มีหลายผลในวรรณคดีที่ระบุว่าเป็นชั้นหนึ่ง คC ความพึงพอใจ ค⊈SผมZE(nk)C⊈SIZE(nk) สำหรับใด ๆ kkและมักจะเป็นตรงไปตรงมาแผ่นพวกเขาแสดงให้เห็นว่ารุ่นใด ๆ แทบจะไม่ขยาย superpolynomially ของไม่ได้อยู่ในโพลี}คCP/พีโอล.YP/poly
ให้ฉันบอกว่าเป็นsuperpolynomial ผูกพันถ้ามันเป็นเวลา constructible และ(1)} ตัวอย่างเช่นเป็นซุปเปอร์โพลีโนเมียลที่ถูกผูกไว้ ในความเป็นจริงแสดงให้เห็นว่าการออกกำลังกายให้คำแนะนำว่าถ้าเป็นเสียงเดียวมากมายฟังก์ชันคำนวณใด ๆ ที่มีความผูกพัน superpolynomialดังกล่าวว่า(n)}ฉ:ยังไม่มีข้อความ→ยังไม่มีข้อความf:N→Nฉ(n)=nω(1)f(n)=nω(1)nเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบnnloglogloglognก.(n)g(n)ฉfฉ(n)≤nก.(n)f(n)≤ng(n)
ครั้งแรกที่แสดงให้เห็นว่า diagonalization โดยตรงสำหรับการใด ๆkอาร์กิวเมนต์เดียวกันให้:ΣP4⊈SผมZE(nk)ΣP4⊈SIZE(nk)kk
If ฉf เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว Σ4-TผมME(ฉ(n))⊈P/พีโอล.YΣ4-TIME(f(n))⊈P/poly.
หลักฐานการร่าง: สำหรับใด ๆ nn, ปล่อย คnCn เป็นวงจรแรกของขนาด 2ฉ(n)2f(n) ที่คำนวณฟังก์ชันบูลีน nn ตัวแปรที่ไม่สามารถคำนวณได้ด้วยวงจรขนาด <ฉ(n)<f(n). จากนั้นภาษาLL ที่กำหนดโดย x∈L⟺ค|x|(x)=1x∈L⟺C|x|(x)=1 โรงงาน
การปรับปรุงที่รู้จักกันดีระบุว่า S2P⊈SผมZE(nk)S2P⊈SIZE(nk) สำหรับใด ๆ kk. ในทำนองเดียวกัน
ถ้า ฉf เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว S2-TผมME(ฉ(n))⊈P/พีโอล.YS2-TIME(f(n))⊈P/poly.
หลักฐานภาพร่าง: ถ้าไม่เช่นนั้นโดยเฉพาะ ยังไม่มีข้อความP⊆S2P⊆P/พีโอล.YNP⊆S2P⊆P/polyดังนั้น PH=S2PPH=S2P. โดยการโต้เถียงΣ4-TผมME(ฉ(n))⊆S2-TผมME(ฉ(n))⊆P/พีโอล.YΣ4-TIME(f(n))⊆S2-TIME(f(n))⊆P/polyไม่ใช่แล้ว
ชั้นเรียนที่หลงลืมจะดียิ่งขึ้น โดยคำนึงถึงการคัดค้านที่เกิดขึ้นโดย Apoorva Bhagwat ให้ยังไม่มีข้อความLผมn=ยังไม่มีข้อความTผมME(n)NLin=NTIME(n). แล้วก็ยังไม่มีข้อความLผมn∪O2P⊈SผมZE(nk)NLin∪O2P⊈SIZE(nk) สำหรับใด ๆ kkและอาร์กิวเมนต์เดียวกันให้ผล:
ถ้า ฉf เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว ยังไม่มีข้อความLผมn∪O2-TผมME(ฉ(n))⊈P/พีโอล.YNLin∪O2-TIME(f(n))⊈P/poly.
หลักฐานการร่าง: ถ้า ยังไม่มีข้อความLผมn⊆P/พีโอล.YNLin⊆P/polyจากนั้นโดยการขยาย ยังไม่มีข้อความP⊆P/พีโอล.YNP⊆P/polyซึ่งแสดงถึง PH=O2PPH=O2P. จากนั้นเราดำเนินการตามเดิม
นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับ MA ส่วนผลที่มักกล่าวถึงนั้นMA-EXP⊈P/พีโอล.YMA-EXP⊈P/polyเป็น overkill Santhanamพิสูจน์แล้ว
พีRโอม.ผมsอี-MA∩พีRโอม.ผมsอี-คโอMA⊈SผมZE(nk)
promise-MA∩promise-coMA⊈SIZE(nk)
สำหรับใด ๆ
kkและอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันให้:
ถ้า ฉf เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว
พีRโอม.ผมsอี-MA-TผมME(ฉ(n))∩พีRโอม.ผมsอี-คโอMA-TผมME(ฉ(n))⊈P/พีโอล.Y.
promise-MA-TIME(f(n))∩promise-coMA-TIME(f(n))⊈P/poly.
หลักฐานภาพร่าง: โดยเล็มม่า 11 ของ Santhanam (ซึ่งเป็นเวอร์ชั่นมาตรฐานที่คมชัดของข้อเท็จจริงนั้น PSPAคE=ผมPPSPACE=IP ด้วย PSPACE prover) มีภาษาที่สมบูรณ์แบบ PSPACE LL และ oracle TM แบบสุ่มเวลา MM เช่นนั้นในการป้อนข้อมูล xx, MM เพียงแค่ถามคำถามพยากรณ์ความยาว |x||x|; ถ้าx∈Lx∈Lจากนั้น ML(x)ML(x) ยอมรับด้วยความน่าจะเป็น 11; และถ้าx∉Lx∉Lจากนั้นสำหรับ oracle ใด ๆ AA, MA(x)MA(x) ยอมรับด้วยความน่าจะเป็น ≤1/2≤1/2.
สำหรับพหุนามโมโนโทนที่เหมาะสม พีp, ปล่อย A=(AYES,Aยังไม่มีข้อความO)A=(AYES,ANO) เป็นปัญหาสัญญาที่กำหนดโดย
(x,s)∈AYES⟺∃วงจรไฟฟ้า ค(พี(|ค|+|x|)≤ฉ(|s|)∧ราคา[Mค(x) ยอมรับ]=1),(x,s)∈Aยังไม่มีข้อความOYES⟺∀วงจรไฟฟ้า ค(พี(|ค|+|x|)≤ฉ(|s|)→ราคา[Mค(x) ยอมรับ]≤1/2).
(x,s)∈AYES(x,s)∈ANOYES⟺∃circuit C(p(|C|+|x|)≤f(|s|)∧Pr[MC(x) accepts]=1),⟺∀circuit C(p(|C|+|x|)≤f(|s|)→Pr[MC(x) accepts]≤1/2).
ปล่อย ชั่วโมง(x)h(x) เป็นการลดพหุนามของ LL เพื่อเสริมและให้ B=(BYES,Bยังไม่มีข้อความO)B=(BYES,BNO) เป็นปัญหาสัญญา
(x,s)∈BYES⟺(x,s)∈AYES∧(ชั่วโมง(x),s)∈Aยังไม่มีข้อความO,(x,s)∈Bยังไม่มีข้อความOYES⟺(x,s)∈Aยังไม่มีข้อความO∧(ชั่วโมง(x),s)∈AYES.(x,s)∈BYES(x,s)∈BNOYES⟺(x,s)∈AYES∧(h(x),s)∈ANO,⟺(x,s)∈ANO∧(h(x),s)∈AYES.
ถ้า พี(n)p(n) มีขนาดใหญ่เหมาะสม
B∈พีRโอม.ผมsอี-MA-TผมME(ฉ(n))∩พีRโอม.ผมsอี-คโอMA-TผมME(ฉ(n)).B∈promise-MA-TIME(f(n))∩promise-coMA-TIME(f(n)).
ดังนั้นให้เราสมมติว่าขัดแย้งกัน BB มีวงจรขนาดพหุนามพูด B∈SผมZE(nk)B∈SIZE(nk). ปล่อยs(n)s(n) แสดงขนาดของการคำนวณวงจรที่เล็กที่สุด LL ในอินพุตของความยาว nnและใส่ เสื้อ(n)=ฉ-1(พี(s(n)))t(n)=f−1(p(s(n))); อย่างแม่นยำมากขึ้น,
เสื้อ(n)=นาที{ม.:พี(s(n))≤ฉ(ม.)}.t(n)=min{m:p(s(n))≤f(m)}.
แล้วก็ x↦(x,1เสื้อ(n))x↦(x,1t(n)) เป็นการลดลงของ LL ถึง BBดังนั้น L∈SผมZE(เสื้อ(n)k)L∈SIZE(t(n)k), ซึ่งหมายความว่า
s(n)≤เสื้อ(n)k.s(n)≤t(n)k.
แต่ตั้งแต่ ฉf มีค่าพหุนามเรามี เสื้อ(n)=s(n)โอ(1)t(n)=s(n)o(1). สิ่งนี้ให้ความขัดแย้งกับnn มีขนาดใหญ่พอสมควร
ถ้าเราต้องการผลที่มีรุ่นที่ไม่ใช่สัญญาของ MA, Miltersen, Vinodchandran และวาตานาเบะได้รับการพิสูจน์
MA-TผมME(ฉ(n))∩คโอMA-TผมME(ฉ(n))⊈P/พีโอล.Y
MA-TIME(f(n))∩coMA-TIME(f(n))⊈P/poly
สำหรับฟังก์ชัน
เลขชี้กำลังครึ่งตัวฉf. เราสามารถปรับปรุงได้สองวิธี: อันดับแรกมันเก็บไว้
1k1k- ขอบเขต จำกัด สำหรับค่าคงที่ใด ๆ
kkและที่สองมันถือเป็นคลาสที่หลงลืม ที่นี่
1k1kฟังก์ชั่น - เอ็กซ์โพเนนเชียลคือฟังก์ชั่นประมาณ
ฉf ดังนั้น
ฉ∘⋯∘ฉ⏟k=expf∘⋯∘fk=exp. See the Miltersen–Vinodchandran–Watanabe paper and references therein for the precise definition; it involves a well-behaved family of well-behaved functions
eα(x)eα(x),
α∈R+α∈R+, such that
e0(x)=xe0(x)=x,
e1(x)=ex−1e1(x)=ex−1, and
eα+β=eα∘eβeα+β=eα∘eβ. Also, if
f(n)≤eα(poly(n))f(n)≤eα(poly(n)) and
g(n)≤eβ(poly(n))g(n)≤eβ(poly(n)), then
f(g(n))≤eα+β(poly(n))f(g(n))≤eα+β(poly(n)). Then we have:
OMA-TIME(eα)∩coOMA-TIME(eα)⊈P/polyOMA-TIME(eα)∩coOMA-TIME(eα)⊈P/poly for any α>0α>0.
Proof sketch: Assume otherwise. Fix an integer kk such that 1/k<α1/k<α. Let me abbreviate
OcOMT(f)=OMA-TIME(poly(f(poly(n)))∩coOMA-TIME(poly(f(poly(n))).
OcOMT(f)=OMA-TIME(poly(f(poly(n)))∩coOMA-TIME(poly(f(poly(n))).
By padding, we have
OcOMT(eβ+1/k)⊆SIZE(eβ(poly(n)))OcOMT(eβ+1/k)⊆SIZE(eβ(poly(n)))(1)
for any β≥0β≥0. Moreover, using e.g. Santhanam’s Lemma 11 above, we have the implication
PSPACE⊆SIZE(eβ(poly(n)))⟹PSPACE⊆OcOMT(eβ).PSPACE⊆SIZE(eβ(poly(n)))⟹PSPACE⊆OcOMT(eβ).(2)
Since trivially PSPACE⊆OcOMT(e1)PSPACE⊆OcOMT(e1), a repeated application of (1) and (2) shows PSPACE⊆SIZE(e(k−1)/k(poly(n)))PSPACE⊆SIZE(e(k−1)/k(poly(n))), PSPACE⊆OcOMT(e(k−1)/k)PSPACE⊆OcOMT(e(k−1)/k), PSPACE⊆SIZE(e(k−2)/k(poly(n)))PSPACE⊆SIZE(e(k−2)/k(poly(n))), PSPACE⊆OcOMT(e(k−2)/k)PSPACE⊆OcOMT(e(k−2)/k), and so on. After kk steps, we reach
PSPACE⊆P/polyandPSPACE=OMA∩coOMA.PSPACE⊆P/polyandPSPACE=OMA∩coOMA.
Using padding once more, we get
DSPACE(e1/k)⊆OcOMT(e1/k)⊆P/poly,DSPACE(e1/k)⊆OcOMT(e1/k)⊆P/poly,
which contradicts the results above, as e1/ke1/k is a superpolynomial bound.