ให้กราฟสองฝ่ายมีน้ำหนักเป็นบวกให้กับเท่ากับการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในกราฟ .f : 2 U → R f ( S ) G [ S ∪ V ]
มันเป็นความจริงหรือไม่ที่เป็นฟังก์ชัน submodular
ให้กราฟสองฝ่ายมีน้ำหนักเป็นบวกให้กับเท่ากับการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในกราฟ .f : 2 U → R f ( S ) G [ S ∪ V ]
มันเป็นความจริงหรือไม่ที่เป็นฟังก์ชัน submodular
คำตอบ:
คำนิยาม สำหรับกำหนดขอบเขต, ฟังก์ชั่นชุดF : 2 → Rคือ submodular ถ้าใด ๆX , Y ⊆มันถือที่: F ( X ) + F ( Y ) ≥ F ( X ∪ Y ) + F ( X ∩ Y )
แทรก กำหนดฝ่ายกราฟที่มีน้ำหนักขอบบวกให้F : 2 → R +เป็นฟังก์ชั่นที่แมS ⊆ค่าของการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในG [ S ∪ B ] . จากนั้นfคือ submodular
พิสูจน์ แก้ไขสองชุดและให้M ∩และM ∪เป็นคู่ที่ตรงกันสำหรับกราฟG [ ( X ∩ Y ) ∪ B ]และG [ ( X ∪ Y ) ∪ B ]ตามลำดับ เพื่อพิสูจน์แทรกจะเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะแบ่งพาร์ติชันขอบในM ∩และM ∪เป็นสองเคลื่อนจ้อM XและM YสำหรับกราฟและG [ Y ∪ B ]ตามลำดับ
ขอบของและM ∪ก่อตัวเป็นชุดของเส้นทางและรอบที่สลับกัน Let Cแสดงคอลเลกชันนี้และสังเกตได้ว่าวงจรของการไม่มีCมีจุดจากX ∖ YหรือY ∖ X สิ่งนี้ถือไว้เพราะM ∩ไม่ตรงกับจุดยอดเหล่านั้น
Let เป็นชุดของเส้นทางในCอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในX ∖ Yและให้P Yเป็นชุดของเส้นทางในCอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในY ∖ X สองเส้นทางดังกล่าวแสดงไว้ในรูปด้านล่าง
เรียกร้อง 1. ∅
สมมติโดยแย้งว่ามีเส้นทาง Y ให้xเป็นจุดสุดยอดในX ∖ Yบนเส้นทางPและในทำนองเดียวกันให้Yจะเป็นจุดสุดยอดในY ∖ Xบนเส้นทางP สังเกตว่าตั้งแต่ค่าxมิได้Yเป็นX ∩ Yพวกเขาไม่ได้อยู่ในการจับคู่M ∩โดยนิยามและดังนั้นพวกเขามีจุดสิ้นสุดของเส้นทางP นอกจากนี้เนื่องจากทั้งxและอยู่ในเส้นทาง Pมีความยาวและแม้เพราะมันเป็นเส้นทางที่สลับทั้งขอบหรือนามสกุลเป็น M ∩ ดังนั้น M ∩จึงจับคู่กับ xหรือ yซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความและพิสูจน์การอ้างสิทธิ์
Let และ M Y = ( P X ∩ M ∩ ) ∪ ( ( C ∖ P X ) ∩ M ∪ ) เป็นที่ชัดเจนว่าM X ∪ M Y = M ∩ ∪ M ∪