การจับคู่น้ำหนักสูงสุดและฟังก์ชั่น submodular


10

ให้กราฟสองฝ่ายมีน้ำหนักเป็นบวกให้กับเท่ากับการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในกราฟ .f : 2 UR f ( S ) G [ S V ]G=(UV,E)f:2URf(S)G[SV]

มันเป็นความจริงหรือไม่ที่เป็นฟังก์ชัน submodularf


3
คุณคิดอย่างไร? คุณได้ลองพิสูจน์ / หักล้างหรือไม่
Yuval Filmus

ดูเหมือนว่ามันควรจะเป็นจริง แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ นอกจากนี้ฉันคิดว่าถ้ามันเป็นจริงมันควรจะเป็นผลที่รู้จักกันดี แต่ฉันไม่พบการอ้างอิง
George Octavian Rabanca

2
นี่เป็นความจริงสำหรับกรณีที่ไม่ได้ถ่วงซึ่งสามารถลดให้เหลือการตัดขั้นต่ำได้ มันไม่ได้เป็นที่เห็นได้ชัดวิธีที่จะพิสูจน์รุ่นถ่วงน้ำหนัก ...
เจ้าเสี่ยว

พิจารณาด้วยน้ำหนักที่ขอบ 1,1,1,2 K2,2
András Salamon

1
@ AndrásSalamonดูเหมือนว่าในขั้นตอนสุดท้ายที่คุณคิดว่าเป็นสารเติมแต่งซึ่งไม่เป็นความจริง จับคู่สูงสุดของอาจใช้จุดที่ยังไม่ได้ใช้งานโดยการจับคู่ทั้งสองของและS ฉันมีข้อพิสูจน์ในตอนนี้ แต่มีส่วนเกี่ยวข้องมากกว่านี้อย่างแน่นอน S T S T T SfSTSTTS
George Octavian Rabanca

คำตอบ:


1

คำนิยาม สำหรับกำหนดขอบเขต, ฟังก์ชั่นชุดF : 2Rคือ submodular ถ้าใด ๆX , Y มันถือที่: F ( X ) + F ( Y ) F ( X Y ) + F ( X Y )Af:2ARX,YA

f(X)+f(Y)f(XY)+f(XY).

แทรก กำหนดฝ่ายกราฟที่มีน้ำหนักขอบบวกให้F : 2R +เป็นฟังก์ชั่นที่แมS ค่าของการจับคู่น้ำหนักสูงสุดในG [ S B ] . จากนั้นfคือ submodularG=(AB,E)f:2AR+SAG[SB]f

พิสูจน์ แก้ไขสองชุดและให้M และM เป็นคู่ที่ตรงกันสำหรับกราฟG [ ( X Y ) B ]และG [ ( X Y ) B ]ตามลำดับ เพื่อพิสูจน์แทรกจะเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะแบ่งพาร์ติชันขอบในM และM เป็นสองเคลื่อนจ้อM XและM YX,YAMMG[(XY)B]G[(XY)B]MMMXMYสำหรับกราฟและG [ Y B ]ตามลำดับG[XB]G[YB]

ขอบของและM ก่อตัวเป็นชุดของเส้นทางและรอบที่สลับกัน Let Cแสดงคอลเลกชันนี้และสังเกตได้ว่าวงจรของการไม่มีCมีจุดจากX YหรือY X สิ่งนี้ถือไว้เพราะM ไม่ตรงกับจุดยอดเหล่านั้นMMCCXYYXM

Let เป็นชุดของเส้นทางในCอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในX Yและให้P Yเป็นชุดของเส้นทางในCอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในY X สองเส้นทางดังกล่าวแสดงไว้ในรูปด้านล่างPXCXYPYCYX

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เรียกร้อง 1. PXPY=

สมมติโดยแย้งว่ามีเส้นทาง Y ให้xเป็นจุดสุดยอดในX Yบนเส้นทางPและในทำนองเดียวกันให้Yจะเป็นจุดสุดยอดในY Xบนเส้นทางP สังเกตว่าตั้งแต่ค่าxมิได้Yเป็นX Yพวกเขาไม่ได้อยู่ในการจับคู่M โดยนิยามและดังนั้นพวกเขามีจุดสิ้นสุดของเส้นทางP นอกจากนี้เนื่องจากทั้งxและPPXPYxXYPyYXPxyXYMPxอยู่ในเส้นทาง Pมีความยาวและแม้เพราะมันเป็นเส้นทางที่สลับทั้งขอบหรือนามสกุลเป็น M ดังนั้น M จึงจับคู่กับ xหรือ yซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความและพิสูจน์การอ้างสิทธิ์yAPMMxy

Let และ M Y = ( P XM ) ( ( CP X ) M ) เป็นที่ชัดเจนว่าM XM Y = M M

MX=(PXM)((CPX)M)
MY=(PXM)((CPX)M).
MXMY=MM และ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทมันยังคงแสดงให้เห็นว่าM XและM Yเป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับG [ X B ]และG [ Y B ]ตามลำดับ หากต้องการดูว่าM Xเป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับG [ X B ] ให้สังเกตก่อนว่าไม่มีจุดยอดของY Xถูกจับคู่โดยMMXMY=MMMXMYG[XB]G[YB]MXG[XB]YXเนื่องจาก P Xไม่ได้ตัดกัน Y Xตามการอ้างสิทธิ์ 1 และ M ไม่ได้ตัดกัน Y Xตามคำจำกัดความ ดังนั้น M Xใช้เฉพาะจุดของ X B ประการที่สองสังเกตว่าทุก ๆ จุดสุดยอด x Xถูกจับคู่กันที่ขอบหนึ่งส่วนใหญ่ของ M Xเนื่องจากมิฉะนั้น xเป็นของทั้งสองขอบของ M หรือสองขอบของ M ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความ นี่เป็นการพิสูจน์ว่า M XMXPXYXMYXMXXBxXMXxMMMXเป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับ ; แสดงว่าM Yเป็นการจับคู่ที่ถูกต้องสำหรับG [ Y B ]นั้นคล้ายคลึงกันG[XB]MYG[YB]

มันดูดีมาก! ในฐานะที่เป็นคำแนะนำเล็กน้อย: คำจำกัดความของและM Yนั้นไม่สมมาตรดังนั้นคุณจึงอ้างว่า " M Y ... คล้ายกัน" ในที่สุด มันชัดเจนมากขึ้น (ฉันคิดว่า) ถ้าคุณให้C CP XP Yแสดงว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่ได้สัมผัสจุดสุดยอดใด ๆ ในX Δ Yแล้วตั้งM X = ( P XM ) ( P YM )MXMYMYCCPXPYXΔYและ M Yจะเป็นเช่นเดียวกันกับ Xและ Yสลับแล้วสุดท้าย M เปลี่ยนไป M MX=(PXM)(PYM)(CM)MYXYMM
Andrew Morgan
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.