ความซับซ้อนของการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมด

ให้ G เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกัน

ความซับซ้อนของการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมดคืออะไรหาก G เป็นประเภทต่อไปนี้

G เป็นเรื่องทั่วไป

G คือภาพถ่าย

G เป็นสองฝ่าย

ฉันไม่สนใจเกี่ยวกับโครงสร้างหรือ ... เพียงแค่ต้องนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมด! ฉันยังสนใจในความซับซ้อนของการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทั้งหมดด้วยโหนด k อย่างแน่นอนใน G

ยินดีต้อนรับสู่ตัวชี้ไปยังเอกสารและหนังสือ!

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— marjoonjan
แหล่งที่มา

คุณทราบหรือไม่ว่ารายการในคำถามนั้นมีรูปแบบไม่ถูกต้อง? meta.cstheory.stackexchange.com/questions/300/… หากคุณไม่สนใจการฟอร์แมตนั่นถือว่าใช้ได้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามีใครต้องการใช้เวลาในการตอบคำถามของคุณเมื่อคุณไม่ต้องการใช้เวลาในการจัดรูปแบบคำถามของคุณอย่างถูกต้องหรือไม่ (ฉันไม่ได้บอกว่าฉันรู้คำตอบ)

— Tsuyoshi Ito

นอกจากนี้คุณสนใจเกี่ยวกับการแจกแจงกราฟย่อยที่เชื่อมโยงขนาด / คำสั่ง / โครงสร้าง / ... โดยพลการหรือคุณต้องการให้มันขยายออก

— Anthony Labarre

ดูเหมือนจะทำงานเกี่ยวกับการเชื่อมต่อนับทอด subgraphs หน้า 32 ของ "multivariate Tutte Polynomial" ของ Sokal เชื่อมโยงพหุนาม subgraph กับความน่าเชื่อถือพหุนามซึ่งมีวรรณคดีขนาดใหญ่

— Yaroslav Bulatov

ฉันขอโทษคำตอบก่อนหน้าของฉันในการใช้ทฤษฎีบทของ Kirchhoff ผิด ฉันคิดเกี่ยวกับข้อโต้แย้งการยกเว้นแบบรวม แต่อาจเป็นไปไม่ได้

— didest

บทความนี้ไม่ตรงกับที่คุณขอ แต่บทความและเอกสารอ้างอิงอาจช่วยในการพัฒนาแนวคิดบางอย่าง

— MS Dousti

คำตอบ:

เวลส์ระบุว่าปัญหา # P-complete แม้ในกรณีที่ถูก จำกัด มากที่สุด (นับจำนวนกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกันของกราฟสองส่วนที่มีระนาบ) ดูที่ด้านล่างของหน้า 305ในภาษาเวลส์โดมินิก (1997), "การนับโดยประมาณ", การสำรวจใน Combinatorics , Bailey, RA, ed. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, หน้า 287–324

ในบริบทฉันสงสัยว่าเขาหมายถึงกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกันจริงๆหรือไม่ และนั่นทำให้ฉันสงสัยว่าคุณต้องการแก้ไขปัญหาเวอร์ชันใด: การเชื่อมต่อ subgraphs ที่ครอบคลุม, subgraphs ที่เชื่อมต่อที่ไม่จำเป็นต้องถูกขยายออกไป, หรือ subgraphs ที่เหนี่ยวนำ

— David Eppstein
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบของดาวิด โดยไม่ต้องอ่านหนังสือเล่มนั้น แต่ฉันเดาว่าปัญหานับรวมกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกันอยู่เพราะนี่คือจุด x = 1 y = 2 ของพหุนาม Tutte และผู้เขียนสนใจในเรื่องนั้น แต่ในความเป็นจริงฉันคิดว่าปัญหาทั้งสามนั้นลดลงได้ง่ายมากจากการนับปัญหา subgraph ที่เชื่อมต่อซึ่งเชื่อมโยงกัน การลดลงต่อไปนี้ควรใช้กับการนับที่แน่นอนหรือการประมาณแม้ว่าฉันคิดว่าปัญหาของการประมาณยังคงเปิดอยู่

การนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อซึ่งลดขนาดไปจนถึงการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อ (ร่าง): ใช้กราฟ G ที่เราต้องการนับกราฟย่อยที่ครอบคลุม แนบกับแต่ละจุดสุดยอด หากเลือกให้มีขนาดใหญ่พอกราฟย่อยที่เชื่อมต่อโดยทั่วไปของกราฟผลลัพธ์จะสอดคล้องกับ N-to-1 กับกราฟย่อยทอดที่เชื่อมต่อใน G โดยที่ N นั้นง่ายต่อการคำนวณ $K_A$ $A$

การนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อซึ่งลดลงเป็นการนับกราฟย่อยแบบร่างที่เชื่อมต่อกัน (แบบร่าง): ให้ G เป็นกราฟที่เราต้องการนับจำนวนกราฟย่อยแบบสแปน แบ่งขอบแต่ละอันออกเป็นสองส่วนดังนั้นตอนนี้ | V | + | E | จุด แนบกับแต่ละจุดยอดดั้งเดิมที่อยู่ใน G ถ้าเลือกขนาดใหญ่พอกราฟย่อยที่เกิดจากการเชื่อมต่อทั่วไปของกราฟผลลัพธ์จะสัมพันธ์กับ N-to-1 กับกราฟย่อยทอดที่เชื่อมต่อใน G โดยที่ N นั้นง่ายต่อการคำนวณ $K_A$ $A$

ต่อไปนี้เป็นการตีความคำถามอีกประการ: แล้วการนับกราฟย่อยที่เชื่อมต่อแบบไม่มีป้ายกำกับ นี่คือยากแม้สำหรับต้นไม้: LA โกลด์เบิร์กและเอ็ม Jerrum นับ subtrees ไม่ติดฉลากของต้นไม้คือ # P-สมบูรณ์ LMS วารสารการคำนวณและคณิตศาสตร์ 3 (2000) 117-124 $\#P$

— Colin McQuillan
แหล่งที่มา

คุณไม่จำเป็นต้องแนบกลุ่มใช่มั้ย คุณสามารถแนบอะไรก็ได้ที่มีกราฟย่อยที่เชื่อมโยงกันจำนวนมากตราบใดที่คุณแนบสิ่งเดียวกันกับแต่ละจุดยอด ดังนั้นคุณสามารถลดค่าเหล่านี้ลงได้ในขณะที่รักษาทั้งค่าระนาบและค่า bipartiteness

— David Eppstein