อ้างอิงสำหรับคลาสของกราฟที่รักษาระยะห่างของกราฟย่อยเมื่อสั่ง

12

ให้เราบอกว่ากราฟมีคุณสมบัติถ้าจุดยอดของมันสามารถสั่งในลักษณะที่กราฟเหนี่ยวนำโดยจุดยอดมี $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ สำหรับทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งการเพิ่มจุดสุดยอดถัดไปในการสั่งซื้อของเราไม่มีผลต่อการวัดระยะทางของกราฟปัจจุบัน $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ $j,k \leq i$

ตัวอย่างของกราฟดังกล่าวเป็นปกติตาราง $n \times n$

คุณสมบัติหรือคลาสของกราฟนี้มีชื่อหรือไม่? พวกเขาได้รับการศึกษา?

reference-request graph-theory

— mich
แหล่งที่มา

ตัวอย่างง่ายๆของกราฟที่ไม่ได้มีคุณสมบัตินี้เป็น

-cycle สำหรับ

5

นี่เป็นเพราะสำหรับการสั่งซื้อใด ๆ กราฟย่อย

จะต้องเชื่อมต่อและดังนั้นในเวลาที่

,

เป็นสายยาว

และจุดยอดสองจุด ระยะทาง

ห่างกัน

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$

— Andrew Morgan

ในทางตรงกันข้ามผู้สมัครธรรมชาติสำหรับการหาลำดับที่ดี

คือการทำ BFS จากการเลือกโดยพลการของ

1

โดยการดู

เป็นต้นไม้ BFS กับขอบพิเศษบางอย่างก็ดูเหมือนว่าการอุดตันเท่านั้นที่จะมีคุณสมบัติ

สำหรับการที่จะมีสิ่งที่ "ชอบ" ซึ่งเป็น

-cycle สำหรับ

ในG

โดย "like" ฉันหมายถึงมี

-cycle

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

กับ

ดังนั้น

ในG

ถ้าเราเรียกวงจรนี้ว่า "น้อยที่สุด" มันเป็นความจริงหรือไม่ที่คุณสมบัติ

นั้นเทียบเท่ากับการไม่มีอยู่ของวงจรความยาวน้อยที่สุดอย่างน้อย 5 หรือไม่?

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

— Andrew Morgan

1

คิวบ์มีการเหนี่ยวนำและมีมิติเท่ากัน 6 รอบ (ลบสองจุดยอดตรงข้ามของคิวบ์สิ่งที่เหลืออยู่คือ 6 รอบ) แต่สามารถสั่งซื้อในวิธีรักษาระยะทาง (เช่น BFS) ดังนั้น

็็กของคุณไม่ได้เป็นอุปสรรคเสมอไป ตัวอย่างนี้ยังแสดงให้เห็นว่าการลบจุดยอดอย่างตะกละตะกลามซึ่งรักษาระยะทางอาจติดขัดแม้ในขณะที่บางงานสั่งซื้ออื่น ๆ

k

$k$

— David Eppstein

8

ดูเหมือนว่าคุณกำลังถามเกี่ยวกับกราฟที่ยอมรับว่ามีคำสั่งกำจัดการเก็บรักษาระยะทางซึ่งเป็นรูปแบบของกราฟที่ศึกษาในบทความนี้:

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

— JimN
แหล่งที่มา

2

นอกจากนี้ยังสามารถใช้ได้อย่างอิสระบนหน้าเว็บของผู้เขียน: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

— Florent Foucaud

8

ฉันไม่ได้มีคำตอบสำหรับการเรียนของคุณทั้งหมดของกราฟ แต่สาม subclasses ของกราฟที่มีคุณสมบัตินี้เป็นกราฟระยะทางกรรมพันธุ์ , กราฟคอร์ดัและกราฟค่ามัธยฐาน

$v_1$

กราฟ chordal เป็นกราฟที่มีการสั่งซื้อพร้อมกับคุณสมบัติที่แต่ละจุดสุดยอดต่อเนื่องเมื่อมีการเพิ่มมีกลุ่มสำหรับเพื่อนบ้าน การสั่งซื้อนี้เห็นได้ชัดว่าเป็นการรักษาระยะทาง

ในทำนองเดียวกันกราฟค่ามัธยฐาน (รวมถึงตัวอย่างตารางของคุณ) มีคุณสมบัติที่สำหรับการสั่งซื้อครั้งแรกที่ความกว้างแต่ละจุดสุดยอดมีย่าน hypercube ในเวลาที่มีการเพิ่ม (ดูหน้า 76-77 ของ Eppstein et al, "Media Theory", Springer, 2008) อีกครั้งคุณสมบัตินี้หมายความว่าการเพิ่มไม่สามารถเปลี่ยนระยะห่างระหว่างจุดยอดก่อนหน้า

มีคลาสของกราฟที่ฉันไม่รู้จักชื่อโดยทั่วไปกราฟทั้งแบบ chordal และทางพันธุกรรมที่สามารถจดจำได้ในเวลาพหุนามและที่มีคุณสมบัติของคุณ พวกเขาเป็นกราฟที่เชื่อมต่อที่สามารถสร้างขึ้นจากจุดสุดยอดเดียวโดยการเพิ่มจุดยอดหนึ่งโดยหนึ่งที่เพื่อนบ้านของจุดสุดยอดใหม่แต่ละคนเป็นส่วนหนึ่งของละแวกใกล้เคียงปิดของกราฟก่อนหน้า พวกเขาเกือบจะ (แต่ไม่มาก) เหมือนกับกราฟที่ถอดแยกได้ความแตกต่างคือว่าจุดสุดยอดใหม่ไม่จำเป็นต้องอยู่ติดกับจุดสุดยอดที่มีการคัดลอกละแวก การตัดการเรียงลำดับของกราฟ chordal เป็นการสร้างประเภทนี้ที่จุดสุดยอดใหม่แต่ละอันเลือกเซตย่อยของกลุ่มย่าน ในทำนองเดียวกันกราฟระยะทางทางพันธุกรรมมีการก่อสร้างประเภทนี้ที่เพื่อนบ้านของจุดสุดยอดใหม่แต่ละแห่งเป็นพื้นที่ใกล้เคียงที่ปิดสนิทพื้นที่ใกล้เคียงที่เปิดอยู่หรือจุดสุดยอดเดียว จุดสุดยอดใหม่แต่ละอันไม่สามารถเปลี่ยนระยะทางของจุดยอดก่อนหน้านี้ได้ดังนั้นลำดับการก่อสร้างนี้มีคุณสมบัติที่คุณกำลังมองหา

หากคุณกำหนดจุดยอด v เป็น "ถอดออกได้" ถ้าเป็นจุดสุดท้ายในลำดับนี้ (มีพื้นที่เปิดโล่งซึ่งเป็นส่วนย่อยของพื้นที่ใกล้เคียงที่ปิดของคนอื่น) การลบจุดยอดที่ถอดออกได้อื่นจะไม่เปลี่ยนการถอด v : ถ้าเพื่อนบ้านของ v เป็นเซตย่อยของ u และเราลบคุณออกไปว่ามีเพื่อนบ้านที่เป็นเซตย่อยของ w ดังนั้น v ก็ยังคงสามารถถอดออกได้เพราะละแวกนั้นยังคงเป็นเซตย่อยของ w ดังนั้นลำดับของขั้นตอนการกำจัดที่เราสามารถทำตามเพื่อนำกราฟกลับไปที่ไม่มีอะไรสร้างแอนติเมทรอยด์และหนึ่งลำดับสามารถพบได้ในเวลาพหุนามโดยอัลกอริทึมโลภที่ลบจุดยอดที่ถอดออกได้ซ้ำ ๆ เมื่อใดก็ตามที่สามารถหาจุดหนึ่งได้ การย้อนกลับเอาต์พุตของอัลกอริทึมนี้จะช่วยให้ลำดับการก่อสร้างสำหรับกราฟที่กำหนด กราฟของคิวบ์แสดงตัวอย่างของกราฟที่มีคุณสมบัติของคุณ (กราฟค่ามัธยฐาน) แต่ไม่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีนี้ ฉันคิดว่ากราฟค่ามัธยฐานที่สามารถสร้างด้วยวิธีนี้คือกราฟสี่เหลี่ยม (ซึ่งรวมถึงกริดปกติ) กราฟที่มีลำดับการก่อสร้างประเภทนี้ยังรวมถึงกราฟทั้งหมดที่มีจุดสุดยอดสากลเช่นกราฟล้อดังนั้น (ซึ่งแตกต่างจากกราฟ chordal และกราฟระยะทางพันธุกรรม) พวกเขาไม่สมบูรณ์และไม่ปิดภายใต้กราฟย่อยที่เกิดขึ้น

— David Eppstein
แหล่งที่มา

คุณสมบัติของกราฟของคลาสนี้ที่คุณไม่แน่ใจว่าเป็นการเตือนให้รำลึกถึงการยกเลิกการสั่งซื้อ บทความนี้ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับคำถามเดิม: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

— JimN

ฉันคิดว่าคำสั่งกำจัด Dominatlon อาจเป็นสิ่งเดียวกันกับ dlsmantlability แต่คุณควรเชื่อมโยงบทความนั้นกับคำตอบจริงเพราะ "คำสั่งกำจัดการรักษาระยะทาง" ดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่คำถามเดิมถาม

— David Eppstein