oracle แบบสุ่มสามารถเปลี่ยนปัญหา TFNP ที่ยากต่อค่าเฉลี่ยได้หรือไม่?

ฉันได้รับการคิดเกี่ยวกับคำถามต่อไปนี้ที่
หลาย ๆ ครั้งตั้งแต่ผมเห็นคำถามนี้ในการเข้ารหัส

คำถาม

ปล่อย $R$ เป็นความสัมพันธ์TFNP oracle สุ่มสามารถช่วย P / โพลีที่
จะทำลาย $R$ ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นไปได้น้อย? อีกอย่างเป็นทางการ $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

ทำ

สำหรับอัลกอริทึมP / poly ทั้งหมด , นั้นเล็กน้อย $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

จำเป็นต้องแปลว่า

สำหรับเกือบทุก o racles , P สำหรับทุก / โพลีออราเคิลอัลกอริทึม,เป็นเล็กน้อย $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

สูตรทางเลือก

ชุดของออราเคิลที่เกี่ยวข้องคือ $G_{\delta\sigma}$ (เช่นนี้วัดได้) ดังนั้นโดยใช้ contrapositive และใช้กฎหมายศูนย์หนึ่งของ Kolmogorovสูตรต่อไปนี้จะเทียบเท่ากับฉบับดั้งเดิม

ทำ

สำหรับเกือบทุก o racles $\O$ ,
มีอยู่P / โพลี oracle ขั้นตอนวิธีดังกล่าวว่า ไม่ได้เล็กน้อย $A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

จำเป็นต้องแปลว่า

มีอัลกอริธึม P / polyเช่นนั้น ไม่สำคัญเลย $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

กรณีเครื่องแบบ

นี่คือข้อพิสูจน์สำหรับรุ่นเครื่องแบบ :

มีเพียงวท์หลาย PPT ออราเคิลขั้นตอนวิธีการดังกล่าวได้โดย additivity นับของโมฆะ [เหมาะ] [8], มีเป็นอัลกอริทึม PPT ดังกล่าวว่าสำหรับที่ไม่ใช่nullชุดของออราเคิล , ไม่สามารถเพิกเฉยได้ ให้เป็น oracle-algorithm $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

ในทำนองเดียวกันให้เป็นจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นสำหรับชุด oraclesศูนย์ เป็นอนันต์ - อย่างน้อย , โดยที่คือความยาวของอินพุต โดย contrapositive ของBorel-Cantelli , ไม่มีที่สิ้นสุด $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

จากการทดสอบเปรียบเทียบบ่อยครั้งที่ 2} $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

ให้เป็นอัลกอริธึม PPT ซึ่ง [จำลองออราเคิล] [12] และรันด้วยออราเคิลจำลอง $S$ $B$

แก้ไขและให้เป็นชุดของ oraclesเช่นนั้น . $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

ถ้าไม่ว่างแล้ว {} $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

เนื่องจากไม่สิ้นสุดบ่อยครั้ง ไม่มีความสำคัญ $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ $\Pr_x[R(x,S(x))]$

ดังนั้นรุ่นที่เหมือนกันถือ การพิสูจน์เชิงวิกฤตใช้ความจริงที่ว่ามี
เพียงPPT oracle-algorithms จำนวนมากเท่านั้น ความคิดนี้ไม่สามารถใช้งานได้ในกรณีที่
ไม่เหมือนกันเนื่องจากมี P / poly oracle-algorithm จำนวนมากอย่างต่อเนื่อง

— ชุมชน
แหล่งที่มา

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นคำถามเกี่ยวกับ oracles จริงๆ เนื่องจากไม่ขึ้นกับคุณอาจให้สิทธิ์การเข้าถึงสตริงแบบสุ่ม คำถามคือ: การเพิ่มพลังของวงจรขนาดโพลีนั้นมีการสุ่มหรือไม่ คำตอบก็คือ "ไม่" เนื่องจากถ้าให้การเข้าถึงสตริงแบบสุ่มได้ดีโดยการหาค่าเฉลี่ยจะมีการตั้งค่าเฉพาะของสตริงสุ่มซึ่งทำได้ดีและเราก็อาจจะแค่ hardwire ที่สายเข้าสู่วงจรของ

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Adam Smith

@ AdamSmith: "เนื่องจากเป็นอิสระจากคุณอาจให้สิทธิ์เข้าถึงสตริงสุ่ม" เป็นสัญชาตญาณ แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะเปลี่ยนเป็นหลักฐาน

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@ อดัมมีปริมาณอีกตัวที่สำคัญ ฉันคิดว่ามันง่ายกว่าที่จะมองไปที่การปฏิเสธ: เป็นไปได้หรือไม่ที่เกือบทุกพยากรณ์จะมีปฏิปักษ์ที่ไม่ได้ใช้รูปแบบหนึ่งที่สามารถใช้ oracle เพื่อแยกแยะปัญหาการค้นหาได้?

— Kaveh

ฉันเห็น. ฉันกำลังตอบคำถามอื่น ขอโทษสำหรับความสับสน.

— Adam Smith

@domotorp: พวกเขาควรได้รับการแก้ไขในขณะนี้ (เดาที่ดีที่สุดของฉันสำหรับเหตุผลที่เกิดขึ้นเป็นการใช้งานของการเชื่อมโยงเลขมากกว่าการเชื่อมโยงในเส้น.)

$\hspace{1.05 in}$

ไม่ให้หัวข้อของฉันและใช่กับเนื้อหาของคำถามของฉัน ในความเป็นจริงนี้ทำให้เป็นปกติ
ในทุก ๆ เกมที่มีความยาวพหุนามซึ่งไม่ได้ใช้รหัสของฝ่ายตรงข้าม

โปรดทราบว่าผมจะใช้สำหรับฝ่ายตรงข้ามมากกว่า, เพื่อให้ตรงกับทฤษฏี 2ของสัญกรณ์ $C$ $A$

สมมติว่าสำหรับ oracleเกือบทั้งหมดมี P / poly oracle-algorithmเช่นนั้นไม่สามารถเพิกเฉยได้ $\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

สำหรับ oracles เกือบทั้งหมดมีจำนวนเต็มบวก d ซึ่ง มีลำดับของวงจรที่ขนาดมากที่สุด d + n ^dเช่นนั้น นั้นมักจะมากกว่าขวา) $\mathcal{O}$

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

ด้วยความสามารถในการนับได้นับได้ว่ามีจำนวนเต็มบวก d เช่นนั้นสำหรับชุดที่ไม่เป็นศูนย์ของ oraclesมีลำดับของวงจรขนาดที่มากที่สุด d + n ^dเช่นนั้น เป็นอนันต์ - บ่อยครั้งมากกว่าขวา) $\mathcal{O}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

ให้ j เป็นโฆษณาดังกล่าวและปล่อยให้ z เป็น oracle-algorithm (ไม่จำเป็นต้องมีประสิทธิภาพ) ซึ่ง
ใช้ n เป็นอินพุทและเอาท์พุทวงจรพยากรณ์ขนาดเล็กที่สุดของวงจรเล็กที่สุด j + n ที่ทำให้ . โดย contrapositive ของBorel-Cantelli , $^{\hspace{.03 in}j}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ สำหรับ n จำนวนมากมาย

สำหรับ n

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

.

ให้เป็น oracle-algorithm ที่รับ 2 อินพุตหนึ่งในนั้นคือและทำดังนี้: $A$ $n$

เลือกสตริงแบบสุ่ม n บิตxพยายามที่จะ [แยกวิเคราะห์อินพุตอื่นเป็นวงจรพยากรณ์และเรียกใช้วงจรพยากรณ์นั้นในสตริง n บิต] หากประสบความสำเร็จและผลลัพธ์ของวงจร oracle-ตาม R (x, y), จากนั้นเอาท์พุท 1, เอาต์พุตอื่น 0 (โปรดทราบว่าไม่ได้เป็นเพียงปฏิปักษ์เท่านั้น) สำหรับ n,\: ปล่อยให้เป็นเช่นเดียวกับในทฤษฎีบท 2และตั้ง $x$

$y$

$A$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$
$\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ \:

โดยทฤษฎีบทที่ 2มีฟังก์ชั่นออราเคิลเช่นนั้นด้วยเช่นเดียวกับในทฤษฎีบทนั้น ถ้าแล้วก็ $\mathcal{S}$ $\mathcal{P}$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ .

สำหรับ n นั่นนั่น: $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีอยู่พยากรณ์วงจรขนาดที่มากที่สุดเจ + nและ งานที่มีความยาวมากที่สุดฉดังกล่าวว่า ด้วยการป้อนข้อมูลที่และ presampling, 's น่าจะเป็นของการแสดงผลมีค่ามากกว่าขวา) วงจรของออราเคิลที่มีขนาดมากที่สุด j + nสามารถแสดงด้วยบิตโพลี (n) ดังนั้นสำหรับ p ถูกล้อมรอบ ด้วยพหุนามใน n ซึ่งหมายความว่า f ถูกล้อมรอบด้านบน โดยพหุนามใน n $\big[$ $C$ $^{\hspace{.03 in}j}\big]$
$\big[$ $\big]$
$A$ $1$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$
$^{\hspace{.03 in}j}$

จากการก่อสร้างหมายถึงว่ามีขนาดของวงจร oracle มากที่สุด j + nและการ กำหนดความยาวพหุนามเช่นเมื่อทำงานด้วยการสันนิษฐานว่ามีความน่าจะเป็นของวงจรในการค้นหา โซลูชันมีค่ามากกว่าขวา) เนื่องจากวงจรดังกล่าวไม่สามารถทำการสอบถามได้นานกว่า j + n $A$ $^{\hspace{.03 in}j}$
$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $^{\hspace{.03 in}j}$ บิตอินพุตที่ตั้งตัวอย่างไว้นานกว่าที่สามารถเพิกเฉยได้ดังนั้นการสุ่มตัวอย่างดังกล่าวสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพและสมบูรณ์แบบด้วยออราเคิลสุ่มและบิตเข้ารหัสแบบฮาร์ดโพลี (n) นั่นหมายความว่ามีพหุนามขนาดวงจร oracle ดังกล่าวด้วยมาตรฐาน oracle สุ่มความน่าจะเป็นของวงจรในการหาวิธีแก้ไขมีค่ามากกว่าขวา) oracle ที่สุ่มได้นั้นสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพและสมบูรณ์แบบด้วยบิตสุ่มธรรมดาดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นพหุนามขนาดไม่วงจรวงจรที่มีความน่าจะเป็นในการหาวิธีแก้ปัญหามากกว่า $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ ขวา) ในทางกลับกันด้วยการเข้ารหัสด้วยแสงแบบสุ่มมีวงจรขนาดพหุนาม (ไม่ใช่คำพยากรณ์) ที่มีความน่าจะเป็น (มากกว่าทางเลือกของ x) ในการหาวิธีแก้ปัญหามีค่ามากกว่าขวา) ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้าในคำตอบนี้มีจำนวน n ไม่มากเช่น, $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ $\;\;\;$ ดังนั้นจึงมีพหุนามดังกล่าว

ลำดับที่รายการ n-th เป็นอย่างน้อย lexicographically
[วงจร C ของขนาดที่ถูกล้อมรอบด้วยพหุนามนั้น] ซึ่งเพิ่ม $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

เป็นอัลกอริธึม P / โพลีซึ่งความน่าจะเป็น (ทางเลือกของ x) ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหานั้นไม่สามารถเพิกเฉยได้

ดังนั้นความหมายของคำถามของฉันอยู่ในร่างกายเสมอ

เพื่อให้ได้ความหมายเหมือนกันสำหรับเกมอื่น ๆ พหุนามที่มีความยาวเพียงแค่
เปลี่ยนหลักฐานนี้ที่จะทำให้มันมีการป้อนข้อมูลของออราเคิลวงจรเล่นเกม $A$