เกี่ยวกับคุณสมบัติของ adjacency matrix เมื่อกราฟเป็นระนาบ

1- มีคุณสมบัติเฉพาะสำหรับเมทริกซ์คำคุณศัพท์เมื่อกราฟเป็นระนาบหรือไม่?
2- มีสิ่งใดเป็นพิเศษหรือไม่ในการคำนวณเมทริกซ์ adjacency ถาวรเมื่อกราฟเป็นระนาบ?

การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และกราฟระนาบแบบถาวรนั้นยากเท่ากับการคำนวณในกราฟทั่วไป เสร็จสิ้นสำหรับGapLและ#Pตามลำดับ ดูบทความนี้โดยDatta, Kulkarni, Limaye, Mahajanสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

มันเป็นสมบัติของเมทริกซ์อุบัติการณ์มากกว่าเมทริกซ์แบบ adjacency แต่คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของกราฟระนาบคือมันเป็นกราฟที่มีกราฟไทรอยด์เป็นสองเท่าของกราฟิคแบบอื่น ความสัมพันธ์กับเมทริกซ์การเกิดอุบัติเหตุคือกราฟิค matroid อธิบายชุดของคอลัมน์อิสระในเมทริกซ์

มีคุณสมบัติของการเป็นเมทริกซ์ระยะทาง (และไม่เมทริกซ์ถ้อยคำ) ของจำกัดกราฟเชิงระนาบที่อาจเป็นที่สนใจของผู้Monge คุณสมบัติ คุณสมบัติ Monge (เนื่องจาก Gaspard Monge) สำหรับกราฟระนาบเป็นหลักหมายความว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดบางอย่างไม่สามารถข้ามได้ ดูที่Wikipedia: Monge Arrayสำหรับคำอธิบายอย่างเป็นทางการของคุณสมบัติ Monge Djidjev (WG 1996) ( บทความบนเว็บไซต์ของ Djidjev ) และFakcharoenphol และ Rao (FOCS 2001) ( วิดีโอ ) แสดงวิธีใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ไม่ข้ามในอัลกอริธึมเส้นทางที่สั้นที่สุด

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณสมบัติแบบใดที่คุณกำลังมองหา แต่รัศมีสเปกตรัมของกราฟระนาบคือหนึ่งปริมาณดังกล่าว (ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ adjaceny) ดูตัวอย่างเอกสารนี้

ในขณะที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามของคุณโดยตรงคุณอาจต้องการดูลำดับการทำงานของกราฟระนาบ ไม่มีการจำแนกลักษณะที่เป็นที่รู้จักของเมื่อลำดับองศาเป็นลำดับองศาของกราฟระนาบ อย่างไรก็ตามมีเอกสารที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับเรื่องดังกล่าว ได้แก่ :

http://www.jstor.org/pss/2100346