P / Poly vs คลาสความซับซ้อนของชุด


9

ไม่ทราบว่ามี NEXP อยู่ใน P / poly หรือไม่ การพิสูจน์ว่า NEXP ไม่ได้อยู่ใน P / โพลีจะมีแอปพลิเคชันบางอย่างใน

  1. คลาส C ที่เล็กที่สุดซึ่งเท่ากันสามารถพิสูจน์ได้ว่า C ไม่มีอยู่ใน P / poly คืออะไร?

  2. จะแสดงว่าการร่วม NEXP ไม่ได้อยู่ใน P / poly มีความซับซ้อนทางทฤษฎีอื่น ๆ ตามมาเช่นในกรณี NEXP vs P / poly?

หมายเหตุ: ฉันรู้ว่า SP2SP2 เป็นที่รู้กันว่าไม่ควรมีอยู่ใน SผมZอี[nk]Size[nk] สำหรับค่าคงที่แต่ละค่าคงที่ kk(นี่ก็แสดงให้เห็นสำหรับ MA พร้อมคำแนะนำ 1 บิต) แต่ในคำถามนี้ฉันไม่สนใจผลลัพธ์สำหรับการแก้ไขkk. ฉันสนใจชั้นเรียนที่แตกต่างจาก P / Poly แม้ว่าชั้นเรียนเหล่านี้จะใหญ่มาก


คุณกำลังถามปัญหาเกี่ยวกับขอบเขตที่ต่ำกว่าขนาดพิเศษของพหุนามสำหรับวงจรทั่วไป
Kaveh

8
MAอีxพีMAexp เป็นที่รู้กันว่าไม่เข้า P/พีโอล.YP/poly. ดูบทความ Wikipediaสำหรับการพิสูจน์สั้น ๆ
Robin Kothari

4
P / poly ถูกปิดภายใต้ส่วนประกอบดังนั้นจึงมี NEXP ถ้าหากมี CONEXP
Emil Jeřábek

2
เอมิลโรบินและแอนดรูว์ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ ฉันคิดว่าคำถามของฉันได้รับการพิจารณาให้ตอบแล้ว มีใครบางคนเขียนมันเป็นคำตอบเพื่อที่ฉันจะได้ยอมรับมันได้หรือไม่?
Springberg

2
ฉันเชื่ออย่างนั้น MAอีxพีMAexpเป็นชั้นเรียนขนาดเล็กที่สุดที่มีขอบเขตต่ำสุดที่เป็นที่รู้จัก ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ) และOP2OP2เป็นขนาดเล็กที่สุดที่มีขอบเขตพหุนามต่ำกว่า ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/ ...... )
Alex Golovnev

คำตอบ:


9

มีหลายผลในวรรณคดีที่ระบุว่าเป็นชั้นหนึ่ง C ความพึงพอใจ SผมZE(nk)CSIZE(nk) สำหรับใด ๆ kkและมักจะเป็นตรงไปตรงมาแผ่นพวกเขาแสดงให้เห็นว่ารุ่นใด ๆ แทบจะไม่ขยาย superpolynomially ของไม่ได้อยู่ในโพลี}CP/พีโอล.YP/poly

ให้ฉันบอกว่าเป็นsuperpolynomial ผูกพันถ้ามันเป็นเวลา constructible และ(1)} ตัวอย่างเช่นเป็นซุปเปอร์โพลีโนเมียลที่ถูกผูกไว้ ในความเป็นจริงแสดงให้เห็นว่าการออกกำลังกายให้คำแนะนำว่าถ้าเป็นเสียงเดียวมากมายฟังก์ชันคำนวณใด ๆ ที่มีความผูกพัน superpolynomialดังกล่าวว่า(n)}:ยังไม่มีข้อความยังไม่มีข้อความf:NN(n)=nω(1)f(n)=nω(1)nเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบnnloglogloglognก.(n)g(n)f(n)nก.(n)f(n)ng(n)

ครั้งแรกที่แสดงให้เห็นว่า diagonalization โดยตรงสำหรับการใด ๆkอาร์กิวเมนต์เดียวกันให้:ΣP4SผมZE(nk)ΣP4SIZE(nk)kk

  • If f เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว Σ4-TผมME((n))P/พีโอล.YΣ4-TIME(f(n))P/poly.

    หลักฐานการร่าง: สำหรับใด ๆ nn, ปล่อย nCn เป็นวงจรแรกของขนาด 2(n)2f(n) ที่คำนวณฟังก์ชันบูลีน nn ตัวแปรที่ไม่สามารถคำนวณได้ด้วยวงจรขนาด <(n)<f(n). จากนั้นภาษาLL ที่กำหนดโดย xL|x|(x)=1xLC|x|(x)=1 โรงงาน

การปรับปรุงที่รู้จักกันดีระบุว่า S2PSผมZE(nk)S2PSIZE(nk) สำหรับใด ๆ kk. ในทำนองเดียวกัน

  • ถ้า f เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว S2-TผมME((n))P/พีโอล.YS2-TIME(f(n))P/poly.

    หลักฐานภาพร่าง: ถ้าไม่เช่นนั้นโดยเฉพาะ ยังไม่มีข้อความPS2PP/พีโอล.YNPS2PP/polyดังนั้น PH=S2PPH=S2P. โดยการโต้เถียงΣ4-TผมME((n))S2-TผมME((n))P/พีโอล.YΣ4-TIME(f(n))S2-TIME(f(n))P/polyไม่ใช่แล้ว

ชั้นเรียนที่หลงลืมจะดียิ่งขึ้น โดยคำนึงถึงการคัดค้านที่เกิดขึ้นโดย Apoorva Bhagwat ให้ยังไม่มีข้อความLผมn=ยังไม่มีข้อความTผมME(n)NLin=NTIME(n). แล้วก็ยังไม่มีข้อความLผมnO2PSผมZE(nk)NLinO2PSIZE(nk) สำหรับใด ๆ kkและอาร์กิวเมนต์เดียวกันให้ผล:

  • ถ้า f เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว ยังไม่มีข้อความLผมnO2-TผมME((n))P/พีโอล.YNLinO2-TIME(f(n))P/poly.

    หลักฐานการร่าง: ถ้า ยังไม่มีข้อความLผมnP/พีโอล.YNLinP/polyจากนั้นโดยการขยาย ยังไม่มีข้อความPP/พีโอล.YNPP/polyซึ่งแสดงถึง PH=O2PPH=O2P. จากนั้นเราดำเนินการตามเดิม

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับ MA ส่วนผลที่มักกล่าวถึงนั้นMA-EXPP/พีโอล.YMA-EXPP/polyเป็น overkill Santhanamพิสูจน์แล้ว พีRโอม.ผมsอี-MAพีRโอม.ผมsอี-โอMASผมZE(nk)

promise-MApromise-coMASIZE(nk)
สำหรับใด ๆ kkและอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันให้:
  • ถ้า f เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว พีRโอม.ผมsอี-MA-TผมME((n))พีRโอม.ผมsอี-โอMA-TผมME((n))P/พีโอล.Y.

    promise-MA-TIME(f(n))promise-coMA-TIME(f(n))P/poly.

    หลักฐานภาพร่าง: โดยเล็มม่า 11 ของ Santhanam (ซึ่งเป็นเวอร์ชั่นมาตรฐานที่คมชัดของข้อเท็จจริงนั้น PSPAE=ผมPPSPACE=IP ด้วย PSPACE prover) มีภาษาที่สมบูรณ์แบบ PSPACE LL และ oracle TM แบบสุ่มเวลา MM เช่นนั้นในการป้อนข้อมูล xx, MM เพียงแค่ถามคำถามพยากรณ์ความยาว |x||x|; ถ้าxLxLจากนั้น ML(x)ML(x) ยอมรับด้วยความน่าจะเป็น 11; และถ้าxLxLจากนั้นสำหรับ oracle ใด ๆ AA, MA(x)MA(x) ยอมรับด้วยความน่าจะเป็น 1/21/2.

    สำหรับพหุนามโมโนโทนที่เหมาะสม พีp, ปล่อย A=(AYES,Aยังไม่มีข้อความO)A=(AYES,ANO) เป็นปัญหาสัญญาที่กำหนดโดย (x,s)AYESวงจรไฟฟ้า (พี(||+|x|)(|s|)ราคา[M(x) ยอมรับ]=1),(x,s)Aยังไม่มีข้อความOYESวงจรไฟฟ้า (พี(||+|x|)(|s|)ราคา[M(x) ยอมรับ]1/2).

    (x,s)AYES(x,s)ANOcircuit C(p(|C|+|x|)f(|s|)Pr[MC(x) accepts]=1),circuit C(p(|C|+|x|)f(|s|)Pr[MC(x) accepts]1/2).
    ปล่อย ชั่วโมง(x)h(x) เป็นการลดพหุนามของ LL เพื่อเสริมและให้ B=(BYES,Bยังไม่มีข้อความO)B=(BYES,BNO) เป็นปัญหาสัญญา (x,s)BYES(x,s)AYES(ชั่วโมง(x),s)Aยังไม่มีข้อความO,(x,s)Bยังไม่มีข้อความOYES(x,s)Aยังไม่มีข้อความO(ชั่วโมง(x),s)AYES.
    (x,s)BYES(x,s)BNO(x,s)AYES(h(x),s)ANO,(x,s)ANO(h(x),s)AYES.
    ถ้า พี(n)p(n) มีขนาดใหญ่เหมาะสม BพีRโอม.ผมsอี-MA-TผมME((n))พีRโอม.ผมsอี-โอMA-TผมME((n)).
    Bpromise-MA-TIME(f(n))promise-coMA-TIME(f(n)).
    ดังนั้นให้เราสมมติว่าขัดแย้งกัน BB มีวงจรขนาดพหุนามพูด BSผมZE(nk)BSIZE(nk). ปล่อยs(n)s(n) แสดงขนาดของการคำนวณวงจรที่เล็กที่สุด LL ในอินพุตของความยาว nnและใส่ เสื้อ(n)=-1(พี(s(n)))t(n)=f1(p(s(n))); อย่างแม่นยำมากขึ้น, เสื้อ(n)=นาที{ม.:พี(s(n))(ม.)}.
    t(n)=min{m:p(s(n))f(m)}.
    แล้วก็ x(x,1เสื้อ(n))x(x,1t(n)) เป็นการลดลงของ LL ถึง BBดังนั้น LSผมZE(เสื้อ(n)k)LSIZE(t(n)k), ซึ่งหมายความว่า s(n)เสื้อ(n)k.
    s(n)t(n)k.
    แต่ตั้งแต่ f มีค่าพหุนามเรามี เสื้อ(n)=s(n)โอ(1)t(n)=s(n)o(1). สิ่งนี้ให้ความขัดแย้งกับnn มีขนาดใหญ่พอสมควร

ถ้าเราต้องการผลที่มีรุ่นที่ไม่ใช่สัญญาของ MA, Miltersen, Vinodchandran และวาตานาเบะได้รับการพิสูจน์ MA-TผมME((n))โอMA-TผมME((n))P/พีโอล.Y

MA-TIME(f(n))coMA-TIME(f(n))P/poly
สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังครึ่งตัวf. เราสามารถปรับปรุงได้สองวิธี: อันดับแรกมันเก็บไว้1k1k- ขอบเขต จำกัด สำหรับค่าคงที่ใด ๆ kkและที่สองมันถือเป็นคลาสที่หลงลืม ที่นี่1k1kฟังก์ชั่น - เอ็กซ์โพเนนเชียลคือฟังก์ชั่นประมาณ f ดังนั้น k=expffk=exp. See the Miltersen–Vinodchandran–Watanabe paper and references therein for the precise definition; it involves a well-behaved family of well-behaved functions eα(x)eα(x), αR+αR+, such that e0(x)=xe0(x)=x, e1(x)=ex1e1(x)=ex1, and eα+β=eαeβeα+β=eαeβ. Also, if f(n)eα(poly(n))f(n)eα(poly(n)) and g(n)eβ(poly(n))g(n)eβ(poly(n)), then f(g(n))eα+β(poly(n))f(g(n))eα+β(poly(n)). Then we have:
  • OMA-TIME(eα)coOMA-TIME(eα)P/polyOMA-TIME(eα)coOMA-TIME(eα)P/poly for any α>0α>0.

    Proof sketch: Assume otherwise. Fix an integer kk such that 1/k<α1/k<α. Let me abbreviate OcOMT(f)=OMA-TIME(poly(f(poly(n)))coOMA-TIME(poly(f(poly(n))).

    OcOMT(f)=OMA-TIME(poly(f(poly(n)))coOMA-TIME(poly(f(poly(n))).
    By padding, we have OcOMT(eβ+1/k)SIZE(eβ(poly(n)))
    OcOMT(eβ+1/k)SIZE(eβ(poly(n)))(1)
    for any β0β0. Moreover, using e.g. Santhanam’s Lemma 11 above, we have the implication PSPACESIZE(eβ(poly(n)))PSPACEOcOMT(eβ).
    PSPACESIZE(eβ(poly(n)))PSPACEOcOMT(eβ).(2)
    Since trivially PSPACEOcOMT(e1)PSPACEOcOMT(e1), a repeated application of (1) and (2) shows PSPACESIZE(e(k1)/k(poly(n)))PSPACESIZE(e(k1)/k(poly(n))), PSPACEOcOMT(e(k1)/k)PSPACEOcOMT(e(k1)/k), PSPACESIZE(e(k2)/k(poly(n)))PSPACESIZE(e(k2)/k(poly(n))), PSPACEOcOMT(e(k2)/k)PSPACEOcOMT(e(k2)/k), and so on. After kk steps, we reach PSPACEP/polyandPSPACE=OMAcoOMA.
    PSPACEP/polyandPSPACE=OMAcoOMA.
    Using padding once more, we get DSPACE(e1/k)OcOMT(e1/k)P/poly,
    DSPACE(e1/k)OcOMT(e1/k)P/poly,
    which contradicts the results above, as e1/ke1/k is a superpolynomial bound.

4

Since nobody posted an answer, I will answer the question myself with the comments posted in the original question. Thanks to Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan and Alex Golovnev.

MAexpMAexp seems to be the smallest uniform class with known superpolynomial lower bounds.

OP2OP2 seems to be the smallest known class not having circuits of size nknk for each fixed kk.

By diagonalization, it follows that for any super-polynomial (and space-constructible) function ss, DSPACE[s(n)]DSPACE[s(n)] doesn't have polynomial-size circuits. PSPACEPSPACE versus P/polyP/poly is still open.

P/polyP/poly is closed under complement, so it contains NEXPNEXP if and only if it contains coNEXPcoNEXP.


4

Please correct me if I'm wrong, but as far as I can tell, we actually don't know a fixed-polynomial size lower bound for OP2OP2. This is because the usual Karp-Lipton argument doesn't go through for OP2OP2, since we don't know whether NPOP2NPOP2 (in fact, this is equivalent to asking whether NPP/polyNPP/poly). However, we do know that NPOP2NPOP2 isn't contained in SIZE(nk)SIZE(nk) for any kk, as shown by Chakaravarthy and Roy.

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.