แก้ปัญหากราฟยากที่อธิบายไม่ได้

ในแง่ของผลล่าสุดของ Arora, Barak และ Steurer, อัลกอริทึม Subexponential สำหรับเกมที่ไม่ซ้ำกันและปัญหาที่เกี่ยวข้องฉันสนใจปัญหากราฟที่มีอัลกอริธึมแบบช่วงเวลา จำกัด แต่เชื่อว่าจะไม่สามารถแก้ไขได้แบบพหุนาม ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงคือมอร์ฟกราฟซึ่งมีขั้นตอนวิธีการ subexponential ของ$2^{O(n^{1/2} \log n)}$เวลาทำงาน อีกตัวอย่างหนึ่งคือปัญหา log-Clique ซึ่งสามารถแก้ไขได้ในเวลากึ่งโพลิโนเมียล ( $n^{O(\log n)}$ )

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างที่น่าสนใจและควรมีการอ้างอิงถึงการสำรวจปัญหากราฟ subexponential ยาก (ไม่จำเป็นต้อง$NP$สมบูรณ์) นอกจากนี้ยังมีปัญหากราฟกราฟที่ไม่สมบูรณ์ของ$NP$พร้อมอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลหรือไม่?

Impagliazzo, Paturi และ Zaneแสดงให้เห็นว่าเวลาชี้แจงสมมติฐานหมายความว่าก๊ก K-colorability และ Vertex ปกต้อง$2^{\Omega(n)}$เวลา

โดยวิธีการปัญหา Max Clique โดยทั่วไปสามารถแก้ไขได้ในเวลา$2^{\tilde O(\sqrt N)}$โดยที่$N$คือขนาดของอินพุต

นี่เป็นเรื่องไม่สำคัญถ้ากราฟถูกแสดงผ่านเมทริกซ์ adjacency เพราะ$N=|V|^2$และค้นหาแรงเดรัจฉานจะใช้เวลา$2^{O(|V|)}$ )

แต่เราสามารถได้รับขอบเขตเดียวกันแม้ว่ากราฟจะแสดงรายการ adjacency ผ่านอัลกอริทึมของเวลาทำงาน. เพื่อดูว่าเราจะได้2 ˜ O ($2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$- อัลกอริธึมเวลาสำหรับปัญหาการตัดสินใจแบบสมบูรณ์ NP ซึ่งเราได้รับกราฟG=(V,E)และkและเราต้องการทราบว่ามีกลุ่มขนาด≥kหรือไม่$2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$$G=(V,E)$$k$$\geq k$

อัลกอริทึมก็เอาทุกจุดของการศึกษาระดับปริญญาและเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ขอบบนพวกเขาแล้วไม่มันอีกครั้งและอื่น ๆ จนกว่าเราจะเหลือ subgraph จุดสุดยอดที่เกิดขึ้นในช่วงเซตV 'ของจุดแต่ละระดับ≥ k , หรือด้วยกราฟเปล่า ในกรณีหลังนี้เรารู้ว่าก๊กขนาดไม่มี≥ kสามารถอยู่ได้ ในกรณีที่อดีตเราจะค้นหาแรงเดรัจฉานทำงานในเวลาประมาณ| V ′ | เค . สังเกตว่า | E | ≥ k ⋅ | V ′ | / 2และk $< k$$V'$$\geq k$$\geq k$$|V'|^k$$|E| \geq k\cdot |V'| /2$เพื่อให้ | E | ≥ k 2 / 2และเพื่อให้การค้นหาแรงเดรัจฉานทำงานในเวลา | V ′ | kทำงานจริงในเวลา 2 O ( $k\leq |V'|$$|E| \geq k^2/2$$|V'|^k$.$2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

เนื่องจากกราฟเชิงระนาบทุกจุดบนจุดยอดมี treewidthปัญหาทั้งหมดที่แก้ไขได้ในเวลาสำหรับกราฟของ treewidth ที่มากที่สุด ~ (มี ปัญหาดังกล่าวจำนวนมาก) มีอัลกอริธึมเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลบนกราฟระนาบโดยการคำนวณปัจจัยคงที่กับความน่าเชื่อถือในพหุนามในเวลา (เช่นการคำนวณความกว้างแบนด์วิธกับอัลกอริธึม Ratcatcher แบบฟอร์มสำหรับกราฟบนจุดยอด ตัวอย่างคือชุดอิสระระนาบและชุดครอบงำระนาบซึ่งเป็นหลักสูตรที่สมบูรณ์แบบของ NPO ( $n$O∗(2 O ( k ) )kO∗(2 O ( $O(\sqrt{n})$$O^*(2^{O(k)})$$k$$O^*(2^{O(\sqrt{n})})$$n$

มีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดระหว่างการแก้ไขเวลา sub-exponential (SUBEPT) และการแก้ไขพารามิเตอร์ที่สามารถจัดการได้ง่าย (FPT) ลิงค์ระหว่างพวกเขามีอยู่ในกระดาษต่อไปนี้

ความผิดปกติระหว่างทฤษฎีความซับซ้อนแบบเอ็กซ์โปแนนเชียลและพารามิเตอร์แบบแปรปรวน Yijia Chen และ Martin Grohe, 2006

ในช่วงสั้น ๆ ที่พวกเขานำความคิดที่เรียกว่าการทำแผนที่ miniaturizationซึ่งแมปัญหาแปรเป็นปัญหาแปรอื่นคัปปา) โดยการดูปัญหาปกติเป็นปัญหาที่แปรตามขนาดอินพุตเรามีการเชื่อมต่อดังต่อไปนี้ (ดูทฤษฎีบท 16 ในกระดาษ)( Q , κ $(P,\nu)$$(Q,\kappa)$

ทฤษฎีบท อยู่ใน SUBEPT iffอยู่ใน FPT( Q , κ $(P,\nu)$$(Q,\kappa)$

ระวังคำจำกัดความที่นี่ โดยทั่วไปเราดูปัญหา -clique เป็นพารามิเตอร์ในดังนั้นจึงไม่มีอัลกอริธึมเวลาแบบเลขชี้กำลังสำหรับมันโดยสมมติว่าสมมติฐานเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล แต่ที่นี่เราปล่อยให้ปัญหาถูกทำให้เป็นตัวแปรโดยขนาดอินพุตดังนั้นปัญหาสามารถแก้ไขได้ในซึ่งเป็นอัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล . และทฤษฏีบอกเราว่าปัญหา -clique นั้นได้รับการแก้ไขพารามิเตอร์ให้อยู่ภายใต้การบิดตัวของพารามิเตอร์ซึ่งมีเหตุผลk O ( m + n ) 2 O ( $k$$k$$O(m+n)$$2^{O(\sqrt{m}\log m)}$$k$$k$

โดยทั่วไปปัญหาใน SUBEPT ภายใต้การลดลงของ SERF (ตระกูลการลดลงแบบเลขชี้กำลัง) สามารถเปลี่ยนเป็นปัญหาใน FPT ภายใต้การลดลงของ FPT (ทฤษฎีบทที่ 20 ในบทความ) ยิ่งกว่านั้นการเชื่อมต่อมีความแข็งแกร่งยิ่งขึ้นเนื่องจากให้ทฤษฎีบทมอร์ฟิซึ่มส์ระหว่างลำดับชั้นของปัญหาทั้งหมดในทฤษฎีความซับซ้อนของเวลาแบบเอกซ์โปเนนเชียลและทฤษฎีความซับซ้อนแบบพารามิเตอร์ (ทฤษฎีบทที่ 25 และ 47) แม้ว่ามอร์ฟิซึ่มจะไม่สมบูรณ์ (มีการเชื่อมโยงที่ขาดหายไปบางส่วน) แต่ก็ยังดีที่มีภาพที่ชัดเจนเกี่ยวกับปัญหาเหล่านี้และเราสามารถศึกษาอัลกอริธึมย่อยแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ดูการสำรวจโดยJörg Flum และ Martin Grohe พร้อมกับ Jacobo Toránบรรณาธิการของคอลัมน์ความซับซ้อนสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

อีกตัวอย่างหนึ่งคือเกม Cop และ Robber ซึ่งเป็นเกม NP-hard แต่สามารถแก้ไขได้ในเวลาบนกราฟที่มีจุดยอด n BibTeX บันทึกบรรณานุกรมใน XML Fedor V. Fomin, Petr A. Golovach, Jan Kratochvíl, Nicolas Nisse, Karol Suchan: ติดตามโม่งที่รวดเร็วบนกราฟ theor คอมพิวเต วิทย์ 411 (7-9): 1167-1181 (2010)$2^{o(n)}$

อัลกอริธึมการประมาณที่ดีที่สุดสำหรับ clique ให้ปัจจัยการประมาณที่ไม่ดีอย่างไม่น่าเชื่อ (จำได้ว่าปัจจัยการประมาณของนั้นไม่สำคัญ)$n/\text{polylog } n$$n$

มีความแข็งของผลประมาณภายใต้สมมติฐานความแข็งต่าง ๆ ที่ไม่ได้ค่อนข้างตรงนี้ แต่ยังคงให้ความแข็งของ(1)} โดยส่วนตัวแล้วฉันเชื่อว่าประมาณค่าสำหรับ clique นั้นดีเท่ากับอัลกอริธึมเวลาพหุนาม n / polylog  $n^{1-o(1)}$$n/\text{polylog } n$

แต่การประมาณสำหรับกลุ่มสามารถทำได้อย่างง่ายดายในเวลากึ่งพหุนาม$n/\text{polylog } n$

ปัญหา NP-hard เป็นปัญหาที่มีการลดเวลาพหุนามจาก SAT แม้ว่า SAT ต้องการเวลาสิ่งนี้อาจแปลเป็นเวลาสำหรับปัญหาที่เราลดลง ถ้าหลังมีขนาดอินพุต N, มันอาจจะเป็นกรณีที่สำหรับค่าคงที่ขนาดเล็ก\ 2 Ω ( N ϵ ) N = n 1 / ϵ$2^{\Omega(n)}$$2^{\Omega(N^\epsilon)}$$N=n^{1/\epsilon}$$\epsilon$