บิตที่สำคัญที่สุดของการคูณจำนวนเต็มและไดอะแกรมการตัดสินใจแบบไบนารี

ให้และy ที่สองเลขฐานสองกับnบิตและZ = x ⋅ Yเลขฐานสอง (ความยาว2 n ) ของผลิตภัณฑ์ของxและy ที่ เราต้องการที่จะคำนวณ siginifcant บิตมากที่สุดZ 2 n - 1ของผลิตภัณฑ์Z = Z 2 n - 1 ... Z 0$x$$y$$n$$z = x \cdot y\ $$2n$$x$$y$$z_{2n-1}$$z = z_{2n-1} \ldots z_0$

เพื่อวิเคราะห์ความซับซ้อนของฟังก์ชั่นนี้ในรูปแบบของแผนภาพการตัดสินใจไบนารี (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอ่านครั้งเดียวแตกแขนงโปรแกรม) ผมพยายามที่จะมองหาการแสดงออกเทียบเท่าบางอย่างสำหรับกรณี 1 สิ่งแรกที่ชัดเจนคือz 2 n - 1 = 1 ⇔ x ⋅ y ≥ 2 2 n - 1 (ที่นี่xและyเป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับเลขฐานสอง) ฉันอยากได้สัญชาตญาณว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันตั้งค่าอินพุตบิตคงที่ เช่นถ้าฉันตั้งบิตที่สำคัญที่สุดจาก$z_{2n-1} = 1$$z_{2n-1} = 1 \Leftrightarrow x \cdot y \geq 2^{2n-1}$$x$$y$และ yถึง 0 ฉันได้รับฟังก์ชั่นคงที่ 0 แต่บิตที่มีนัยสำคัญต่ำกว่านั้นก็ไม่ได้มีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ดังกล่าว$x$$y$

มีนิพจน์ที่เทียบเท่าอื่น ๆ สำหรับเคสซึ่งช่วยได้มากขึ้นในการดูว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันแก้ไขบิตอินพุตบางส่วน? มีวิธีการกลั่นกรองเพื่อคำนวณผลิตภัณฑ์ของเลขฐานสองสองตัวที่สามารถช่วยได้หรือไม่? หรือคุณมีวิธีอื่นในการแก้ไขปัญหานี้?$z_{2n-1} = 1$

แหล่งที่น่าสนใจคือ DE Knuth: ศิลปะแห่งการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์, เล่ม 4, Fascicle 1, Tricks & เทคนิค Bitwise; ไดอะแกรมการตัดสินใจแบบไบนารี , Addison-Wesley, Pearson Education 2009

บนหน้า 96 มี BDD สำหรับบิตทั้งหมดของ z = x⋅yซึ่ง x และ y มี 3 บิต มันแสดงให้เห็นว่าในกรณีของ 3 บิต BDD แทนบิตที่สำคัญที่สุดมี 7 โหนดที่ไม่ใช่ขั้ว เห็นภาพตะโกนฉันได้วาดใหม่โดยใช้ดัชนีของคุณ x = (x2, x1, x0) และ y = (y2, y1, y0)

ในหน้า 140 ในหนังสือของ Knuth มีคำถาม (หมายเลข 183) เกี่ยวกับ BDD ที่เป็นตัวแทนบิตที่สำคัญที่สุดสำหรับการคูณจำนวนสองจำนวนที่มีจำนวนบิตมากมาย (เรียกว่า "การ จำกัด ฟังก์ชันบิตนำ") - นี่คล้ายกับสิ่งที่คุณ กำลังสำลัก! คำตอบในหน้า 223 ให้ระดับแรกของผลลัพธ์ BDD และกล่าวถึงจำนวนของโหนดในทุกระดับ แต่โชคไม่ดีที่มันไม่ได้ให้อัลกอริทึมในการสร้าง BDD ดังกล่าว

รูปที่ 1: บิตที่สำคัญที่สุดสำหรับการคูณของ (x2, x1, x0) * (y2, y1, y0)