พื้นฐานที่ไม่สมบูรณ์ของ combinators

นี้เป็นแรงบันดาลใจนี้คำถาม ปล่อยเป็นชุดรวมของ combinators ซึ่งมีตัวแปรผูกพันสองตัวเท่านั้น คือ combinatorially สมบูรณ์?$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

ฉันเชื่อว่าคำตอบนั้นเป็นค่าลบ แต่ฉันไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงได้ ฉันยังสนใจที่จะอ้างถึงการพิสูจน์ combinatorial ความไม่สมบูรณ์ของชุด combinators (ฉันเห็นได้ว่าทำไม setประกอบด้วย combinators ที่มีตัวแปร จำกัด เพียงตัวเดียวจึงไม่สมบูรณ์ดังนั้นชุดเหล่านี้ควรมีองค์ประกอบมากกว่า )$\mathcal{D}$$\mathcal{D}$

[ขยายความคิดเห็นให้เป็นคำตอบ]

ครั้งแรกที่ได้เป็นเพียงแค่คำชี้แจงเกี่ยวกับการนับตัวแปรที่ถูกผูกไว้ใน Combinator A (= ระยะปิด) เสื้อฉันตีความคำถามที่ถามเกี่ยวกับ จำนวนรวมของชื่อตัวแปรขอบเขตที่แตกต่างกันใน  t ดังนั้นตัวอย่างเช่นคำว่าt = ( λ x . x ( λ y . y ) ) ( λ x . λ y . y x )นับว่ามี ตัวแปรสองตัวที่ถูกผูกไว้แม้จะมีตัวยึดประสานสี่ตัว (เช่น abstract แลมบ์ดา) วิธีการนับนี้ค่อนข้างแปลกสำหรับฉันในตอนแรกเพราะมันไม่แปรเปลี่ยนไป$t$

$$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$$ $t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$ -conversion: ตัวอย่างเช่น tคือ α - เทียบเท่ากับ t ′ = ( λ x . x ( λ y . y ) ) ( λ a . λ b . b a )แต่ t ′มีชื่อตัวแปรที่ถูกผูกไว้สี่ชื่อ แต่นี้ไม่ได้จริงๆปัญหาเพราะขั้นต่ำจำนวนที่แตกต่างกันชื่อตัวแปรที่ถูกผูกไว้จำเป็นในการเขียนคำที่ปิดทีเท่ากับ จำนวนสูงสุดของตัวแปรอิสระใน subterm ของ  $\alpha$$t$$\alpha$$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$$t'$$t$ $$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$$ และแนวคิดหลังคือค่าคงที่ภายใต้ -conversion$\alpha$

ดังนั้นให้เป็นชุดของ combinators ทั้งหมดที่สามารถเขียนได้โดยใช้ตัวแปรที่ถูกผูกไว้สองตัวที่แตกต่างกันมากที่สุดหรือเท่ากับชุดของ combinators ทั้งหมดที่ subterms มีสองตัวแปรอิสระมากที่สุด$\mathcal{C}$

ทฤษฎีบท (Statman) : ยังไม่สมบูรณ์แบบเชิงบูรณาการ$\mathcal{C}$

ดูเหมือนว่าหลักฐานดั้งเดิมของสิ่งนี้มีอยู่ในรายงานเทคโนโลยีโดย Rick Statman:

• Combinators ลำดับที่สองทางพันธุกรรม รายงานทางเทคนิคของแผนกคณิตศาสตร์ Carnegie Mellon 88-33, สิงหาคม 2531 ( pdf )

$\beta$

• ตัวแปรสองตัวไม่เพียงพอ การประชุมวิชาการวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีครั้งที่ 9, หน้า 406-409, 2005. ( acm )

$Hn$$Hn$$n+1$$\beta$$n$$S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$$n$$n$$Hn$$n+1$