ความเชื่อผิด ๆ ทั่วไปทางวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

แก้ไข AT 10/12/08:

ฉันจะพยายามแก้ไขคำถามเพื่อให้ผู้คนสนใจแบ่งปันความคิดเห็นมากขึ้น เราต้องการความช่วยเหลือของคุณ!

โพสต์นี้เป็นแรงบันดาลใจโดยหนึ่งในโม: ตัวอย่างของความเชื่อผิด ๆ ที่พบบ่อยในวิชาคณิตศาสตร์ รายการใหญ่ ๆ บางครั้งสร้างคำตอบจำนวนมากซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ควบคุมได้ยาก แต่หลังจากความสำเร็จของการโพสต์ที่เกี่ยวข้องใน MO ฉันเชื่อว่ามันจะเป็นประโยชน์ในการแสดงรายการความเชื่อที่ผิด ๆ ทั่วไปใน TCS

ถึงกระนั้นเนื่องจากเว็บไซต์ถูกออกแบบมาเพื่อตอบคำถามระดับการวิจัยตัวอย่างเช่นหมายถึงเวลาที่ไม่ใช่พหุนามไม่ควรอยู่ในรายการ ในขณะเดียวกันเราต้องการตัวอย่างที่อาจไม่ยาก แต่หากไม่มีรายละเอียดก็ดูสมเหตุสมผลเช่นกัน เราต้องการให้ตัวอย่างเป็นทางการศึกษาและมักจะปรากฏขึ้นเมื่อเรียนวิชานี้ในครั้งแรก$\mathsf{NP}$

ตัวอย่างของความเชื่อที่ผิด ๆ ทั่วไปในวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีมีอะไรบ้างที่ปรากฏแก่ผู้ที่กำลังศึกษาอยู่ในพื้นที่นี้

จะแม่นยำเราต้องการตัวอย่างแตกต่างจากผลที่น่าแปลกใจและผล counterintuitiveใน TCS; ผลลัพธ์ประเภทนี้ทำให้ผู้คนยากที่จะเชื่อ แต่เป็นจริง ที่นี่เรากำลังขอตัวอย่างที่น่าแปลกใจที่ผู้คนอาจคิดว่ามันเป็นความจริงในแวบแรก แต่หลังจากที่คิดลึกลงไปว่ามีความผิดเกิดขึ้นภายใน

เป็นตัวอย่างของคำตอบที่ถูกต้องในรายการสิ่งนี้มาจากเขตข้อมูลของอัลกอริธึมและทฤษฎีกราฟ:

สำหรับ -node กราฟเป็น -edge คั่นเป็นส่วนหนึ่งของขอบของขนาดที่โหนดของสามารถพาร์ทิชันออกเป็นสองส่วนที่ไม่ใช่ที่อยู่ติดกันแต่ละประกอบด้วยที่มากที่สุดโหนด . เรามี "บทแทรก" ดังต่อไปนี้:G k S k G ∖ S 3 n /$n$$G$$k$$S$$k$$G \setminus S$$3n/4$

ต้นไม้มีตัวคั่นแบบ 1 ขอบ

ขวา?

นี่เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับเรขาคณิตการคำนวณ แต่มีถิ่นอื่น: อัลกอริธึมสำหรับแรมจริงสามารถถ่ายโอนไปยัง RAM จำนวนเต็ม (สำหรับการ จำกัด จำนวนเต็มของปัญหา) โดยไม่สูญเสียประสิทธิภาพ ตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับคือการอ้าง“กำจัดแบบเกาส์ทำงานในเวลา.” ในความเป็นจริงคำสั่งกำจัดประมาทสามารถผลิตจำนวนเต็มกับบิตหลายชี้แจง$O(n^3)$

ยิ่งแย่ไปกว่านั้น แต่ยังเป็นเรื่องธรรมดาที่น่าเสียดาย: อัลกอริธึมสำหรับแรมจริงที่มีฟังก์ชั่นตั้งพื้นสามารถถ่ายโอนไปยัง RAM จำนวนเต็มได้โดยไม่สูญเสียประสิทธิภาพ ในความเป็นจริงพื้นจริง-RAM + สามารถแก้ปัญหาใด ๆ ใน PSPACE หรือ #P ในจำนวนพหุนามของขั้นตอน

ฉันเพิ่งถูกจับตำนานอื่นซึ่งมีส่วนร่วมโดย @ XXYYXX คำตอบของการโพสต์นี้ :

• ปัญหา X คือยากถ้ามีการลดเวลาพหุนาม (หรือ, logspace) จากปัญหาถึง XN $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$
• สมมติว่าสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล 3-SAT ไม่มีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลย่อย นอกจากนี้ 3 SAT อยู่ใน{}$\mathsf{NP}$
• ดังนั้นปัญหาเกี่ยวกับ X จึงมีอัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล มิฉะนั้นอัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับ X + a การลดเวลาแบบพหุนาม = อัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลย่อยสำหรับ 3-SAT$\mathsf{NP}$

แต่เรามีอัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับปัญหา NP-hard บางอย่าง

ความเชื่อผิด ๆ ที่ได้รับความนิยมในปีนี้และมีการบอกหลายครั้งเมื่อมีคนพยายามอธิบายปัญหาทั้งหมดของเนื่องจากได้รับการอธิบายอย่างมีประสิทธิภาพ:$P \neq NP$$P$

"ถ้าจากนั้นเราสามารถแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพหากไม่เราไม่สามารถ"$P=NP$

หากจะสามารถแก้ไขได้ในแล้วPฉันไม่คิดว่าใครจะนึกถึงการใช้อัลกอริทึมนี้O ( n g o o g o l p l e x ) P = N $3SAT$$O(n^{googolplex})$$P=NP$

ถ้าเรายังสามารถมีอัลกอริทึมสำหรับที่ทำงานในซึ่งมีขนาดเล็กกว่าสำหรับ{32} คนส่วนใหญ่จะมีความสุขมากกว่าที่จะสามารถแก้ปัญหาสำหรับ 4 พันล้านเมืองที่รวดเร็วT S P n บันทึก( ล็อกn ) n 5 n ≤ 2 32 T S $P \neq NP$$TSP$$n^{\log(\log n)}$$n^{5}$$n\leq2^{32}$$TSP$

นี่เป็นความเชื่อที่ผิดในคณิตศาสตร์ แต่เกิดขึ้นบ่อยครั้งในบริบทของ TCS: หากตัวแปรสุ่มและเป็นอิสระจากนั้นเงื่อนไขบนจะเป็นอิสระ (false แม้ว่าจะไม่ขึ้นกับทั้งและ )Y Z Z X $X$$Y$$Z$$Z$$X$$Y$

การคำนวณแบบกระจาย = การคำนวณที่มีประสิทธิภาพสูงแบบกระจาย (กลุ่มกริด, เมฆ, seti @ home, ... )

อัลกอริทึมแบบกระจาย = อัลกอริทึมสำหรับระบบเหล่านี้

ผู้สปอยเลอร์:ถ้าสิ่งนี้ฟังดูไม่เหมือน "ความเชื่อที่ผิด" ฉันขอแนะนำให้คุณดูการประชุมเช่น PODC และ DISC และดูว่าคนงานประเภทใดกำลังทำจริง ๆ เมื่อพวกเขาศึกษาแง่มุมทางทฤษฎีของการคำนวณแบบกระจาย

การตั้งค่าปัญหาโดยทั่วไปมีดังต่อไปนี้: เรามีวงจรที่มี nodes; โหนดจะมีป้ายกำกับพร้อมตัวระบุที่ไม่ซ้ำกันจากชุด ; โหนดจะถูกกำหนดและพวกเขาแลกเปลี่ยนข้อความกับแต่ละอื่น ๆ ในลักษณะที่ซิงโคร ต้องการการสื่อสารแบบซิงโครนัสกี่รอบ (เป็นฟังก์ชันของ ) เพื่อค้นหาชุดอิสระสูงสุด จำเป็นต้องมีกี่รอบเพื่อค้นหาชุดอิสระที่มีอย่างน้อยโหนด [คำตอบของคำถามทั้งสองนี้คือค้นพบในปี 2529-2551]{ 1 , 2 , . . , โพลี( n ) } n n / 1000 Θ ( บันทึก∗ n $n$$\{1,2,...,\text{poly}(n)\}$$n$$n/1000$$\Theta(\log^* n)$

นั่นคือคนมักจะศึกษาปัญหาที่ไม่สำคัญจากมุมมองของอัลกอริธึมส่วนกลางและมีความเหมือนกันเล็กน้อยกับการประมวลผลแบบซูเปอร์คอมพิวเตอร์หรือประสิทธิภาพสูง ประเด็นก็คือไม่ได้เร่งการคำนวณแบบรวมศูนย์โดยการใช้โปรเซสเซอร์เพิ่มเติมหรืออะไรทำนองนั้น

เป้าหมายคือการสร้างทฤษฎีความซับซ้อนโดยการจำแนกปัญหากราฟพื้นฐานตามความซับซ้อนในการคำนวณของพวกเขา (เช่นจำเป็นต้องใช้รอบการซิงโครนัสกี่รอบ; ปัญหาเช่นชุดอิสระในรอบอาจดูเหมือนไม่มีจุดหมาย แต่พวกเขาทำหน้าที่คล้ายกับ 3-SAT ในการคำนวณแบบรวมศูนย์: เป็นจุดเริ่มต้นที่มีประโยชน์มากในการลด สำหรับแอพพลิเคชั่นที่เป็นรูปธรรมในโลกแห่งความเป็นจริงมันสมเหตุสมผลมากกว่าที่จะดูอุปกรณ์เช่นเราเตอร์และสวิตช์ในเครือข่ายการสื่อสารแทนที่จะเป็นคอมพิวเตอร์ในระบบกริดและคลัสเตอร์

ความเชื่อที่ผิด ๆ นี้ไม่เป็นอันตรายอย่างสิ้นเชิง อันที่จริงแล้วมันค่อนข้างยากที่จะขายงานที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีของอัลกอริทึมแบบกระจายให้กับผู้ชม TCS ทั่วไป ฉันได้รับรายงานผู้ตัดสินเฮฮาจากการประชุม TCS ...

$T(n) = 2T(n/2) + O(n \log n)$$T(1) = 1$

$n=1$$n$

$\begin{align} T(n) &= 2 \cdot T(n/2) + O(n \log n) \\ &= 2 \cdot O(n/2 \log n/2) + O(n \log n) \\ &= O(n \log n/2) + O(n \log n) \\ &= O(n \log n) \\ \end{align}$

QED (มันคืออะไร)

$M$$T(n)$$M_o$$O(T(n)\log T(n))$

• $M_o$
• $M_o$$\Theta(T(n)\log T(n))$

(ดูโพสต์ของ rjlipton นี้เป็นตัวอย่าง)

$EXP-TIME\neq NEXP-TIME$$\Theta(T(n)\log T(n))$$M_o$$M_o$$O(T(n)\log T(n))$$T:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$\Theta(T(n)\log T(n))$$O(T(n)\log T(n))$$EXP-TIME=NEXP-TIME$

หลักฐานการอ้างสิทธิ์นี้คล้ายคลึงกับหลักฐานในคำตอบของไตรมาสที่ 1 ที่นี่ดังนั้นเราจะให้ความคิดหลักเท่านั้น

$L\in NEXP-TIME$$L\subseteq\{0,1\}^*$$k\in\mathbb{N}$$L$$M$$2^{n^k}$$M$

ตอนนี้สมมติว่าบางเครื่องทัวริงลบเลือนทำงานในเวลา(n)) จากนั้นสามารถสร้างเวลาได้อย่างสมบูรณ์$g(n)=\Theta(f(n)\log f(n))$$g$

ตอนนี้อัลกอริทึมต่อไปนี้แก้ :$L$

• บนอินพุต , ให้เป็นตัวเลขที่มีการแทนค่าฐานสอง (ศูนย์) มันตามที่ขวา)n x 00 … 0 | x | k - 1 x = (ตัวแรก  ⌊ k $x$$n$$x00\ldots 0$$|x|^{k-1}$$x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
• $g(n)$$g(n)$$g(n)$$x\in L$$x\not\in L$$n$$g$

$L$$L\in NEXP-TIME$$EXP-TIME=NEXP-TIME$

นี่คือสองเซ็นต์ของฉัน:

$\mathsf{RL}$$\mathsf{RP}$$M$

• $M$$1/2$
• $M$$1$

นอกจากนี้เครื่องหยุดเสมอ

คำจำกัดความถูกต้องหรือไม่ (ไม่มี)

$f$$g$$1^n$$f(n)$$g(n)$$f(n+1)=o(g(n))$

$NTIME(f(n))\subsetneq NTIME(g(n))$

ดีลำดับชั้นจริงให้เพียงntime เราจะต้องเช่นสำหรับ(n)) สำหรับฟังก์ชั่นเช่นนั้น ,เป็นเรื่องธรรมดามาก แต่การพูดอย่างเคร่งครัดลำดับชั้นของเวลา nondeterministic มีการกล่าวถึงหลายครั้งอย่างเผินๆ$NTIME(g(n)) - NTIME(f(n))\neq\emptyset$$f(n)\leq g(n)$$NTIME(f(n))\subsetneq NTIME(g(n))$$f,g$$f(n+1)=o(g(n))$$f(n)\leq g(n)$

หากต้องการแสดงให้เห็นว่าไม่ได้ถือครองไว้สำหรับเต็มเวลาที่สร้างได้ทั้งหมด st , กำหนด และ 2 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าและอย่างเต็มที่เวลา constructible และ(n)) จากลำดับชั้นเวลา nondeterministic เรารู้ว่ามีบางภาษามากกว่า\} กำหนด $NTIME(f(n))\subseteq NTIME(g(n))$$f,g$$f(n+1)=o(g(n))$

มันตามที่(n)) มันง่ายที่จะเห็นว่าจากตามหลังซึ่งไม่เป็นความจริง ดังนั้น(n))$L_1\in NTIME(f(n))$$L_1\in NTIME(g(n))$$L\in NTIME((n+1)^2)$$L_1\in NTIME(f(n))-NTIME(g(n))$

ผมเคยได้ยินบ่อยระบุว่าองอาจ-Vazirani กล่าวว่าสุ่มลดหรือว่า , หรือว่า{UP} โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้จะบ่งบอกว่าถ้าองอาจ-Vazirani อาจจะ derandomized แล้ว{UP} แต่ในความเป็นจริงองอาจ-Vazirani กล่าวว่า{PromiseUP}}$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{RP}^{\mathsf{UP}}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{R} \cdot \mathsf{UP}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{RP}^{\mathsf{PromiseUP}}$

ความเชื่อที่ผิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด:เป็นคลาสของภาษามีตัวตรวจสอบเวลาแบบโพลี nondeterministic เช่นนั้น iff มีพยานพิเศษ การแก้ไขคือผู้ตรวจสอบจะต้องตอบสนองความหมายของคุณสมบัติความหมายว่าในทุกกรณีมีพยานอย่างน้อยหนึ่งคน คำนิยามดังกล่าวข้างต้นโดยไม่มีการแก้ไขที่เป็นความหมายของ{สหรัฐฯ} แต่เป็นมากแตกต่างจาก : ยกตัวอย่างเช่น{สหรัฐฯ}$\mathsf{UP}$$L$$x \in L$$\mathsf{US}$$\mathsf{US}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{coNP} \subseteq \mathsf{US}$

หากเป็นค่าที่คาดหวังของเราคาดหวังว่าจะเกิดขึ้นจริง$\mu${ X = μ $X$$\{X=\mu\}$