การจับคู่น้ำหนักสูงสุดและฟังก์ชั่น submodular

ให้กราฟสองฝ่ายมีน้ำหนักเป็นบวกให้กับเท่ากับการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในกราฟ . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

มันเป็นความจริงหรือไม่ที่เป็นฟังก์ชัน submodular $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
แหล่งที่มา

คุณคิดอย่างไร? คุณได้ลองพิสูจน์ / หักล้างหรือไม่

— Yuval Filmus

ดูเหมือนว่ามันควรจะเป็นจริง แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ นอกจากนี้ฉันคิดว่าถ้ามันเป็นจริงมันควรจะเป็นผลที่รู้จักกันดี แต่ฉันไม่พบการอ้างอิง

— George Octavian Rabanca

นี่เป็นความจริงสำหรับกรณีที่ไม่ได้ถ่วงซึ่งสามารถลดให้เหลือการตัดขั้นต่ำได้ มันไม่ได้เป็นที่เห็นได้ชัดวิธีที่จะพิสูจน์รุ่นถ่วงน้ำหนัก ...

— เจ้าเสี่ยว

พิจารณาด้วยน้ำหนักที่ขอบ 1,1,1,2

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon

@ AndrásSalamonดูเหมือนว่าในขั้นตอนสุดท้ายที่คุณคิดว่าเป็นสารเติมแต่งซึ่งไม่เป็นความจริง จับคู่สูงสุดของอาจใช้จุดที่ยังไม่ได้ใช้งานโดยการจับคู่ทั้งสองของและS ฉันมีข้อพิสูจน์ในตอนนี้ แต่มีส่วนเกี่ยวข้องมากกว่านี้อย่างแน่นอน

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

คำนิยาม สำหรับกำหนดขอบเขต, ฟังก์ชั่นชุดคือ submodular ถ้าใด ๆมันถือที่: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

แทรก กำหนดฝ่ายกราฟที่มีน้ำหนักขอบบวกให้เป็นฟังก์ชั่นที่แมค่าของการจับคู่น้ำหนักสูงสุดใน . จากนั้นคือ submodular $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

พิสูจน์ แก้ไขสองชุดและให้และเป็นคู่ที่ตรงกันสำหรับกราฟและตามลำดับ เพื่อพิสูจน์แทรกจะเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะแบ่งพาร์ติชันขอบในและเป็นสองเคลื่อนจ้อและ $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ สำหรับกราฟและตามลำดับ $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

ขอบของและก่อตัวเป็นชุดของเส้นทางและรอบที่สลับกัน Let แสดงคอลเลกชันนี้และสังเกตได้ว่าวงจรของการไม่มีมีจุดจากหรือ Xสิ่งนี้ถือไว้เพราะไม่ตรงกับจุดยอดเหล่านั้น $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Let เป็นชุดของเส้นทางในอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในและให้เป็นชุดของเส้นทางในอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดใน Xสองเส้นทางดังกล่าวแสดงไว้ในรูปด้านล่าง $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

เรียกร้อง 1. ∅ $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

สมมติโดยแย้งว่ามีเส้นทาง Yให้เป็นจุดสุดยอดในบนเส้นทางและในทำนองเดียวกันให้จะเป็นจุดสุดยอดในบนเส้นทางPสังเกตว่าตั้งแต่ค่ามิได้เป็นพวกเขาไม่ได้อยู่ในการจับคู่โดยนิยามและดังนั้นพวกเขามีจุดสิ้นสุดของเส้นทางPนอกจากนี้เนื่องจากทั้งและ $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ อยู่ในเส้นทางมีความยาวและแม้เพราะมันเป็นเส้นทางที่สลับทั้งขอบหรือนามสกุลเป็น ∩ดังนั้นจึงจับคู่กับหรือซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความและพิสูจน์การอ้างสิทธิ์ $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Let และ เป็นที่ชัดเจนว่า

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ และ

∪

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทมันยังคงแสดงให้เห็นว่า

และ

เป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับ

และ

ตามลำดับ หากต้องการดูว่า

เป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับ

สังเกตก่อนว่าไม่มีจุดยอดของ

ถูกจับคู่โดย

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

เนื่องจาก

ไม่ได้ตัดกัน

ตามการอ้างสิทธิ์ 1 และ

ไม่ได้ตัดกัน

ตามคำจำกัดความ ดังนั้น

ใช้เฉพาะจุดของ

ประการที่สองสังเกตว่าทุก ๆ จุดสุดยอด

ถูกจับคู่กันที่ขอบหนึ่งส่วนใหญ่ของ

เนื่องจากมิฉะนั้น

เป็นของทั้งสองขอบของ

หรือสองขอบของ

ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความ นี่เป็นการพิสูจน์ว่า

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ เป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับ

; แสดงว่า

เป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับ

นั้นคล้ายคลึงกัน

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
แหล่งที่มา

มันดูดีมาก! ในฐานะที่เป็นคำแนะนำเล็กน้อย: คำจำกัดความของ

และ

นั้นไม่สมมาตรดังนั้นคุณจึงอ้างว่า "

... คล้ายกัน" ในที่สุด มันชัดเจนมากขึ้น (ฉันคิดว่า) ถ้าคุณให้

แสดงว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่ได้สัมผัสจุดสุดยอดใด ๆ ใน

แล้วตั้ง

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

และ

จะเป็นเช่นเดียวกันกับ

และ

สลับแล้วสุดท้าย

เปลี่ยนไป

∪

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— Andrew Morgan