อะไรคือคลาสความซับซ้อน“ ที่เล็กที่สุด” ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในวงจรซุปเปอร์ไลน์

ขออภัยในการถามคำถามที่ต้องอยู่ในมาตรฐานอ้างอิงจำนวนมากอย่างแน่นอน ฉันอยากรู้อยากเห็นเกี่ยวกับคำถามในชื่อเรื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดถึงวงจรบูลีน ฉันใส่คำว่า "เล็กที่สุด" ในเครื่องหมายคำพูดเพื่อให้มีความเป็นไปได้ที่มีหลายคลาสที่แตกต่างกันซึ่งไม่ทราบว่าจะรวมซึ่งกันและกัน

ฉันเชื่อว่าคลาสที่เล็กที่สุดที่รู้จักคือ (Cai, 2001), (Vinodchandran, 2005) และ (Santhanam, 2007) ทั้งหมดนี้เป็นที่ทราบกันดีว่าไม่อยู่ในสำหรับค่าคงที่แต่ละตัว$S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

ผลที่แข็งแกร่งฉันรู้เป็นที่สำหรับ k ทั้งหมดมีปัญหาในที่ต้องใช้วงจรขนาดk)$S_2^P$$\Omega(n^k)$

$S_2^P$เป็นชั้นที่มีอยู่ในซึ่งเป็นตัวที่มีอยู่ใน P ( สวนสัตว์ที่ซับซ้อนมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับคลาสนี้)$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

ผลที่ตามมาต่อจากรุ่นที่แข็งแกร่งของทฤษฎีบทคาร์พ-ลิปตันเนื่องจากCai

หลักฐานที่พิสูจน์ได้อย่างรวดเร็วว่าทฤษฎีบท KL จะตามมาอย่างไร: อันดับแรกถ้า SAT ต้องการวงจรขนาดพหุนามแบบซุปเปอร์เราเสร็จแล้วเนื่องจากเราได้แสดงปัญหาในที่ต้องการวงจรขนาดพหุนามแบบพิเศษ หาก SAT มีวงจรขนาดพหุนามแล้วโดยรุ่นที่แข็งแกร่งของทฤษฎีบทคาร์พ-ลิปตัน, PH ทรุด P เรารู้ว่า PH มีปัญหาเช่นปัญหา (จากผลลัพธ์ของ Kannan) และทำให้มีปัญหาดังกล่าว S P 2 S P $S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

สำหรับวงจรทั่วไปเรารู้ว่ามีปัญหาในที่ต้องการวงจรขนาดนี่เป็นเพราะ Ravi Kannan (1981) และขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของเขาที่มีปัญหาดังกล่าว Ω ( n k ) P $\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

ผมคิดว่าดีที่สุดสำหรับการ lowerboundsยังคงรอบ5n5 $NP$$5n$

ดูร่าและหนังสือของ Barak, หน้า 297 ริชาร์ดเจลิปตันมีการโพสต์ในบล็อกของเขาเกี่ยวกับผลลัพธ์เหล่านี้ยังเห็นนี้

ในการปรับแต่งคำตอบสำหรับทุก ๆและอย่างใดอย่างหนึ่ง * ปัญหาการค้นหา 3-SAT ไม่มีวงจรหรือ * บางส่วน ปัญหาในมีเวลา (และขนาดพยาน) จำกัด ที่ไม่มี io-วงจร (io หมายถึงบ่อยครั้งอย่างไม่ จำกัด ) k≥1c ˜ O ( n k ) O 2$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$O( n k (บันทึกn ) c$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

หากแทนที่ปัญหาการค้นหาแบบ 3-SAT เราใช้ปัญหาการตัดสินใจเวลาพอเพียงและถ้าเรา ใช้ปัญหาการตัดสินใจสำหรับบิตในการกำหนดค่าน้อยที่สุดในพจนานุกรมสำหรับ 3-SAT,พอเพียง˜ O ( n $\mathrm{O}^2\mathrm{P}$i ˜ O (nนาที( k 2 + k , k 3 )$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

ปัญหาการตัดสินใจที่ไม่สามารถคำนวณได้ด้วยวงจรio-คือจำนวนน้อยที่สุด (สอบถามโดยใช้เลขฐานสอง) ซึ่งไม่ใช่ตารางความจริงของวงจรที่มีประตู หาก NP อยู่ใน P / poly ปัญหามีพยานที่ไม่สามารถหักล้างได้ซึ่งประกอบด้วย: (1) (2) วงจรที่ให้แสดงว่ามีวงจรขนาดเล็กเพียงพอ (3) (ใช้สำหรับผูก ) ตัวตรวจสอบที่ทำให้เราสามารถเรียกใช้วงจรของฝ่ายตรงข้ามได้สำหรับ (2) เพียงครั้ง (รับ 1 บิตต่อการวิ่งหนึ่งครั้ง )N n k ⌊ ( บันทึกn ) c + 1 ⌋ N $O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
N ′ ˜ O ( n k 3 ) O ( 1 $N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

ในบันทึกแยกต่างหากสำหรับทุก ๆมีปัญหาในการตัดสินใจใน (MA ∩ coMA) / 1 ที่ไม่มีวงจร'/ 1' หมายความว่าเครื่องได้รับคำแนะนำหนึ่งบิตซึ่งขึ้นอยู่กับขนาดอินพุตเท่านั้น นอกจากนี้สตริงเมอร์ลินส่งสามารถเลือกที่จะขึ้นอยู่เฉพาะในขนาดการป้อนข้อมูล (ที่มีข้อ จำกัด นี้, MA เป็นส่วนหนึ่งของ ) และความซับซ้อนคำแนะนำ P หลักฐาน (Santhanam 2007) generalizes IP = PSPACE และPSPACE⊂P / โพลี⇒ PSPACE = MA โดยใช้ปัญหาที่สมบูรณ์ PSPACE ที่ประพฤติดีและใส่อินพุตเพื่อให้ได้ขนาดวงจรขั้นต่ำที่ไม่สิ้นสุดระหว่างและใช้คำแนะนำในการตรวจสอบตัวอย่างที่เพียงพอของดังกล่าวO ( n k ) O 2 P Σ P 2 n k + 1 n k + 2 n $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$และสำหรับเหล่าการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นโดยมีเบาะเมอร์ลินผลิตวงจรดังกล่าว$n$