญหาซึ่งประกอบด้วยสัจพจน์และเป้าหมาย (เช่นปัญหาการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องคือว่าเป้าหมายนั้นเป็นที่น่าพอใจหรือไม่หากมีสัจพจน์ทั้งหมด) ให้เราสมมติว่าปัญหาไม่ได้มีความไม่สอดคล้อง / ความขัดแย้งใด ๆ ในสัจพจน์ มีวิธีการตรวจสอบล่วงหน้า (เช่นโดยไม่ต้องสร้างหลักฐานเต็มรูปแบบครั้งแรก) ที่พิสูจน์ปัญหาจะต้องมี "เหตุผลการสั่งซื้อที่สูงขึ้น"?

โดย "เหตุผลการสั่งซื้อที่สูงขึ้น" ฉันหมายถึงการใช้ขั้นตอนการพิสูจน์ที่ต้องใช้ตรรกะลำดับสูงกว่าที่จะเขียนลง ตัวอย่างทั่วไปสำหรับ "เหตุผลที่สูงกว่าคำสั่งซื้อ" จะเป็นการเหนี่ยวนำ: การเขียนแผนการเหนี่ยวนำในหลักการต้องใช้ตรรกะการสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ตัวอย่าง:

หนึ่งสามารถระบุปัญหาการพิสูจน์ "การบวกเลขสองตัวเป็นธรรมชาติได้หรือไม่" ใช้ตรรกะลำดับแรก (เช่นกำหนดจำนวนธรรมชาติผ่านคอนสตรัคเตอร์ศูนย์ / ซัคพร้อมกับสัจพจน์มาตรฐานพร้อมกับสัจพจน์ที่กำหนดฟังก์ชัน "บวก" ซ้ำ ๆ ) การพิสูจน์ปัญหานี้ต้องการการเหนี่ยวนำในโครงสร้างของอาร์กิวเมนต์แรกหรืออาร์กิวเมนต์ที่สองของ "บวก" (ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่แน่นอนของ "บวก") ฉันจะรู้เรื่องนี้ก่อนที่จะพยายามพิสูจน์เช่นการวิเคราะห์ลักษณะของปัญหาการป้อนข้อมูล ... (แน่นอนว่านี่เป็นเพียงตัวอย่างง่าย ๆ สำหรับวัตถุประสงค์ในการประกอบภาพ - ในความเป็นจริงสิ่งนี้น่าสนใจสำหรับปัญหาการพิสูจน์ที่ยากกว่าการสับเปลี่ยนของบวก)

บริบทเพิ่มเติมบางส่วน:

ในการวิจัยของฉันฉันมักพยายามใช้ทฤษฎีลำดับขั้นตอนแรกโดยอัตโนมัติเช่น Vampire, eprover และอื่น ๆ เพื่อแก้ปัญหาการพิสูจน์ (หรือบางส่วนของปัญหาการพิสูจน์) ซึ่งบางอย่างอาจต้องใช้เหตุผลในการสั่งซื้อที่สูงขึ้น บ่อยครั้งที่ผู้พิสูจน์ต้องใช้เวลาค่อนข้างนานในการพิสูจน์ (หากมีหลักฐานซึ่งต้องใช้เทคนิคการให้เหตุผลลำดับแรกเท่านั้น) แน่นอนว่าการพยายามใช้ทฤษฎีบทอันดับหนึ่งกับปัญหาที่ต้องใช้เหตุผลในการสั่งซื้อที่สูงกว่ามักจะทำให้หมดเวลา

ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่ามีวิธีการ / เทคนิคใดบ้างที่สามารถบอกฉันล่วงหน้าว่าปัญหาการพิสูจน์จะต้องใช้เทคนิคการให้เหตุผลที่มีลำดับสูงกว่าหรือไม่ (หมายถึง "อย่าเสียเวลาพยายามส่งมันให้กับนักทฤษฎีลำดับแรก" ) หรืออย่างน้อยก็อาจมีปัญหาอินพุตเฉพาะ

ฉันดูในวรรณคดีเพื่อหาคำตอบสำหรับคำถามของฉันและถามเพื่อนนักวิจัยบางคนจากส่วนของทฤษฎีบทที่พิสูจน์เรื่องนั้น - แต่จนถึงตอนนี้ฉันยังไม่ได้รับคำตอบที่ดีเลย ความคาดหวังของฉันจะเป็นไปได้ว่ามีงานวิจัยบางอย่างเกี่ยวกับหัวข้อนั้นจากคนที่พยายามรวมทฤษฎีการโต้ตอบและการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ (ชุมชน Coq ชุมชน Isabelle (Sledgehammer)?) - แต่จนถึงตอนนี้ฉันไม่พบอะไรเลย

ฉันเดาว่าโดยทั่วไปแล้วปัญหาที่ฉันระบุไว้ที่นี่ไม่สามารถตัดสินใจได้ (คืออะไร) แต่อาจมีคำตอบที่ดีสำหรับปัญหาที่ได้รับการขัดเกลา ... ?

automated-theorem-proving program-verification

— ซิลเวีย Grewe
แหล่งที่มา

สิ่งที่คุณถามคือการตัดสินใจว่าสูตรที่กำหนดสามารถพิสูจน์ได้ (ในระบบที่อ่อนแอของคุณ) ซึ่งโดยทั่วไปไม่สามารถตัดสินใจได้แม้แต่ทฤษฎีง่าย ๆ เช่น Q. แต่การพิสูจน์นั้นไม่มีประโยชน์จริง ๆ เพราะทฤษฎีที่แข็งแรงกว่าสามารถพิสูจน์หลักฐานของทฤษฎี จำนวนมาก การตัดสินใจว่าทฤษฎีบทมีบทพิสูจน์สั้น ๆ คือสมบูรณ์ ฉันสงสัยว่ามีการแก้ปัญหาที่ดี

— Kaveh

Peano เลขคณิตมีการเหนี่ยวนำและ Peano เลขคณิตเป็นลำดับแรก (เช่นปริมาณเฉพาะบุคคล) เหมือนกันสำหรับ ZFC เพื่ออ้าง Martin Davis: "logics ลำดับสูงกว่าเป็นเพียงสายพันธุ์สัญกรณ์ของทฤษฎีเซตอย่างเป็นทางการในตรรกะอันดับแรกคำถามของการใช้ formalisms ลำดับสูงกว่าในการพิสูจน์ทฤษฎีบททางกลเป็นเพียงเรื่องของการแนะนำแบบแผนหรือไม่ อัลกอริทึมที่มีประโยชน์ "

— Martin Berger

@MartinBerger ฉันคิดว่าเพื่อจุดประสงค์ของคำถามนี้รูปแบบความจริงนับเป็น "เทคนิคการใช้เหตุผลการสั่งซื้อที่สูงขึ้น"

— fread2281

@ fread2281 การระวังคำศัพท์จะเป็นประโยชน์อย่างมาก มีทฤษฎีเซตที่มี axiomatisation ที่ จำกัด (เช่น Neumann-Bernays – Gödel set theory ซึ่งเป็นส่วนขยายอนุรักษ์นิยมของ ZFC) ในทางตรงกันข้ามสัจพจน์ของสัจพจน์ของ ZFC ไม่สามารถแสดงออกได้ด้วยจำนวนสัจพจน์อัน จำกัด ฉันคิดว่าแต่ฉันไม่แน่ใจในขณะนี้ว่าโครงร่างความจริงไม่ต้องการพลังเต็มของทฤษฎีเซตหรือตรรกะลำดับสูงกว่า

— Martin Berger

สั้น ๆ ทุกทฤษฎีบทที่ระบุไว้ในตรรกะลำดับที่หนึ่งมีหลักฐานการสั่งซื้อครั้งแรก

ในหนังสือของเขาที่ชื่อว่า "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และทฤษฎีประเภท" ปีเตอร์แอนดรูว์บีพัฒนาทั้งตรรกะอันดับหนึ่งและระบบของตรรกะลำดับสูงกว่า Q ₀ซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของผู้พิสูจน์ลำดับสูงที่ทันสมัย . (ดูคำแนะนำเกี่ยวกับตรรกะ HOL เป็นต้น)

สำหรับคำถามที่₀และระบบที่คล้ายกันแอนดรูว์แสดงให้เห็นว่าคำสั่งที่สูงกว่าที่เขาอธิบายนั้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นส่วนขยายที่อนุรักษ์นิยมของตรรกะลำดับแรกและเขียน (ฉบับที่สองหน้า 259) ว่า "โดยสรุปแล้ว ทฤษฎีประเภทมีการพิสูจน์ลำดับแรก "

ด้วยความกังวลในทางปฏิบัติของคุณฉันขอเสนอย่อหน้าต่อไปนี้:

"อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทของตรรกะอันดับหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุดโดยใช้แนวคิดที่สามารถแสดงได้เฉพาะในตรรกะที่สูงกว่าเท่านั้นตัวอย่างอาจพบได้ใน [Andrews and Bishop, 1996] และ [Boolos, 1998, ตอนที่ 25] . Statman พิสูจน์ [Statman, 1978, Proposition 6.3.5] ว่าความยาวน้อยที่สุดของการพิสูจน์ในตรรกะลำดับแรกของ wff ของตรรกะลำดับแรกอาจนานกว่าความยาวน้อยที่สุดของการพิสูจน์ wff เดียวกันใน ตรรกะอันดับสองผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องโดย Godel [Godel, 1936] คือโดยทั่วไปแล้วการส่งต่อตรรกะของลำดับสูงกว่าถัดไปจะมีผลไม่เพียง แต่ทำให้ข้อเสนอบางอย่างที่พิสูจน์ได้ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ก่อนหน้านี้ มันเป็นไปได้ที่จะลดจำนวนหลักฐานที่มีอยู่จำนวนมากโดยไม่ จำกัด จำนวนหลักฐานที่มีอยู่ทั้งหมดสามารถพบได้ใน [Buss,1994]."

— คริสพี
แหล่งที่มา