เหตุใดเราจึงพิจารณา log-space เป็นแบบจำลองการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ (แทน polylog-space)

นี่อาจเป็นคำถามแบบอัตนัยมากกว่าคำถามเดียวที่มีคำตอบที่เป็นรูปธรรม แต่อย่างไรก็ตาม

ในทฤษฎีความซับซ้อนเราศึกษาแนวคิดของการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ มีชั้นเรียนเหมือนย่อมาจากเวลาพหุนามและย่อมาจากพื้นที่การบันทึก พวกเขาทั้งสองได้รับการพิจารณาว่าเป็น "ประสิทธิภาพ" และพวกเขาก็จับความยากลำบากของปัญหาบางอย่างได้ดี$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

แต่มีความแตกต่างระหว่างและ : ในขณะที่เวลาพหุนาม,ถูกกำหนดให้เป็นสหภาพของปัญหาที่ทำงานในเวลาสำหรับการคงที่ใด ๆ , นั่นคือ,L P O ( n k ) $\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$ ,

พื้นที่บันทึกถูกกำหนดให้เป็นบันทึก]} ถ้าเราเลียนแบบนิยามของมันจะกลายเป็นS P A C E [ บันทึกn ] $\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$ ,

ที่เรียกว่าระดับของพื้นที่ polylog คำถามของฉันคือ:$\mathsf{PolyL}$

เหตุใดเราจึงใช้พื้นที่บันทึกเป็นแนวคิดของการคำนวณที่มีประสิทธิภาพแทนที่จะเป็นพื้นที่ polylog

ปัญหาหลักอย่างหนึ่งอาจเกี่ยวกับชุดปัญหาทั้งหมด ภายใต้ logspace การลดลงหลายรายการทั้งและมีปัญหาที่สมบูรณ์ ในทางตรงกันข้ามถ้ามีปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้การลดลงดังกล่าวเราจะขัดแย้งกับทฤษฎีลำดับชั้นของอวกาศ แต่ถ้าเราย้ายไปที่การลด polylog เราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าวได้หรือไม่? โดยทั่วไปถ้าเราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อให้พอดีกับในความคิดเรื่องประสิทธิภาพและ (ถ้าจำเป็น) ปรับเปลี่ยนคำจำกัดความบางอย่างเพื่อให้ได้คุณสมบัติที่ดีทุกอย่างในระดับ "ดี" ควรจะไปได้ไกลแค่ไหน?L P o L Y L P o L Y $\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

มีเหตุผลทางทฤษฎีและ / หรือการปฏิบัติสำหรับการใช้พื้นที่บันทึกแทนพื้นที่ polylog หรือไม่?

คลาสที่เล็กที่สุดที่มีเวลาเชิงเส้นและปิดภายใต้รูทีนย่อยคือ P คลาสที่เล็กที่สุดที่มีพื้นที่บันทึกและปิดภายใต้รูทีนย่อยยังคงเป็นพื้นที่บันทึก ดังนั้น P และ L จึงเป็นคลาสที่เล็กที่สุดสำหรับเวลาและสถานที่ตามลำดับซึ่งเป็นเหตุผลที่พวกเขารู้สึกว่าถูกต้องสำหรับการสร้างแบบจำลองการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ

ปัญหาอย่างหนึ่งก็คือว่ามันเป็นที่รู้จักว่า{P} นั่นเป็นการฆ่าความคิดอย่างมีประสิทธิภาพ ในบันทึกอื่นพิจารณาว่าจุดตัดของภาษาที่รับรู้โดยออโตมาต้าไม่ว่างเปล่าคือ -completeภายใต้การลดพื้นที่ว่าง[มีเหตุมีผล-Rossmanith] อาจมีปัญหาบางอย่างที่คล้ายกันสำหรับ polylog-space ที่กำหนดไว้บันทึกk - 1 ( n $\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

classได้รับการศึกษาในอดีต [คุก]พิสูจน์ให้เห็นว่า{} เท่าที่สังเกตจากปั้นจั่น Stolee คลาสนี้เป็นที่รู้จักกันในขณะนี้เป็นและได้รับการทั่วไปที่จะ k รายละเอียดเพิ่มเติมที่นี่$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$SC 2 SC $\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

พื้นที่บันทึกรับประกันเวลาพหุนามเนื่องจากมีมากที่สุดการกำหนดค่าของเครื่องทัวริงพื้นที่ล็อกที่กำหนด ปัญหาที่สมบูรณ์ของการเข้าถึงที่ไม่ได้ทำการเชื่อมต่อโดยตรงและการเข้าถึงที่ได้รับการกำหนดทิศทางโดยตรง (สำหรับ L และ NL ตามลำดับ) นั้นเป็นเรื่องที่ "ดี" เป็นอย่างมาก$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

โปรดทราบว่านิยามของ PolyL ยังช่วยให้ PolyL = NPolyL โดยทฤษฎีบทของ Savitch ตั้งแต่n]$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

เมื่อคำนึงถึงพื้นที่ว่างของ polylog งานได้ถูกดำเนินการเพื่อพิจารณา polylog-space ด้วยเวลาพหุนามพร้อมกันโดยให้ลำดับชั้น SC:kn] $\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

ฉันคิดว่าคำตอบอื่น ๆ นั้นดีมาก ฉันจะพยายามให้มุมมองที่แตกต่างเกี่ยวกับปัญหา

ฉันไม่รู้ว่าโมเดล P มีประสิทธิภาพในการคำนวณในโลกแห่งความเป็นจริงอย่างไร แต่เราชอบคลาสเพราะคุณสมบัติการปิดที่ดีและเหตุผลทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ในทำนองเดียวกัน L ยังเป็นคลาสที่ดีเนื่องจากเหตุผลบางประการดังกล่าว

อย่างไรก็ตามตามที่คุณแสดงความคิดเห็นหากเราผ่อนคลายความหมายของคำว่า "มีประสิทธิภาพ" เป็นเวลากึ่งโพลิโนเมียลแล้ว PolyL ก็มีประสิทธิภาพเช่นกัน เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อนที่เราอนุญาตให้คลาสที่กำหนดด้วยลอการิทึมที่ผูกไว้กับทรัพยากรบางอย่างเพื่อใช้ทรัพยากร polylog แทน ตามลําดับเราจะคลายคําจํากัดความของเราของ NC, NL และอื่น ๆ เพื่ออนุญาตให้ใช้วงจรขนาดเสมือน - พหุนามแทน ถ้าเราทำเช่นนี้ NC ₁ , L, NL และ NC ทั้งหมดตรงกับคลาส PolyL ในแง่นี้ PolyL เป็นคลาสที่มีความทนทานเนื่องจากคลาสธรรมชาติจำนวนมากตรงกับมัน สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อนที่มี log -> polylog และ polynomial -> quasi-polynomial ให้ดู คลาสของวงจรขนาด Quasipolynomialโดย Barrington

อีกเหตุผลหนึ่งในการศึกษา polyL หรือคลาสที่คล้ายกันเช่น quasi-AC ₀คือในขณะที่การแยก oracle ระหว่าง (พูด) ParityP และ PH บ่งบอกว่า PARITY ไม่ได้อยู่ใน AC ₀แต่ความจริงกลับไม่เป็นจริง ในทางกลับกัน PARITY ไม่ได้อยู่ใน quasi-AC ₀ถ้าหากมีการแยก oracle ระหว่าง ParityP และ PH ในทำนองเดียวกันคลาส quasi-TC ₀และ quasi-AC ₀จะแตกต่างกันถ้าหากมีการแยก oracle ระหว่าง CH และ PH ดังนั้นคลาสที่มีความซับซ้อนเช่น PH, ModPH, CH เป็นต้นเมื่อลดขนาดลงโดยเลขชี้กำลังเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ของ oracle จะกลายเป็น quasi-polynomial เวอร์ชันของคลาสปกติ AC ₀ , ACC ₀และ TC₀ตามลำดับ ในทำนองเดียวกันการโต้แย้งที่ใช้ในทฤษฎีบทโทดะ (PH อยู่ในพี^พีพี ) สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่ากึ่ง AC ₀อยู่ในความลึก 3 กึ่ง TC 0 (ฉันไม่ทราบว่าข้อสรุปเดียวกันเป็นที่รู้จักสำหรับรุ่นปกติของชั้นเรียนเหล่านี้หรือไม่ฉันเคยเห็นรายการนี้เป็นปัญหาเปิดในบางบทความ)