การค้นหาจุดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง จำกัด ที่ใหญ่ที่สุด

รับคะแนนในR dและเป็นระยะทางต่อลิตรพบว่าส่วนย่อยที่ใหญ่ที่สุดของจุดเหล่านี้เช่นว่าระยะห่าง Euclidian ไม่มีสองของพวกเขาเกินลิตร$p_1,\ldots,p_n$$\mathbb{R}^{d}$$l$$l$

ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร?

ในกราฟเหนือจุดที่มีขอบเมื่อใดก็ตามที่ระยะทางของจุดสองจุดมากที่สุดปัญหาจะเทียบเท่ากับการค้นหากลุ่มสูงสุด การสนทนาอาจไม่สามารถทำได้เนื่องจากไม่ใช่ทุกกราฟที่สามารถรับได้ด้วยวิธีนี้ (ตัวอย่างคือดาวK 1 , 7สำหรับd = 2 ) ดังนั้นคำถามที่เกี่ยวข้องคือ: สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับกราฟของชั้นนี้?$l$$K_{1,7}$$d=2$

มีอัลกอริธึมเวลาสำหรับปัญหาสองมิตินี้ในบทความของฉันกับ Jeff Erickson, " ย้ำเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดและค้นหาโพลิปส์น้อยที่สุด " คอมพ์ Geom 11: 321-350, 1994. ที่จริงแล้วกระดาษดูที่ปัญหาสองหลักเป็นหลัก: เนื่องจากจำนวนคะแนนในชุดย่อยให้หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ แต่ใช้ปัญหาที่คุณอธิบายว่าเป็นรูทีนย่อย อย่างน้อยในเวลาที่เราเขียนมันเราไม่รู้อะไรเลยว่าเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับมิติที่สูงขึ้น (แม้ว่าเซตย่อยจะมีเพียงแค่คะแนนkเท่านั้นส่วนส่วนเอ็กซ์โพเนนเชียลนั้นสามารถขึ้นอยู่กับkแทน$O(n^3\log n)$$k$$k$$n$ ใช้เทคนิคในกระดาษเดียวกัน)

ประมาณสวยง่ายถ้าคุณมีความสนใจในกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดที่มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางที่มากที่สุดลิตร อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาโดยใช้กริดคือตอนนี้ "มาตรฐาน" คงอาจจะเป็นสิ่งที่ชอบ2 O ( 1 / ε d )$(1+\epsilon)l$$2^{O(1/\epsilon^d)}$

มีงานบางอย่างในการหาลูกบอลที่เล็กที่สุดที่บรรจุ k points แต่ปัญหาเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นยากกว่ามาก เพื่อดูว่าทำไมจุดเริ่มต้นที่ดีคือกระดาษ Clarkson-Shor สำหรับการคำนวณเส้นผ่านศูนย์กลางในแบบ 3 มิติ

BTW สำหรับมิติสูงปัญหาเกี่ยวกับลูกบอลนั้นใกล้เคียงกับการแจกแจงเวลาใน (หรือเสียงรบกวนที่คล้ายกัน) โดยใช้ coresets (แต่ไม่ใช่ในมิติ!) ฉันสงสัยว่าวิธีนี้สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ แต่ฉันอาจผิด $O(1/\epsilon^2)$