P / Poly vs คลาสความซับซ้อนของชุด

ไม่ทราบว่ามี NEXP อยู่ใน P / poly หรือไม่ การพิสูจน์ว่า NEXP ไม่ได้อยู่ใน P / โพลีจะมีแอปพลิเคชันบางอย่างใน

1. คลาส C ที่เล็กที่สุดซึ่งเท่ากันสามารถพิสูจน์ได้ว่า C ไม่มีอยู่ใน P / poly คืออะไร?

2. จะแสดงว่าการร่วม NEXP ไม่ได้อยู่ใน P / poly มีความซับซ้อนทางทฤษฎีอื่น ๆ ตามมาเช่นในกรณี NEXP vs P / poly?

หมายเหตุ: ฉันรู้ว่า $SP_2$ เป็นที่รู้กันว่าไม่ควรมีอยู่ใน $Size[n^k]$ สำหรับค่าคงที่แต่ละค่าคงที่ $k$(นี่ก็แสดงให้เห็นสำหรับ MA พร้อมคำแนะนำ 1 บิต) แต่ในคำถามนี้ฉันไม่สนใจผลลัพธ์สำหรับการแก้ไข$k$. ฉันสนใจชั้นเรียนที่แตกต่างจาก P / Poly แม้ว่าชั้นเรียนเหล่านี้จะใหญ่มาก

$\let\mr\mathrm$มีหลายผลในวรรณคดีที่ระบุว่าเป็นชั้นหนึ่ง $C$ ความพึงพอใจ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ สำหรับใด ๆ $k$และมักจะเป็นตรงไปตรงมาแผ่นพวกเขาแสดงให้เห็นว่ารุ่นใด ๆ แทบจะไม่ขยาย superpolynomially ของไม่ได้อยู่ในโพลี}$C$$\mr{P/poly}$

ให้ฉันบอกว่าเป็นsuperpolynomial ผูกพันถ้ามันเป็นเวลา constructible และ(1)} ตัวอย่างเช่นเป็นซุปเปอร์โพลีโนเมียลที่ถูกผูกไว้ ในความเป็นจริงแสดงให้เห็นว่าการออกกำลังกายให้คำแนะนำว่าถ้าเป็นเสียงเดียวมากมายฟังก์ชันคำนวณใด ๆ ที่มีความผูกพัน superpolynomialดังกล่าวว่า(n)}$f\colon\mathbb N\to\mathbb N$$f(n)=n^{\omega(1)}$$n^{\log\log\log\log n}$$g(n)$$f$$f(n)\le n^{g(n)}$

ครั้งแรกที่แสดงให้เห็นว่า diagonalization โดยตรงสำหรับการใด ๆkอาร์กิวเมนต์เดียวกันให้:$\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$$k$

• If $f$ เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$.

  หลักฐานการร่าง: สำหรับใด ๆ $n$, ปล่อย $C_n$ เป็นวงจรแรกของขนาด $2f(n)$ ที่คำนวณฟังก์ชันบูลีน $n$ ตัวแปรที่ไม่สามารถคำนวณได้ด้วยวงจรขนาด $<f(n)$. จากนั้นภาษา$L$ ที่กำหนดโดย $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$ โรงงาน

การปรับปรุงที่รู้จักกันดีระบุว่า $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ สำหรับใด ๆ $k$. ในทำนองเดียวกัน

• ถ้า $f$ เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$.

  หลักฐานภาพร่าง: ถ้าไม่เช่นนั้นโดยเฉพาะ $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ดังนั้น $\mr{PH}=S_2\mr P$. โดยการโต้เถียง$\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$ไม่ใช่แล้ว

ชั้นเรียนที่หลงลืมจะดียิ่งขึ้น โดยคำนึงถึงการคัดค้านที่เกิดขึ้นโดย Apoorva Bhagwat ให้$\mr{NLin=NTIME}(n)$. แล้วก็$\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ สำหรับใด ๆ $k$และอาร์กิวเมนต์เดียวกันให้ผล:

• ถ้า $f$ เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$.

  หลักฐานการร่าง: ถ้า $\mr{NLin\subseteq P/poly}$จากนั้นโดยการขยาย $\mr{NP\subseteq P/poly}$ซึ่งแสดงถึง $\mr{PH}=O_2\mr P$. จากนั้นเราดำเนินการตามเดิม

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับ MA ส่วนผลที่มักกล่าวถึงนั้น$\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$เป็น overkill Santhanamพิสูจน์แล้ว

$$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$$ สำหรับใด ๆ $k$และอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันให้:

• ถ้า $f$ เป็น superpolynomial ใด ๆ ที่ถูกผูกไว้แล้ว

  $$\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$$

  หลักฐานภาพร่าง: โดยเล็มม่า 11 ของ Santhanam (ซึ่งเป็นเวอร์ชั่นมาตรฐานที่คมชัดของข้อเท็จจริงนั้น $\mr{PSPACE=IP}$ ด้วย PSPACE prover) มีภาษาที่สมบูรณ์แบบ PSPACE $L$ และ oracle TM แบบสุ่มเวลา $M$ เช่นนั้นในการป้อนข้อมูล $x$, $M$ เพียงแค่ถามคำถามพยากรณ์ความยาว $|x|$; ถ้า$x\in L$จากนั้น $M^L(x)$ ยอมรับด้วยความน่าจะเป็น $1$; และถ้า$x\notin L$จากนั้นสำหรับ oracle ใด ๆ $A$, $M^A(x)$ ยอมรับด้วยความน่าจะเป็น $\le1/2$.

  สำหรับพหุนามโมโนโทนที่เหมาะสม $p$, ปล่อย $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$ เป็นปัญหาสัญญาที่กำหนดโดย

  $$\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$$ ปล่อย $h(x)$ เป็นการลดพหุนามของ $L$ เพื่อเสริมและให้ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ เป็นปัญหาสัญญา $$\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$$ ถ้า $p(n)$ มีขนาดใหญ่เหมาะสม $$B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$$ ดังนั้นให้เราสมมติว่าขัดแย้งกัน $B$ มีวงจรขนาดพหุนามพูด $B\in\mr{SIZE}(n^k)$. ปล่อย$s(n)$ แสดงขนาดของการคำนวณวงจรที่เล็กที่สุด $L$ ในอินพุตของความยาว $n$และใส่ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$; อย่างแม่นยำมากขึ้น, $$t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$$ แล้วก็ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ เป็นการลดลงของ $L$ ถึง $B$ดังนั้น $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$, ซึ่งหมายความว่า $$s(n)\le t(n)^k.$$ แต่ตั้งแต่ $f$ มีค่าพหุนามเรามี $t(n)=s(n)^{o(1)}$. สิ่งนี้ให้ความขัดแย้งกับ$n$ มีขนาดใหญ่พอสมควร

ถ้าเราต้องการผลที่มีรุ่นที่ไม่ใช่สัญญาของ MA, Miltersen, Vinodchandran และวาตานาเบะได้รับการพิสูจน์

$$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$$ สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังครึ่งตัว$f$. เราสามารถปรับปรุงได้สองวิธี: อันดับแรกมันเก็บไว้$\tfrac1k$- ขอบเขต จำกัด สำหรับค่าคงที่ใด ๆ $k$และที่สองมันถือเป็นคลาสที่หลงลืม ที่นี่$\tfrac1k$ฟังก์ชั่น - เอ็กซ์โพเนนเชียลคือฟังก์ชั่นประมาณ $f$ ดังนั้น $\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$. See the Miltersen–Vinodchandran–Watanabe paper and references therein for the precise definition; it involves a well-behaved family of well-behaved functions $e_\alpha(x)$, $\alpha\in\mathbb R_+$, such that $e_0(x)=x$, $e_1(x)=e^x-1$, and $e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$. Also, if $f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$ and $g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$, then $f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$. Then we have:

• $\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ for any $\alpha>0$.

  Proof sketch: Assume otherwise. Fix an integer $k$ such that $1/k<\alpha$. Let me abbreviate

  $$\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$$ By padding, we have $$\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$$ for any $\beta\ge0$. Moreover, using e.g. Santhanam’s Lemma 11 above, we have the implication $$\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$$ Since trivially $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$, a repeated application of (1) and (2) shows $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$, $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$, $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$, $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$, and so on. After $k$ steps, we reach $$\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$$ Using padding once more, we get $$\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$$ which contradicts the results above, as $e_{1/k}$ is a superpolynomial bound.

Since nobody posted an answer, I will answer the question myself with the comments posted in the original question. Thanks to Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan and Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ seems to be the smallest uniform class with known superpolynomial lower bounds.

$O_2^P$ seems to be the smallest known class not having circuits of size $n^k$ for each fixed $k$.

By diagonalization, it follows that for any super-polynomial (and space-constructible) function $s$, $DSPACE[s(n)]$ doesn't have polynomial-size circuits. $PSPACE$ versus $P/poly$ is still open.

$P/poly$ is closed under complement, so it contains $NEXP$ if and only if it contains $coNEXP$.

Please correct me if I'm wrong, but as far as I can tell, we actually don't know a fixed-polynomial size lower bound for $O_2^P$. This is because the usual Karp-Lipton argument doesn't go through for $O_2^P$, since we don't know whether $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ (in fact, this is equivalent to asking whether $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$). However, we do know that $\textsf{NP}^{O_2^P}$ isn't contained in $\textsf{SIZE}(n^k)$ for any $k$, as shown by Chakaravarthy and Roy.