ปรับความซับซ้อนของพารามิเตอร์จาก P ถึง NP-hard และกลับมาอีกครั้ง

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างของปัญหา parametrized โดยจำนวนที่แข็งปัญหาคือไม่ใช่เนื่องในkปัญหาส่วนใหญ่ (จากประสบการณ์ของฉัน) มีการเปลี่ยนเฟสเดียวเช่น -SAT มีการเปลี่ยนเฟสเดียวจาก (โดยที่ปัญหาอยู่ใน P) เป็น (โดยที่ ปัญหาคือ NP-complete) ฉันสนใจในปัญหาที่มีการเปลี่ยนเฟสทั้งสองทิศทาง (จากง่ายไปหายากและในทางกลับกัน) เมื่อเพิ่มขึ้น k k k ∈ { 1 , 2 } k ≥ 3 $k \in \mathbb{N}$$k$$k$$k \in \{1,2\}$$k \ge 3$$k$

คำถามของฉันค่อนข้างคล้ายกับคำถามที่พบในHardness Jumps ในการคำนวณเชิงซ้อนและในความเป็นจริงแล้วคำตอบบางข้อนั้นเกี่ยวข้องกับคำถามของฉัน

ตัวอย่างที่ฉันทราบ:

1. k = $k$ -colorability ของกราฟระนาบ: ใน P ยกเว้นเมื่อโดยที่ NP-complete$k=3$
2. ต้นไม้ Steiner ที่มีขั้ว : ใน P เมื่อ (ยุบไปยังเส้นทางที่สั้นที่สุด - ) และเมื่อ (ยุบไปที่ MST) แต่ NP-hard "ในระหว่าง" ฉันไม่รู้ว่าการเปลี่ยนเฟสเหล่านี้มีความคมชัดหรือไม่ (เช่น P สำหรับแต่ NP-hard สำหรับ ) นอกจากนี้การเปลี่ยนของขึ้นอยู่กับขนาดของอินสแตนซ์อินพุทซึ่งแตกต่างจากตัวอย่างอื่น ๆ ของฉันk = 2 s t k = n k 0 k 0 + 1 $k$$k=2$$s$$t$$k=n$$k_0$$k_0+1$$k$
3. การนับการกำหนดที่น่าพอใจของสูตรภาพถ่ายแบบโมดูโล : ใน P เมื่อเป็นจำนวนเฉพาะของ Mersenneและ # P-complete สำหรับส่วนใหญ่ (?) /ค่าอื่น ๆ ของ (จาก Aaron Sterling ในหัวข้อนี้ ) การเปลี่ยนเฟสมากมาย!n n = 2 k - 1 $n$$n$$n=2^k-1$$n$
4. การตรวจจับกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำ: ปัญหาไม่ได้ถูกกำหนดโดยจำนวนเต็ม แต่เป็นกราฟ มีกราฟ (โดยที่หมายถึงความสัมพันธ์กราฟย่อยบางชนิด) ซึ่งกำหนดว่าสำหรับกราฟที่กำหนดอยู่ใน P สำหรับแต่ NP-ที่สมบูรณ์แบบสำหรับ 2 (จาก Hsien-Chih Chang ในหัวข้อเดียวกัน ) ⊆ H ฉัน ⊆ G G ฉัน∈ { 1 , 3 } i = $H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

เขตข้อมูลหนึ่งที่ไม่มีความซ้ำซ้อนของความซับซ้อนของปัญหาคือการทดสอบคุณสมบัติ ให้เป็นเซตของกราฟ -vertex ทั้งหมดและเรียกคุณสมบัติกราฟ ปัญหาทั่วไปคือการตรวจสอบว่ากราฟมีคุณสมบัติ (เช่น ) หรือ `ไกล 'จากการมีคุณสมบัติในบางแง่มุม ขึ้นอยู่กับว่าคืออะไรและการสืบค้นด้วยแบบสอบถามแบบใดที่คุณมีกับกราฟปัญหาอาจค่อนข้างยาก nP⊆ G n GPG∈PP$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

แต่มันง่ายที่จะเห็นว่าปัญหาไม่ใช่เสียงเดียวในการที่ถ้าเรามีความจริงที่ว่าสามารถทดสอบได้ง่ายไม่ได้หมายความว่านั้นทดสอบได้ง่ายหรือนั้น P S $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

เมื่อต้องการดูสิ่งนี้ก็พอที่จะสังเกตได้ว่าและสามารถทดสอบได้เล็กน้อย แต่สำหรับคุณสมบัติบางอย่างนั้นมีขอบเขตที่ต่ำกว่ามาก P = $P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

สำหรับกราฟและเลขจำนวนเต็ม , -th power ของ , แสดงโดย , มีจุดสุดยอดชุดเดียวกันซึ่งจุดยอดทั้งสองอยู่ติดกันในหากระยะทางในอยู่ที่ ส่วนใหญ่kปัญหากำลังของกราฟแยก -th จะถามว่ากราฟที่ระบุเป็นกำลัง -th ของกราฟแยกหรือไม่k ≥ 1 k G G k G k G k k $G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• สำหรับปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น นี่เป็นเพราะการรู้จักกราฟแยกสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้น (รู้จักกันดี)$k=1$
• สำหรับปัญหาคือ NP-complete นี้จะได้รับการพิสูจน์โดยLau และ Corneil ในตระหนักถึงอำนาจของช่วงเวลาที่เหมาะสม, แยก, และกราฟคอร์ดัสยามเจแบบไม่ต่อเนื่องคณิตศาสตร์. 18 (2004), 83-102$k=2$
• สำหรับปัญหาเล็กน้อย: เฉพาะกราฟที่สมบูรณ์เท่านั้นคือพลังของ -th ของกราฟแยก$k\ge 3$$k$

หนึ่งในปัญหาดังกล่าวคือการระบายสีขอบของกราฟระนาบที่พารามิเตอร์คือ - ระดับสูงสุดของกราฟ เมื่อหรือมีรู้จักอัลกอริธึมที่แน่นอนสำหรับพหุนาม ( ดูที่นี่ ) ในขณะที่อัลกอริทึมดังกล่าวไม่เป็นที่รู้จักและไม่มีหลักฐานพิสูจน์ความแข็งของ NP สำหรับกรณีเหล่านี้ .Δ = 2 Δ ⩾ $\Delta$$\Delta=2$$\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

คำถามที่เกี่ยวข้องจะกล่าวถึงที่นี่

การพิจารณาว่ากราฟมีกลุ่มที่มีอำนาจเหนือหรือไม่สำหรับ:$G$

• $diam(G)=1$ไม่สำคัญ - คำตอบคือ 'ใช่' เสมอ
• $diam(G)=2$คือ NP-complete
• $diam(G)=3$คือ NP-complete
• $diam(G)\ge 4$ไม่สำคัญ - คำตอบคือ 'ไม่' เสมอ

กรณีเป็นเพราะBrandstädtและ Kratschและกรณีถูกบันทึกไว้ในกระดาษล่าสุดของฉัน$diam(G)=3$$diam(G)=2$

นี่เป็นตัวอย่างของปรากฏการณ์ที่คุณกำลังมองหาใช่ไหม

พิจารณาปัญหา k-Clique โดยที่ k คือขนาดของกลุ่มที่เรากำลังค้นหา ดังนั้นปัญหาคือ "มีกลุ่ม k ขนาดในกราฟ G ที่ n จุดยอดหรือไม่"

สำหรับค่าคงที่ k ทั้งหมดปัญหาอยู่ใน P (อัลกอริทึมแรงเดรัจฉานทำงานในเวลา ) สำหรับค่า k จำนวนมากเช่นค่าเช่น n / 2 จะเป็น NP-complete เมื่อ k เข้าใกล้ n มากเช่น nc สำหรับค่าคงที่ c ปัญหาอยู่ใน P อีกครั้งเพราะเราสามารถค้นหาส่วนย่อยทั้งหมดของ n ยอดของขนาด nc และตรวจสอบว่ามีรูปแบบกลุ่มใด (มีเพียงเซตย่อยดังกล่าวซึ่งมีขนาดใหญ่แบบพหุนามเมื่อ c เป็นค่าคงที่)O ( n ค$O(n^k)$$O(n^c)$

นี่คือตัวอย่างที่อาจเป็นประเภทที่คุณกำลังมองหา แม้ว่าพารามิเตอร์นี้จะไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็นคู่ของตัวเลข (แม้ว่าหนึ่งในนั้นสามารถแก้ไขได้เพื่อให้เป็นปัญหาพารามิเตอร์เดียว)

ปัญหาคือการประเมิน Tutte พหุนามของกราฟ G ที่พิกัด (x, y) เราสามารถ จำกัด พิกัดให้เป็นจำนวนเต็ม ปัญหาอยู่ใน P ถ้า (x, y) เป็นหนึ่งในคะแนน (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) หรือตอบสนอง (x-1 ) (y-1) = 1 มิฉะนั้นจะเป็น # P-hard

ผมได้รับนี้จากบทความวิกิพีเดียในพหุนาม Tutte

แล้วคำถามเกี่ยวกับการคำนวณเมทริกซ์โมดูโลแบบถาวร? สำหรับนี่เป็นเรื่องง่าย (เนื่องจากถาวร = ดีเทอแนนต์) และองอาจ (ใน " ความซับซ้อนของการคำนวณแบบถาวร ") แสดงให้เห็นว่ามันสามารถคำนวณแบบโมดูโลในเวลาสำหรับโดยตัวแปรดัดแปลงของการกำจัดแบบเกาส์เซียน แต่สำหรับซึ่งไม่ใช่พลังของมันคือ UP-Hard k = 2 2 d O ( n 4 d - 3 ) d ≥ 2 k $k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

ปัญหาเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้ก็คือขั้นต่ำปัญหา -SPANNER กราฟแยก$t$

สำหรับค่าคงที่ , -spanner ของกราฟที่เชื่อมต่อคือกราฟย่อยที่เชื่อมต่อของซึ่งสำหรับทุกจุดยอดและทุกคู่ ระยะห่างระหว่างและในนั้นมากที่สุดระยะทางใน . ขั้นต่ำปัญหา -SPANNER ขอ -spanner มีจำนวนขั้นต่ำของขอบของกราฟที่กำหนดt G H G x y x Y H t G t $t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

กราฟแยกเป็นกราฟที่มีจุดสุดยอดชุดสามารถแบ่งออกเป็นก๊กและชุดที่เป็นอิสระ

ในบทความนี้มันแสดงให้เห็นว่า MINIMUM 2-SPANNER บนกราฟแยกเป็น NP-hard ในแต่ละ , MINIMUM -SPANNER นั้นง่ายมากในกราฟแยก$t \ge 3$$t$

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือการระบายสี -edge$k$

มันเป็น decidable ในเวลาพหุนามถ้ามิฉะนั้นจะเป็นที่สมบูรณ์N P$k \ne \Delta$$NP$

สำหรับกราฟลูกบาศก์เลือกการมีอยู่ของการระบายสีขอบโดยใช้:

• $k=2$สีไม่สำคัญเนื่องจากคำตอบคือไม่เสมอ
• N $k=3$สีคือสมบูรณ์$NP$
• $k \ge 4$สีนั้นเล็กน้อยเนื่องจากคำตอบคือใช่เสมอ

Holyer, Ian (1981), "ความสมบูรณ์แบบของการระบายสีขอบ", SIAM Journal on Computing 10: 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

นี่เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจ (และน่าประหลาดใจ) สำหรับการเปลี่ยนเฟสP NP-hard P NP-hard :$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

ตัดสินใจว่ากราฟที่สมบูรณ์แบบบนจุดซึ่งในแต่ละจุดสุดยอดมีการจัดอันดับที่เข้มงวดของจุดอื่น ๆ ทั้งหมดยอมรับการจับคู่ที่เป็นที่นิยมใน P สำหรับแปลกและ NP-ยากสำหรับแม้แต่n(พารามิเตอร์คือจำนวนจุดสุดยอด )$n$$n$$n$$n$

มีการประกาศหลักฐานในบทความนี้

เส้นทางในกราฟขอบสีคือรุ้งหากไม่มีสีปรากฏขึ้นสองครั้ง กราฟเป็นสีรุ้งหากมีเส้นทางรุ้งระหว่างจุดยอดคู่แต่ละคู่ ให้ RAINBOW- -COLORABILITY เป็นปัญหาของการตัดสินใจว่ากราฟที่กำหนดสามารถเป็นสีรุ้งโดยใช้สี$k$$k$

สำหรับกราฟใด ๆปัญหาง่ายสำหรับเนื่องจากเท่ากับการตรวจสอบว่าเป็นกราฟสมบูรณ์ สำหรับกราฟแยกปัญหาคือสมบูรณ์สำหรับและในค่าอื่น ๆ ทั้งหมดของkk = 1 G N P k ∈ { 2 , 3 } P $G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

ดูChandran, L. Sunil, Deepak Rajendraprasad และ Marek Tesař "ระบายสีรุ้งของกราฟแยก" พิมพ์ arXiv arXiv: 1404.4478 (2014)

ชุดย่อยของกราฟเป็นชุดตัดการเชื่อมต่อหากและถูกตัดการเชื่อมต่อG G [ U ] G - $U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

การตัดสินใจว่ากราฟที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 มีจุดตัดที่ไม่ได้เชื่อมต่อหรือไม่นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย ปัญหากลายเป็นปัญหา NP-hard บนกราฟของเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 ดูกระดาษนี้ และง่ายในกราฟที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางอย่างน้อย 3 ดูกระดาษนี้